【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题2　不等式与线性规划 第5练 含答案.doc，共(14)页，313.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第5练如何让“线性规划”不失分[题型分析·高考展望]“线性规划”是高考每年必考的内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高.二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上

做到不误时，不丢分.体验高考1.(2015·天津)设变量x，y满足约束条件x＋2≥0，x－y＋3≥0，2x＋y－3≤0，则目标函数z＝x＋6y的最大值为()A.3B.4C.18D.40答案C解析画出

约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l：x＋6y＝0，平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数z＝x＋6y取得最大值，易得A(0，3)，所以zmax＝0＋6×3＝18，选C.2.(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两

种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A3212B128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案D解析设甲

，乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值.由x＋2y＝8，3x＋2y＝12，得A(2，3).则zmax＝3×2＋4×3＝

18(万元).3.(2016·山东)若变量x，y满足x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0，则x2＋y2的最大值是()A.4B.9C.10D.12答案C解析满足条件x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0的可行域如图中阴影部分(包括边界)，x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0，

0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C.4.(2016·浙江)若平面区域x＋y－3≥0，2x－y－3≤0，x－2y＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.355B.2C.322

D.5答案B解析已知不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分，由x－2y＋3＝0，x＋y－3＝0，解得A(1，2)，由x＋y－3＝0，2x－y－3＝0，解得B(2，1).由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两

直线的距离最小，即|AB|＝1－22＋2－12＝2.5.(2015·课标全国Ⅱ)若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0，则z＝x＋y的最大值为______

______.答案32解析画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(△ABC)所示：作直线l0：x＋y＝0，平移l0到过点A的直线l时，可使直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，即z最大，解x－2y＝0，x＋2y－2＝0得x＝1，y＝12，即A1，

12，故z最大＝1＋12＝32.高考必会题型题型一已知约束条件，求目标函数的最值例1(2016·北京)若x，y满足2x－y≤0，x＋y≤3，x≥0，则2x＋y的最大值为()A.0B.3C.4D.5答案C解析不等式组表示的可行域如图

中阴影部分所示.令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由2x－y＝0，x＋y＝3，得x＝1，y＝2，所以A点坐标为(1，2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.点评(1)确定平面区域的方法：“直

线定界，特殊点定域”.(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值.变式训练1已知实数x，y满足x－2y＋1≥0，x＜2，x＋y－1≥0，则z＝|4x－4y＋3|的取值范围是()A.[53，

15)B.[53，15]C.[53，5)D.(5，15)答案A解析根据题意画出不等式所表示的可行域，如图所示，z＝|4x－4y＋3|＝|4x－4y＋3|42×42表示的几何意义是可行域内的点(x，y)到直线4x－4y＋3＝0的距离的42倍，结合图象易知点A(2，－1)，B(13，23)到直

线4x－4y＋3＝0的距离分别为最大和最小，此时z分别取得最大值15与最小值53，故z∈[53，15)，故选A.题型二解决参数问题例2已知变量x，y满足约束条件x＋y≤1，x－y≤1，x≥a，若x＋2y≥－5恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.[－1，1]D.[－1，1)答案C解析由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x＋2y≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x＋2y＝－5的上方，由x－y＝1，x＋2y＝－5，得x＝－1

，y＝－2，由x－y＝1，x＋y＝1，得x＝1，y＝0，则实数a的取值范围为[－1，1].点评所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论.变式训练2(2015·山

东)已知x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤2，y≥0，若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于()A.3B.2C.－2D.－3答案B解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A(2，0)，由x－y＝0，x＋y＝2，得B(1，1).由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴

当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2，0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.题

型三简单线性规划的综合应用例3(1)(2016·浙江)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域x－2≤0，x＋y≥0，x－3y＋4≥0中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB

|等于()A.22B.4C.32D.6(2)(2016·课标全国乙)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5k

g，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.答案(1)C(2)216000解析(1)已

知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ所示.因为l与直线x＋y＝0平行.所以区域内的点在直线x＋y－2上的投影构成线段AB，则|AB|＝|PQ|.由x－3y＋4＝0，x＋y＝0，解得P(－1，1)，由x＝2，x＋y＝0.解得Q(2，－2).

所以|AB|＝|PQ|＝－1－22＋1＋22＝32.(2)设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，y≥0，x∈N*，y∈N*目标函

数z＝2100x＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元).点评若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状

图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题.变式训练3设点P(x，y)是不等式组y≥0，x－2y＋1≥0，x＋y≤3所表

示的平面区域内的任意一点，向量m＝(1，1)，n＝(2，1)，点O是坐标原点，若向量OP→＝λm＋μn(λ，μ∈R)，则λ－μ的取值范围是()A.[－32，23]B.[－6，2]C.[－1，72]D.[－4，23]答案B解析画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示.由题

意，可得(x，y)＝λ(1，1)＋μ(2，1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故x＝λ＋2μ，y＝λ＋μ.令z＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x＋3y，变形得y＝23x＋z3.当直线y＝23x＋z3过

点A(－1，0)时，z取得最大值，且zmax＝2；当直线y＝23x＋z3过点B(3，0)时，z取得最小值，且zmin＝－6.故选B.高考题型精练1.(2015·安徽)已知x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y－4≤0，y≥1，则z＝－2x＋y的最大值是()A.－1B.－2C.－5D.1答

