【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题2　不等式与线性规划 第4练 含答案.doc，共(11)页，97.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第4练用好基本不等式[题型分析·高考展望]基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查.题目难度为中等偏上.应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错

误.体验高考1.(2015·四川)如果函数f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间12，2上单调递减，那么mn的最大值为()A.16B.18C.25D.812答案B解析①当m＝2时，∵f(x)

在[12，2]上单调递减，∴0≤n＜8，mn＝2n＜16.②m≠2时，抛物线的对称轴为x＝－n－8m－2.据题意得，当m＞2时，－n－8m－2≥2，即2m＋n≤12，∵2m·n≤2m＋n2≤6，∴mn≤18，由2m＝n且2m＋n＝12得m

＝3，n＝6.当m＜2时，抛物线开口向下，据题意得，－n－8m－2≤12，即m＋2n≤18，∵2n·m≤2n＋m2≤9，∴mn≤812，由2n＝m且m＋2n＝18得m＝9＞2，故应舍去.要使得mn取得最大值，应有m＋2n＝18(m＜2，n＞8).∴mn＝(18－

2n)n＜(18－2×8)×8＝16，综上所述，mn的最大值为18，故选B.2.(2015·陕西)设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝fa＋b2，r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A.q＝r＜pB.q＝r＞pC.p＝r＜qD.p＝r＞q

答案C解析∵0＜a＜b，∴a＋b2＞ab，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故fa＋b2＞f(ab)，即q＞p.又r＝12(f(a)＋f(b))＝12(lna＋lnb)＝12lna＋12lnb＝ln(ab)21＝f(ab)＝p.故p＝r＜q.选C.3.(2015·天津

)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值.答案4解析log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤log2a＋1＋log2b22＝

log2ab＋122＝log28＋122＝4，当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，此时a＝4，b＝2.4.(2016·江苏)在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________.答案8解析

在△ABC中，A＋B＋C＝π，sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，由已知，sinA＝2sinBsinC，∴sin(B＋C)＝2sinBsinC.∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，A，B，C全为锐角，两边同时除以cosBcosC得：tanB＋t

anC＝2tanBtanC.又tanA＝－tan(B＋C)＝－tanB＋tanC1－tanBtanC＝tanB＋tanCtanBtanC－1.∴tanA(tanBtanC－1)＝tanB＋tanC.则tanAtanBtanC－tanA＝tanB＋tanC，∴tanAta

nBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋2tanBtanC≥22tanAtanBtanC，∴tanAtanBtanC≥22，∴tanAtanBtanC≥8.5.(2016·上海)设a＞0，b＞0.若关于x，y的方程组ax＋y＝1，x＋by＝1无解，则a＋b的

取值范围是________.答案(2，＋∞)解析由已知，ab＝1，且a≠b，∴a＋b＞2ab＝2.高考必会题型题型一利用基本不等式求最大值、最小值1.利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号

的取得条件的一致性，否则就会出错.2.结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有：(1)x＋bx－a＝x－a＋bx－a＋a(x>a).(2

)若ax＋by＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)×1＝(mx＋ny)·ax＋by≥ma＋nb＋2abmn(字母均为正数).例1(1)已知正常数a，b满足1a＋2b＝3，则(a＋1)(b＋2)的最小值是_

_______.答案509解析由1a＋2b＝3，得b＋2a＝3ab，∴(a＋1)(b＋2)＝2a＋b＋ab＋2＝4ab＋2，又a＞0，b＞0，∴1a＋2b≥22ab，∴ab≥89(当且仅当b＝2a时取等号)，∴(a＋1)(b＋2)的最小值为4×

89＋2＝509.(2)求函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x＞－1)的最小值.解设x＋1＝t，则x＝t－1(t＞0)，∴y＝t－12＋7t－1＋10t＝t＋4t＋5≥2t·4t＋5＝9.当且仅当t＝4t，即t＝2，且此时x＝1时，取等

号，∴ymin＝9.点评求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得

.变式训练1已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20，(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求1x＋1y的最小值.解(1)∵x＞0，y＞0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy.∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，即

xy≤10，当且仅当2x＝5y时等号成立.因此有2x＋5y＝20，2x＝5y，解得x＝5，y＝2，此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大

值1.(2)∵x＞0，y＞0，∴1x＋1y＝1x＋1y·2x＋5y20＝1207＋5yx＋2xy≥1207＋25yx·2xy＝7＋21020，当且仅当5yx＝2xy时等号成立.由2x＋5y＝20，5yx＝2xy，解得

x＝1010－203，y＝20－4103.∴1x＋1y的最小值为7＋21020.题型二基本不等式的综合应用例2(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费

用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件答案B解析平均每件产品的费用为y＝800＋x28x＝800x＋x8≥2800x×x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等号，所以每批应生产产

品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.(2)某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米

造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得3200≥240

x·90y＋20xy＝120xy＋20xy＝120S＋20S，则S＋6S－160≤0，即(S－10)·(S＋16)≤0，故0＜S≤10，从而0＜S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，解得x＝1

5，即铁栅的长应设计为15米.点评基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备.变式训练2(1)已知直线ax＋by

－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为25，则ab的最大值是________.答案92解析圆的方程变形为(x－1)2＋(y－2)2＝5，由已知可得直线ax＋by－6＝0过圆心O(1，2)，∴a＋2b＝6(a＞0，b＞0)，∴6＝a＋2b≥

