【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明 第六节 直接证明和间接证明(含详解).ppt，共(19)页，375.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第六节直接证明和间接证明1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是和．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：(顺推证法)．综合

法分析法由因导果法(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：

(逆推证法)．2．间接证明反证法：一般地，假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．执果索因法不成立矛盾1．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与

b的大小关系为()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b答案：A[小题体验]2．下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使ba＋ab≥2成立的条件的个数是________．解析：要使ba＋ab≥2成立，则ba＞0，即a与b同

号，故①③④均能使ba＋ab≥2成立．答案：31．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)„„”“即要证„„”“就要证„„”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．2．利用反证法证明数

学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．1．6－22与5－7的大小关系是________．解析：假设6－22>5－7，由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210．因为42>40，所以6－22>5

－7成立．答案：6－22>5－7[小题纠偏]2．用反证法证明“如果a＞b，那么a3＞b3”时假设的内容为________．答案：a3≤b3考点一分析法[题组练透]1．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b．证明：要证明2a3－b3≥2ab2－a2b

成立，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0．∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立

，∴2a3－b3≥2ab2－a2b．2．(易错题)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c．求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c．证明：要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是ca＋b＋ab＋c＝1，只需

证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2

成立．于是原等式成立．[谨记通法]1．利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题

的已知条件时命题得证．如“题组练透”第2题．2．分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．考点二综合法[典例引领](2016·天津

高考)已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．(1)设cn＝b2n＋1－b2n，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；(2)设a1＝d，Tn＝k＝12n(－1)kb2k，n∈N*，求证：k＝1n1Tk＜12d2．证明：(1)

由题意得b2n＝anan＋1，cn＝b2n＋1－b2n＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1．因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以{cn}是等差数列．(2)Tn＝(－b21＋b22)＋(－b23＋b24)＋„＋(－b22n－1＋b2

2n)＝2d(a2＋a4＋„＋a2n)＝2d·na2＋a2n2＝2d2n(n＋1)．所以k＝1n1Tk＝12d2k＝1n1kk＋1＝12d2k＝1n1k－1k＋1＝12d2·1－1n＋1＜12d

2．[由题悟法]综合法证题的思路[即时应用]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1．(1)求证：a，b，c成等差数列．(2)若C＝2π3，求证5a＝3b．证明：(1)由已知得s

inAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由C＝2π3，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋a

b，即有5ab－3b2＝0，所以ab＝35，即5a＝3b．考点三反证法[典例引领]设a>0，b>0，且a＋b＝1a＋1b．证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．证明：由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a>0，

b>0，得ab＝1．(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2．(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能

同时成立．[由题悟法]反证法证明问题的3步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾

)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)[即时应用]等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32．(1)求数列{an}的通项a

n与前n项和Sn．(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)设等差数列{an}的公差为d．由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，所以

d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．(2)证明：由(1)得bn＝Snn＝n＋2，假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr．即(q＋2)2＝(p＋

2)(r＋2)，所以(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0，因为p，q，r∈N*，所以q2－pr＝0，2q－p－r＝0，所以p＋r22＝pr，(p－r)2＝0，所以p＝r，与p≠r矛盾

，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．板块命题点专练（十）点击此处