案A解析约束条件下的可行域如图所示，由z＝－2x＋y可知y＝2x＋z，当直线y＝2x＋z过点A(1，1)时，截距最大，此时z最大为－1，故选A.2.(2016·四川)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足y≥x－1，y≥1－x，y≤1，则p

是q的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析如图，(x－1)2＋(y－1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域所有点(包括边界)；y≥x－1，y≥1－x，

y≤1②表示△ABC内部区域所有点(包括边界).实数x，y满足②则必然满足①，反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A.3.在平面直角坐标系中，点P是由不等式组x≥0，y≥0，x＋y≥1所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x＋y＝0

上任意一点，O为坐标原点，则|OP→＋OQ→|的最小值为()A.55B.23C.22D.1答案A解析在直线2x＋y＝0上取一点Q′，使得Q′O→＝OQ→，则|OP→＋OQ→|＝|OP→＋Q′O→|＝|Q′P→|≥|P′P→|≥|BA→|，其中P′，B分别为点P，A

在直线2x＋y＝0上的投影，如图.因为|AB→|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP→＋OQ→|min＝55，故选A.4.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x＋y－7≤0，x－y＋3≥0，y≥0.若圆

心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为()A.5B.29C.37D.49答案C解析由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6，1)处时，amax＝6.∴a2＋b2的最大值为6

2＋12＝37.故选C.5.设x，y满足约束条件3x－y－2≤0，x－y≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是()A.(0，4)B.(0，4]C.[4，＋∞)D.(4，＋∞)答案B解

析作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by(a＞0，b＞0)过点A(1，1)时取最大值，∴a＋b＝4，ab≤a＋b22＝4，∵a＞0，b＞0，∴ab∈(0，4]，故选B.6.已

知变量x，y满足约束条件x＋2y≥1，x－y≤1，y－1≤0，若z＝x－2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2－kx＋1＝0在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是()A.(－6，－2)B.(－3

，2)C.(－103，－2)D.(－103，－3)答案C解析作出可行域，如图所示，则目标函数z＝x－2y在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3，∴a＝1，b＝－3，从而可知方程x2－kx＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解.令f(x

)＝x2－kx＋1，则f－3＞0，f1＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k2－4＞0，⇒－103＜k＜－2，故选C.7.已知实数x，y满足x＋1－y≥0，x＋y－4≤0，y≥m，若

目标函数z＝2x＋y的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为()A.4B.3C.2D.－12答案C解析x＋1－y≥0，x＋y－4≤0，y≥m表示的可行域如图中阴影部分所示.将直线l0：2x＋y＝0向上平移至过点A，B时，z＝2x＋y分别取得最小值

与最大值.由x＋1－y＝0，y＝m得A(m－1，m)，由x＋y－4＝0，y＝m得B(4－m，m)，所以zmin＝2(m－1)＋m＝3m－2，zmax＝2(4－m)＋m＝8－m，所以zmax－zmin＝8－m－

(3m－2)＝2，解得m＝2.8.设关于x，y的不等式组2x－y＋1＞0，x＋m＜0，y－m＞0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是()A.－∞，43B.－∞，13

C.－∞，－23D.－∞，－53答案C解析当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m＜0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.要使可行域内包含y

＝12x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝12x－1的下方即可，即m＜－12m－1，解得m＜－23.9.(2016·江苏)已知实数x，y满足x－2y＋4≥0，2x＋y－2≥0，3x－y－3≤0，则x2＋y2的取值范围是_____

___.答案45，13解析已知不等式组所表示的平面区域如下图：x2＋y2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组3x－y－3＝0，x－2y＋4＝0，得A(2，3).由图可知(x2＋y2)min＝|－2|22＋122＝45，(x2＋y2

)max＝|OA|2＝22＋32＝13.10.4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24，则买3件A商品与9件B商品至少需要________元.答案22解析设1件A商品的价格为x元，1件B商品的价格为y元，买3件A商品与9件B商品需要z

元，则z＝3x＋9y，其中x，y满足不等式组4x＋5y≥20，6x＋3y≤24，x≥0，y≥0，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A(0，4)，B(0，8)，C(103，43).当y＝－13x＋19z经过点C时

，目标函数z取得最小值.所以zmin＝3×103＋9×43＝22.因此当1件A商品的价格为103元，1件B商品的价格为43元时，可使买3件A商品与9件B商品的费用最少，最少费用为22元.11.给定区域D：x＋4y≥4，x＋y≤4，x≥0，令点集T＝{(x0，y0)∈D

|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线.答案6解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0，1)，最大值时点为(0，4)，(1

，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故共可确定6条不同的直线.12.(2015·浙江)若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________.答案3解析满足x2＋y2≤1的实数x，y表示的点(x，y)构成的区域是单位圆

及其内部.f(x，y)＝|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝|2x＋y－2|＋6－x－3y＝4＋x－2y，y≥－2x＋2，8－3x－4y，y<－2x＋2.直线y＝－2x＋2与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，如图所示，易得B35，45.设z1＝4＋x－2y，z2＝8

－3x－4y，分别作直线y＝12x和y＝－34x并平移，则z1＝4＋x－2y在点B35，45取得最小值为3，z2＝8－3x－4y在点B35，45取得最小值为3，所以|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是3.