【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法(含详解).ppt，共(26)页，518.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二节一元二次不等式及其解法判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)没有实数根一元二次方程ax2＋

bx＋c＞0(a＞0)的解集_______________________R一元二次方程ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集___________∅__{x|x<x1或x>x2}{x|x1＜x＜x2}有两相等实根x1＝x2＝－b2axx≠－b2a∅1

．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝()A．(－2,1]B．(－∞，－4]C．(－∞，1]D．[1，＋∞)解析：由题意得T＝{x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁RS＝{x|x≤－2}，所以

(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．答案：C[小题体验]2．(教材习题改编)不等式－x2＋2x－3＞0的解集为________．答案：∅3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是－12，13，则a＋b的值是______．解析：由题意知

－12，13是ax2＋bx＋2＝0的两根，则a＝－12，b＝－2．所以a＋b＝－14．答案：－141．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，

避免盲目讨论．1．不等式x－3x－1≤0的解集为()A．{x|x＜1或x≥3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x＜3}解析：由x－3x－1≤0，得x－3x－1≤0，x－1≠0，解得1＜x≤3．答案：C[小

题纠偏]2．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________．解析：①当m＝0时，1>0显然成立．②当m≠0时，由条件知m>0，Δ＝4m2－4m<0.得0<m<1．由①②知0≤m<1．答案：[0,1)考点

一一元二次不等式的解法[题组练透]1．已知函数f(x)＝2x2＋1，x≤0，－2x，x>0，则不等式f(x)－x≤2的解集是________．解析：当x≤0时，原不等式等价于2x2＋1－x≤2，∴－12≤x≤0；当x>0时，原不等式等价于－2x－x≤2，∴x>0．综上所述

，原不等式的解集为x|x≥－12．答案：x|x≥－122．不等式2x＋1x－5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x－4x－5≥0，等价于3

x－4x－5≥0，x－5≠0，解得x＞5或x≤43．所以原不等式的解集为xx≤43或x>5．答案：xx≤43或x>53．解下列不等式：(1)(易错题)－3x2－2x＋8≥0；解：原不等式可化为3x2＋2

x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0．解得－2≤x≤43，所以原不等式的解集为x－2≤x≤43．解：原不等式等价于x2－x－2＞0，x2－x－2≤4⇔x2

－x－2＞0，x2－x－6≤0⇔x－2x＋1＞0，x－3x＋2≤0⇔x＞2或x＜－1，－2≤x≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为x|－2≤x＜－1或2＜x≤3．(2)0＜x2－x－2≤4．[谨记通法]解一元二次不等式的4个

步骤考点二含参数的一元二次不等式的解法[典例引领]解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．解：原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，因为a＞0，所以ax－1a(x－1)＜0，所以当a＞

1时，解为1a＜x＜1；当a＝1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解为1＜x＜1a．综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为x1＜x＜1a．当a＝1时，不等式的解集为∅．当a＞1时，不等式的解集为x1a＜x＜1．[由题悟法]解含参数的一元

二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系

．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒]当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是－12，－13

，则不等式x2－bx－a＜0的解集是()A．(2,3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C．13，12D．－∞，13∪12，＋∞解析：由题意知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋－13＝

ba，－12×－13＝－1a．解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．答案：A2．求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3

x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3．当a>0时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a<0时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞．考点三一元二次不等

式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f(x)≥0(f(

x)≤0)(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围；(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围．[锁定考向][题点全练]角度一：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围1．已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数

m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：要使不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．当m＝0时，1－2x＜0，则x＞12，不满足题意；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满

足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即m＜0，Δ＝4－4m1－m＜0，不等式组的解集为空集，即m无解．综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立．角度二：形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈

R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，求b的取值范围．解：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即a2＝1，解得a＝2．又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函

数，所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2．∴b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围3．对任意m∈[－1,1]，函数

f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4．由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，∴g

－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0，g1＝x－2＋x2－4x＋4>0，解得x<1或x>3．故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．[通法在握]

一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法方法解读适合题型判别式法(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是a>0，Δ≤0；(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是a<

0，Δ≤0二次不等式在R上恒成立(如“题点全练”第1题、第2题)方法解读适合题型分离参数法如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解：a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f

(x)min适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求(如“演练冲关”第2题)方法解读适合题型主参换位法把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔

fm>0fn>0，若f(x)<0恒成立⇔fm<0，fn<0若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时(如“题点全练”第3题)[演练冲关]1．(2

017·济宁模拟)不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．解：因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λb

a＋(8－λ)b2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4．答案：[－8,4]2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜

－m＋5恒成立，求m的取值范围．解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即mx－122＋34m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．因为x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，

所以m＜6x2－x＋1．因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m＜67即可．因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪0，67．