【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.6《函数y＝Asin(ωx＋φ)(二)》学案-2019人教A版.docx，共(15)页，568.369 KB，由小喜鸽上传

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5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)(二)学习目标1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题.2.能够利用函数y＝Asin(ωx＋φ)解决实际问题．一、由图象求三角函数的解析式例1如图是函数y＝As

in(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．解方法一逐一定参法由图象知A＝3，T＝5π6－－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵点－π6，0在函数图象上，

∴0＝3sin－π6×2＋φ.∴－π6×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝π3＋kπ(k∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y＝3sin2x＋π3.方法二待定系数法由图象知A＝3.∵图象过点

π3，0和5π6，0，∴πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得ω＝2，φ＝π3.∴y＝3sin2x＋π3.方法三图象变换法由A＝3，T＝π，点－π6，0在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移π6个单位长度而得，∴y

＝3sin2x＋π6，即y＝3sin2x＋π3.反思感悟给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意

正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，求φ.(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．

(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．跟踪训练1已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A>0，ω>0，0<φ<π2的图象与x轴的交点中，相邻两个

交点的距离为π2，且图象上一个最低点为M2π3，－2，求f(x)的解析式．解由最低点M2π3，－2，得A＝2.在x轴上两相邻交点之间的距离为π2，故T2＝π2，即T＝π，ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M

2π3，－2在图象上得2sin2×2π3＋φ＝－2，即sin4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ－11π6(k∈Z)．又φ∈0，π2，∴φ＝π6.故f(x)＝2sin2x＋π6.二、三

角函数性质的综合问题例2(1)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A．x＝kπ2－π6(k∈Z)B．x＝kπ2＋π6(k∈Z)C．x＝kπ2－π12(k∈Z)D．x＝kπ2＋π12(k∈Z

)答案B解析将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin2x＋π12＝2sin2x＋π6，由2x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝π6＋12kπ，k∈Z.(2)将函

数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()A.3π4B.π4C．0D．－π4答案B解析将函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π8个单位长度后，得到y＝sin

2x＋φ＋π4的图象，因为它是偶函数，所以φ＋π4＝π2＋kπ，k∈Z，即φ＝π4＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝π4.反思感悟(1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos

(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数．(2)与正弦、余

弦型函数有关的单调区间的求解技巧①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz

的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．跟踪训练2已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M3π4，0对称，且在区间

0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值，即sinφ＝1或－1.依题设0≤φ<π，∴φ＝π2.由f(x)的图象关于点M

对称，可知sin3π4ω＋π2＝0，即3π4ω＋π2＝kπ，k∈Z，解得ω＝4k3－23，k∈Z.又f(x)在0，π2上是单调函数，∴T≥π，即2πω≥π.∴ω≤2，又ω>0，∴k＝1时，ω＝23；k＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.三、三角函数的实际应用例3已知某海滨

浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．(1)根据以上数据，求其最

小正周期和函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝π6.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t

＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝12，函数解析式为y＝12cosπ6t＋1(0≤t≤24)．(2)∵y>1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝12cosπ6t＋1>1，cosπ6t>0，2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2，k∈Z，

即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，∴0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，∴在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9<t<15.反思感悟解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练3如图，某动

物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量．解(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(

ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则－A＋b＝700，A＋b＝900，解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝2πT＝π6，∴y＝100sinπ6t＋φ＋800.又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sinπ6×6＋φ＋800，∴sin(

π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1，取φ＝－π2，∴y＝100sinπ6t－π2＋800.(2)当t＝2时，y＝100sinπ6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.1．若函数f(x)＝2sin2x－π3＋φ是偶函数，则φ的值可以是()A.5π6B

.π2C.π3D．－π2答案A解析令x＝0得f(0)＝2sin－π3＋φ＝±2，∴sinφ－π3＝±1，把φ＝5π6代入，符合上式．故选A.2．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于

直线x＝π3对称；(3)在－π6，π3上单调递增”的一个函数是()A．y＝sinx2＋π6B．y＝cos2x＋π3C．y＝sin2x－π6D．y＝cos2x－π6答案C解析由(1)知T＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由(2

)(3)知x＝π3时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<π2，则()A．B＝4B．φ＝π6C．ω＝1D．A＝4答案B解析由函数图象可知f(x)min＝0，f(x

