【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明 第四节 基本不等式(含详解).ppt，共(24)页，402.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四节基本不等式a>0，b>0a＝b1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥(a，b同号)；(3)ab≤a＋b22(a，

b∈R)；(4)a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．2ab23．算术平均数与几何平均数设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为_____，几何平均数为____，基本不等式可叙述为：__________________

__________________________．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是_____(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是___(简记

：和定积最大)．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2pq24a＋b2ab1．(教材习题改编)设x，y∈R＋，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．答案：81[小题体验]2．若实数x，y满足

xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．解析：x2＋2y2＝x2＋(2y)2≥2x(2y)＝22，所以x2＋2y2的最小值为22．答案：221．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当

a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当a≥0，b≥0时，a＋b2≥ab()(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥a

b成立的条件是相同的()(3)x＞0且y>0是xy＋yx≥2的充要条件()√[小题纠偏]××2．若f(x)＝x＋1x－2(x>2)在x＝n处取得最小值，则n等于()A．52B．3C．72D．4答案：B3．函数f(x)＝x＋1x的值域为_____

_______________．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)考点一利用基本不等式求最值[典例引领]1．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知x，y∈R＋，且x＋y＋1x＋1y＝5，则x＋y的最大值是()A．3B．72C．4D．92解析：由x＋y＋1x＋1y＝

5，得5＝x＋y＋x＋yxy，∵x＞0，y＞0，∴5≥x＋y＋x＋yx＋y22＝x＋y＋4x＋y，∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，解得1≤x＋y≤4，∴x＋y的最大值是4．答案：C2．(2017·常州调研)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x

＋9x＋4的最小值为________．解析：∵x＞－4，∴x＋4＞0，∴f(x)＝x＋9x＋4＝x＋4＋9x＋4－4≥2x＋4·9x＋4－4＝2，当且仅当x＋4＝9x＋4，即x＝－1时取等号．答案：23．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1a＋

1b的最小值为________．解析：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，即1a＋1b的最小值为4，当且仅当a＝b＝12时等号成立．答案：4[由题悟法]利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为

定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．[即时应用]

1．设0＜x＜32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋3－2x22＝92，当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时，等号成立．又∵34∈0

，32，∴函数y＝4x(3－2x)0＜x＜32的最大值为92．答案：922．(2017·郑州质检)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．解析：由题意得y＝3－x22x，∴2x＋y＝2x＋3－x2

2x＝3x2＋32x＝32x＋1x≥3，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．答案：33．若[典例引领]3中条件和结论互换，即：已知a＞0，b＞0，1a＋1b＝4，则a＋b的最小值为________．解析：由1a＋1b＝4，得14a＋14b＝1．∴

a＋b＝14a＋14b(a＋b)＝12＋b4a＋a4b≥12＋2b4a·a4b＝1．当且仅当a＝b＝12时取等号．答案：1考点二基本不等式的实际应用[典例引领]首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以

“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(

吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx＝12x＋80000x－200≥212x·800

00x－200＝200，当且仅当12x＝80000x，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．解：不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝10

0x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为x∈[400,600]，所以S∈[－80000，－40000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．(2)该单位每月能否获利？

如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？[由题悟法]解实际应用题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数

的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[即时应用]某化工企业2017年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0．5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年

的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．解：(1)由

题意得，y＝100＋0.5x＋2＋4＋6＋„＋2xx，即y＝x＋100x＋1．5(x∈N*)．(2)由基本不等式得：y＝x＋100x＋1．5≥2x·100x＋1．5＝21．5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换

新的污水处理设备．[典例引领]1．已知函数f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．解析：∵x＞0，a＞0，∴f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a，当且仅当4x＝ax，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又∵f(x)在x＝3时取得最小值，∴

a＝4×32＝36．答案：36考点三利用基本不等式求参数的取值范围2．已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．解析：对任意x∈N*，f(x)≥3，即x2＋ax

＋11x＋1≥3恒成立，即a≥－x＋8x＋3．设g(x)＝x＋8x，x∈N*，则g(x)＝x＋8x≥42，当x＝22时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝173．∵g(2)＞g(3)，∴g(x)min＝173．∴－

x＋8x＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是－83，＋∞．答案：－83，＋∞[由题悟法]求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．(2

)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．[即时应用]1．已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：(x＋y)

1x＋ay＝1＋a＋yx＋axy≥1＋a＋2a＝(a＋1)2(x，y，a＞0)，当且仅当y＝ax时取等号，所以(x＋y)·1x＋ay的最小值为(a＋1)2，于是(a＋1)2≥9恒成立．所以a≥4，故选

B．答案：B2．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即x＋22xyx＋y≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即x＋22xyx＋y的最大值为2．又λ≥x＋22xyx＋y，因此有λ≥2，即

λ的最小值为2．答案：2板块命题点专练（九）点击此处