【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.6《函数y＝Asin(ωx＋φ)(一)》学案-2019人教A版.docx，共(11)页，729.979 KB，由小喜鸽上传

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5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)(一)学习目标1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.2.掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．知识点A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响1．φ

对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响1．将函数y＝sinx的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y＝cosx的图象．

(√)2．将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sinx的图象．(√)3．把函数y＝cosx的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos3x的图象．(×)一、平移变换例1函数y

＝sinx－π6的图象可以看作是由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到的？解函数y＝sinx－π6的图象，可以看作是把曲线y＝sinx上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的．反思感悟对平移变换应先观察函数名是否相同，若函

数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为φω个单位．跟踪训练1要得到函数y＝sin2x＋π3的图象，只要将函数y＝sin2x的图象()A．向左平移π3个单位长度B

．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向右平移π6个单位长度答案C解析因为y＝sin2x＋π3＝sin2x＋π6，所以将函数y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，就可得到函数y＝sin2x＋π6＝sin

2x＋π3的图象．二、伸缩变换例2将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A．y＝sin2x－π10B．y＝sin2x－π5C．y＝sin

12x－π10D．y＝sin12x－π20答案C解析将y＝sinx的图象向右平移π10个单位长度得到y＝sinx－π10的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin12x－π10的图象．反思感悟先平移

后伸缩和先伸缩后平移中，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的好方法．跟踪训练2函数y＝3sin2x＋π3的图象，可由函数y＝sinx的图象经过下述哪项变换而得到()A．向右平移π3个单位长度，横坐标缩短到

原来的12，纵坐标伸长到原来的3倍B．向左平移π3个单位长度，横坐标缩短到原来的12，纵坐标伸长到原来的3倍C．向右平移π6个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13D．向左平移π6个单位长度，横坐标缩短到原来的12，

纵坐标缩短到原来的13答案B解析y＝sinx的图象―――――――――→向左平移π3个单位长度y＝sinx＋π3的图象―――――――――→横坐标缩短为原来的12y＝sin2x＋π3的图象―――――――――→纵坐标

伸长为原来的3倍y＝3sin2x＋π3的图象．三、图象的综合变换例3已知函数y＝12sin2x＋π6，x∈R.(1)用五点法作出它在一个周期内的简图；(2)该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解(1)列表：2x＋π60π2π3π22πx－π1

2π65π122π311π12y＝12sin2x＋π60120－120描点、连线，如图所示．(2)函数y＝sinx的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y＝sinx＋π6的图象，再保持纵

坐标不变，把横坐标缩短为原来的12倍，得到函数y＝sin2x＋π6的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的12倍，得到函数y＝12sin2x＋π6的图象．反思感悟由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A

>0，ω>0)的图象的步骤跟踪训练3说明y＝－2sin2x－π6＋1的图象是由y＝sinx的图象经过怎样变换得到的．解方法一先伸缩后平移y＝sinx的图象――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的

2倍且关于x轴作对称变换y＝－2sinx的图象――――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin2x的图象―――――――――→向右平移π12个单位长度y＝－2sin2x－π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y＝－2sin2x－π

6＋1的图象．方法二先平移后伸缩y＝sinx的图象―――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x轴作对称变换y＝－2sinx的图象――――――――→向右平移π6个单位长度y＝－2sinx

－π6的图象――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin2x－π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y＝－2sin2x－π6＋1的图象．1．函数y＝cosx(x∈R)的图象向左平移π2个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为(

)A．g(x)＝－sinxB．g(x)＝sinxC．g(x)＝－cosxD．g(x)＝cosx答案A解析将y＝cosx向左平移π2个单位长度得y＝cosx＋π2＝－sinx.2．要得到函数y＝sinx＋π3的图象，只要将函数y＝sinx的图象()A．向左平移π3个单

位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向右平移π6个单位长度答案A解析将函数y＝sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，就可得到函数y＝sinx＋π3的图象．3．将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为

()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3答案D解析函数y＝2sin2x＋π6的最小正周期为π，所以将函数y＝2sin2x＋π6的图象

向右平移π4个单位长度后，得到函数y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3的图象．4．函数y＝cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cosωx，则ω的

值为________．答案12解析函数y＝cosx――――――――――→纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍y＝cos12x，所以ω＝12.5．由y＝3sinx的图象变换得到y＝3sin12x＋π3的图象主要有两

个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度．答案π32π3解析y＝3sinx―――――――――→向左平移π3个单位长度y＝3sinx＋π3――――――――――――――→

横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y＝3sin12x＋π3，y＝3sinx――――――――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y＝3sin12x―――――――――→向左平移2π3个单位长度y＝3sin12

x＋2π3＝3sin12x＋π3.1．知识清单：(1)平移变换．(2)伸缩变换．(3)图象的变换．2．常见误区：先平移和先伸缩作图时平移的量不一样．1．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所

有的点()A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度答案A解析只需把函数y＝sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得函数y＝sin(x＋1)的图象，故选A.2．为了得到函数y＝

sin2x－π6的图象，可以将函数y＝sin2x的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度答案B解析y＝sin2x－π6＝sin2x－π12，故将函数y＝sin2x的图象向右平移π12个单位长度，可

得y＝sin2x－π6的图象．3．函数f(x)＝sinωx(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度，所得图象经过点2π3，0，则ω的最小值是()A.32B．2C．1D.12答案C解析依题意得，函数fx＋π3＝sinωx＋π3(