)max＝4.所以A＝4－02＝2，B＝4＋02＝2.由周期T＝2πω＝45π12－π6知ω＝2.由fπ6＝4得2sin2×π6＋φ＋2＝4，sinπ3＋φ＝1，又|φ|<π2，故φ＝π6.4．下列函数中，图象的一部分如图所示

的是()A．y＝sinx＋π6B．y＝sin2x－π6C．y＝cos4x－π3D．y＝cos2x－π6答案D解析由题图知T＝4×π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2.又x

＝π12时，y＝1，经验证，只有D项解析式符合题目要求．5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝π6，则φ的值为_____．答案－56π解析由题意知2×π6＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，所以φ＝π6＋kπ，k∈Z，又－π<φ<0，

所以φ＝－56π.1．知识清单：(1)由图象求函数的解析式．(2)三角函数的性质的综合问题．(3)三角函数的实际应用．2．方法归纳：特殊点法，数形结合法．3．常见误区：求φ值时递增区间上的零点和递减区间上零点的区别．1．点P－π6，2是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋mω>0

，|φ|<π2图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则()A．f(x)的最小正周期是πB．f(x)的值域为[0,4]C．f(x)图象的对称轴为π2＋kπ，k∈ZD．f(x)在4π3，2

π上单调递增答案D解析由题意，得－π6ω＋φ＝kπk∈Z，①m＝2，且函数的最小正周期为T＝4×π2＝2π，故ω＝2πT＝1.代入①式得φ＝kπ＋π6(k∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π6.所以f(x)＝sinx＋π6＋2.故函数f(x)的值域为

[1,3]，图象的对称轴为π3＋kπ，k∈Z，排除A，B，C项，故选D.2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只要将f(x)的图象()A．向右平移π6个

单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度答案A解析很明显，A＝1，T＝4712π－π3＝π，∴T＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)．又fπ3＝0，

∴sin23π＋φ＝0.又|φ|<π2，∴π6<23π＋φ<76π，∴23π＋φ＝π，∴φ＝π3，∴f(x)＝sin2x＋π3，∴g(x)＝sin2x＝sin2x－π6＋π3＝fx－π6，即将f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到g(x)的

图象．3．已知函数f(x)＝cosωx－π6(ω>0)的相邻两个零点的距离为π2，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cosωx的图象()A．向右平移π12个单位长度B．向左平移π12个单位长度C．向右平移π6个单位长度D．向左平移π6个单位长度答案A解析由已知得2

πω＝2×π2，故ω＝2.y＝cos2x向右平移π12个单位长度可得y＝cos2x－π12＝cos2x－π6的图象．4．已知ω>0，函数f(x)＝cosωx＋π3的一条对称轴为x＝π3，一个对称中心为π12，0，则

ω有()A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1答案A解析由题意知π3－π12≥T4，故T＝2πω≤π，ω≥2.5．若函数f(x)＝sinωx＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与原图象关于x轴对称，则ω

的最小正值是()A.12B．1C．2D．3答案D解析函数f(x)＝sinωx＋π3的图象向右平移π3个单位长度得y＝sinωx－π3＋π3＝sinωx＋π3－ωπ3的图象，由题意知－ωπ3＝(

2k＋1)π(k∈Z)，所以ω＝－6k－3(k∈Z)，所以ω的最小正值是3.故选D.6．函数f(x)＝sinx－π4的图象的对称轴方程是______．答案x＝3π4＋kπ，k∈Z解析令x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，解得x＝3π4＋kπ，k∈Z，即f(x)的图象的对称轴方程是x＝3π4＋k

π，k∈Z.7．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.答案9π10解析由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为22π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45.∵当x＝3π4时，y有最小值－1，∴4

5×3π4＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)．∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.8．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则f7π12＝________.答案0解析由图象知32T＝π，∴T＝2π3，A＝2，又∵T＝2πω，∴ω＝3，将点π4，0代入y＝2sin

(3x＋φ)得sin3×π4＋φ＝0，取φ＝－34π.∴f(x)＝2sin3x－3π4，∴f7π12＝2sin3×7π12－3π4＝2sinπ＝0.9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－π2<

φ<π2一个周期的图象如图所示．(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；(2)求函数f(x)的解析式及单调递增区间．解(1)由题图知14T＝π12－－π6＝π4，∴T＝π，最大值为1，最小值为－1.(2)由(1)知ω＝2πT＝2.又2×－π6＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ

＝2kπ＋π3，k∈Z，又－π2<φ<π2，φ＝π3，A＝1.则f(x)＝sin2x＋π3，由题图知f(x)的单调递增区间是kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2

的一段图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？解(1)由题意知A＝3，T＝2πω＝434π－π4＝5π，所以ω＝25.由f(x)＝3sin

25x＋φ的图象过点π4，0，得sinπ10＋φ＝0，又|φ|<π2，所以φ＝－π10，所以f(x)＝3sin25x－π10.(2)由f(x＋m)＝3sin25x＋m－π10＝3sin

25x＋2m5－π10为偶函数(m>0)，知2m5－π10＝kπ＋π2(k∈Z)，即m＝52kπ＋3π2(k∈Z)．因为m>0，所以mmin＝3π2.故至少把f(x)的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值是4，

最小值是0，最小正周期是π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是()A．y＝4sin4x＋π6＋2B．y＝2sin2x＋π3＋2C．y＝2sin4x＋π3＋2D．y＝2sin4x＋π6＋2答案D解析因为最大值是4，故选项A不符合题意．又因为

T＝2πω＝π2，所以ω＝4，故排除选项B.令4x＋π3＝π2＋kπ，k∈Z⇒4x＝π6＋kπ，k∈Z⇒x＝π24＋kπ4，k∈Z，令π24＋kπ4＝π3，得k＝76∉Z，排除选项C，故选D.12．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)，f

π6＝fπ3，且f(x)在区间π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.答案143解析依题意知f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)，fπ6＝fπ3，且f(x)在区间π6，π3上有最

小值，无最大值，∴f(x)图象关于直线x＝π6＋π32对称，即关于直线x＝π4对称，且π3－π6<T＝2πω，∴π4·ω＋π3＝3π2＋2kπ，k∈Z，且0<ω<12，∴ω＝143.13．函数y＝2sinπx－11－x(x∈[－2,1)∪(1,4])的所有零点之和为________．答

案8解析函数y＝2sinπx－11－x(x∈[－2,1)∪(1,4])的零点即方程2sinπx＝11－x的根，作函数y＝2sinπx与y＝11－x的图象如图所示：由图可知共有8个公共点，所以原函数有8个

零点．y＝2sinπx－11－x＝2sinπ(1－x)－11－x，令t＝1－x，则y＝2sinπt－1t，t∈[－3,0)∪(0,3]，该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.14．将函数f(x)＝2si

nx的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移π12个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)＝________；若函数g(x)在区间0，a3，2a，7π6上单调递增，则实数a的取值范围是_

_______．答案2sin2x＋π6π3，π2解析将函数f(x)＝2sinx的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，可得y＝2sin2x的图象；再向左平移π12个单位长度得到g(x)＝2sin2x＋π6的图象．若函数g(x)在区间0，a3，

2a，7π6上单调递增，则2·a3＋π6≤π2，2·2a＋π6≥3π2，求得π3≤a≤π2，则实数a的取值范围是π3，π2.15．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－π8对称，那么

a的值为()A.2B．－2C．1D．－1答案D解析根据对称轴的定义，因为函数y＝f(x)＝sin2x＋acos2x的图象以直线x＝－π8为对称轴，那么到x＝－π8距离相等的x值对应的函数值应相等，所以f

x－π8＝f－x－π8对任意x成立．令x＝π8，得fπ8－π8＝f(0)＝sin0＋acos0＝a，f－π8－π8＝f－π4＝sin－π2＋acos－π2＝－1，所以a＝－1.16．已知函数f(x

)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求方程f(x)－lgx＝0的解的个数．解(1)由题图，知A＝2，由函数图象过点(0,1)，得f

(0)＝1，即sinφ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.易知点11π12，0是五点作图法中的第五点，所以11π12ω＋π6＝2π，所以ω＝2.因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)在同一平面直角坐标系中作函数y＝f(x)和函数y＝lgx的图象如图所示．因为

f(x)的最大值为2，令lgx＝2，得x＝100，令11π12＋kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)．而11π12＋31π>100，且11π12＋30π＋π2<100，所以在区间(0,100]内有31个形如11π12＋

kπ，17π12＋kπ(k∈Z,0≤k≤30)的区间．在每个区间上y＝f(x)与y＝lgx的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在11π12，100上有2×31＝62(个)交点．另外，两函数的图象在0，11π12上还有一个交点，所以方程f

(x)－lgx＝0共有63个实数解．