ω>0)的图象过点2π3，0，于是有f2π3＋π3＝sinω2π3＋π3＝sinωπ＝0(ω>0)，所以ωπ＝kπ，k∈N*，即ω＝k，k∈N*，因此正数ω的最小值是1，故选C.4．将函数y＝sin2x的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数

是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案A解析y＝sin2x―――――――――→向右平移π2个单位长度y＝sin2x－π2＝sin()2x－π＝－sin(π－2x)＝－sin2x.由于－sin

(－2x)＝sin2x，所以是奇函数．5．函数y＝cosx的图象上的每一点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的12，然后将图象沿x轴负方向平移π4个单位长度，得到的图象对应的解析式为()A．y＝sin2x

B．y＝－sin2xC．y＝cos2x＋π4D．y＝cos12x＋π4答案B解析y＝cosx的图象上每一点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到y＝cos2x的图象；再把y＝cos2x的图象沿x轴负方向平移π4个单位长

度，就得到y＝cos2x＋π4＝cos2x＋π2＝－sin2x的图象．6．将函数y＝sin4x的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为________．答案π3解析将函

数y＝sin4x的图象向左平移π12个单位长度，得y＝sin4x＋π12＝sin4x＋π3，所以φ的值为π3.7．函数y＝sinx－π3图象上各点的纵坐标不变，将横坐标伸长为

原来的5倍，可得到函数____________的图象．答案y＝sin15x－π3解析y＝sinx－π3的图象――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y＝sin15x－π3的图象．8．函数y＝sin2x－π4图象上所有点的横坐标保持不变，将

纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin2x－π4的图象．答案伸长3解析A＝3>1，故函数y＝sin2x－π4图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原来的3

倍即可得到函数y＝3sin2x－π4的图象．9．函数f(x)＝5sin2x－π3－3的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？解先把函数y＝sinx的图象向右平移π3个单位长度，得y＝sinx－π3的

图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得y＝sin2x－π3的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin2x－π3的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin

2x－π3－3的图象．10．已知函数f(x)＝sin2x－π3.(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(2)求函数f(x)的单调增区间；(3)试问f(x)是由g(x)＝

sinx经过怎样变换得到？解(1)列表如下：2x－π30π2π3π22πxπ65π122π311π127π6f(x)010－10描点连线，图象如图所示．(2)令－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，解得

－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间是－π12＋kπ，5π12＋kπ，k∈Z.(3)先将g(x)向右平移π3个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的1

2，即可得到f(x)的图象．11．将函数f(x)＝sin2x－π3的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为()A．y＝sinxB．y＝sin4x＋π3C．y＝sin4x－2π

3D．y＝sinx＋π3答案B解析将函数f(x)＝sin2x－π3的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数y＝sin2x＋π3－π3＝sin2x＋π3的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)

，得到函数y＝sin4x＋π3的图象，故选B.12．要得到y＝cos2x－π4的图象，只要将y＝sin2x的图象()A．向左平移π8个单位长度B．向右平移π8个单位长度C．向左平移π4个单位长度D．向右平移π4个单位长度答案A解析y＝sin2x＝cosπ2－2

x＝cos2x－π2＝cos2x－π4＝cos2x－π8－π4.若设f(x)＝sin2x＝cos2x－π8－π4，则fx＋π8＝cos2x－π4，所以向左平移π8个单位长度．13．函数y＝cos(2x

＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位长度后，与函数y＝sin2x＋π3的图象重合，则φ＝________.答案5π6解析将y＝sin2x＋π3的图象向左平移π2个单位长度，得到y＝sin2x＋π2＋π3＝sin

π2＋2x＋5π6＝cos2x＋5π6.由题意知y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)与y＝cos2x＋5π6重合，故φ＝5π6.14．将最小正周期为π2的函数g(x)＝2sinωx＋φ＋π4(ω>0，|φ|<2

π)的图象向左平移π4个单位长度，得到偶函数图象，则满足题意的φ的一个可能值为________．答案π4，5π4，－3π4，－7π4填一个即可解析∵T＝2πω＝π2，∴ω＝4，∴g(x)＝2sin4x＋φ＋π4向左平移π4个单位长度得到f(x)＝2sin4x＋π

4＋φ＋π4＝2sin4x＋π＋φ＋π4＝－2sin4x＋φ＋π4，又f(x)为偶函数，∴φ＋π4＝kπ＋π2，∴φ＝kπ＋π4(k∈Z)，∵|φ|<2π，∴φ＝π4，5π4，－3π4，－7π4.15．要得到y＝sinx2＋π3的

图象，需将函数y＝cosx2的图象上所有的点至少向左平移____个单位长度．答案11π3解析cosx2＝sinx2＋π2，将y＝sinx2＋π2的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y＝s

inx2＋φ2＋π2的图象．令φ2＋π2＝2kπ＋π3，k∈Z，∴φ＝4kπ－π3，k∈Z.∴当k＝1时，φ＝11π3是φ的最小正值．16．已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω>0.(1)若y＝f(x)在－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函

数y＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a<b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．解(1)因为ω>0，根据题意有－π4ω≥－π2，2π3ω

≤π2，解得0<ω≤34.所以ω的取值范围是0，34.(2)由f(x)＝2sin2x可得，g(x)＝2sin2x＋π6＋1＝2sin2x＋π3＋1，g(x)＝0⇒sin2x＋π3＝－12⇒x＝

kπ－π4或x＝kπ－712π，k∈Z，即g(x)的零点相邻间隔依次为π3和2π3，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.