22ab，∴ab≤92(当且仅当a＝2b时等号成立)，故ab的最大值为92.(2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元).当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋10000x

－1450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.①写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解①当0＜

x＜80时，L(x)＝1000x×0.05－(13x2＋10x)－250＝－13x2＋40x－250.当x≥80时，L(x)＝1000x×0.05－(51x＋10000x－1450)－250＝1200－(x＋10000x).∴L(x)＝－13x2＋40x

－2500＜x＜80，1200－x＋10000xx≥80.②当0＜x＜80时，L(x)＝－13x2＋40x－250.对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)最大＝950(万元).当x≥80时，L(x)＝1200－(x＋10000x)≤1200－2100

00＝1000(万元)，当且仅当x＝100时，L(x)最大＝1000(万元)，综上所述，当x＝100时，年获利最大.高考题型精练1.已知x＞1，y＞1，且14lnx，14，lny成等比数列，则xy()A.有最大值eB.有最大值eC.有最

小值eD.有最小值e答案C解析∵x＞1，y＞1，且14lnx，14，lny成等比数列，∴lnx·lny＝14≤lnx＋lny22，∴lnx＋lny＝lnxy≥1⇒xy≥e.2.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y

的最小值是()A.245B.285C.5D.6答案C解析方法一由x＋3y＝5xy可得15y＋35x＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(15y＋35x)＝95＋45＋3x5y＋12y5x≥135＋125＝5(当且仅当3x5y＝12y5x，即x＝1，

y＝12时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.方法二由x＋3y＝5xy得x＝3y5y－1，∵x＞0，y＞0，∴y＞15，∴3x＋4y＝9y5y－1＋4y＝135＋95·15y－15＋4y－15≥135＋23

625＝5，当且仅当y＝12时等号成立，∴3x＋4y的最小值是5.3.若正数a，b满足1a＋1b＝1，则1a－1＋9b－1的最小值是()A.1B.6C.9D.16答案B解析∵正数a，b满足1a＋1b＝1，∴b＝aa－1＞0，解

得a＞1.同理可得b＞1，∴1a－1＋9b－1＝1a－1＋9aa－1－1＝1a－1＋9(a－1)≥21a－1·9a－1＝6，当且仅当1a－1＝9(a－1)，即a＝43时等号成立，∴最小值为6.故选B.4

.已知a＞0，b＞0，若不等式m3a＋b－3a－1b≤0恒成立，则m的最大值为()A.4B.16C.9D.3答案B解析因为a＞0，b＞0，所以由m3a＋b－3a－1b≤0恒成立得m≤(3a＋1b)(3a＋b)＝10＋3ba＋3ab恒成立.因为3ba＋3ab

≥23ba·3ab＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋3ba＋3ab≥16，所以m≤16，即m的最大值为16，故选B.5.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c

(a、b、c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a＋13b的最小值为()A.323B.283C.143D.163答案D解析由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0＜a＜23，0＜b＜1.又2a＋13b＝3a＋2

b22a＋13b＝3＋13＋2ba＋a2b≥103＋22ba·a2b＝163，当且仅当2ba＝a2b，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝12，b＝14时，2a＋13b的最小值为163，故选D.6.已知m＞0，a1＞a2

＞0，则使得m2＋1m≥|aix－2|(i＝1，2)恒成立的x的取值范围是()A.[0，2a1]B.[0，2a2]C.[0，4a1]D.[0，4a2]答案C解析因为m2＋1m＝m＋1m≥2(当且仅当m＝1时等号成立)，所以要使不等式恒成立，则2≥|aix－2|(i＝1，2)恒成立，即－

2≤aix－2≤2，所以0≤aix≤4，因为a1＞a2＞0，所以0≤x≤4a1，0≤x≤4a2，即0≤x≤4a1，所以使不等式恒成立的x的取值范围是[0，4a1].7.已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝

9，则x＋3y的最小值为________.答案6解析由已知得x＝9－3y1＋y.方法一(消元法)∵x＞0，y＞0，∴0＜y＜3，∴x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝121＋y＋3(y＋1)－6≥2121＋y·3y＋1－6＝6，当且仅当121＋y＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)

min＝6.方法二∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝13x·(3y)≤13·x＋3y22，当且仅当x＝3y时等号成立.设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋

18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.8.已知三个正数a，b，c成等比数列，则a＋cb＋ba＋c的最小值为________.答案52解析由条件可知a＞0，b＞0，c＞0，且b2＝ac，即b＝ac，故a＋cb≥2acb＝2，令a＋cb＝t

，则t≥2，所以y＝t＋1t在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋12＝52.9.已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________.答案[4，12]解析∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2x

y≤x2＋4y22，∴6－(x2＋4y2)≤x2＋4y22，∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号)，又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(当且仅当x＝－2y时取等号)，综上可知4≤x2＋4y2≤12.10.当x

∈(0，1)时，不等式41－x≥m－1x恒成立，则m的最大值为________.答案9解析方法一(函数法)由已知不等式可得m≤1x＋41－x，设f(x)＝1x＋41－x＝1－x＋4xx1－x＝3x＋1－x2＋x，x∈(0，1).令t＝3x＋1，则x＝t－1

3，t∈(1，4)，则函数f(x)可转化为g(t)＝t－t－132＋t－13＝t－19t2＋59t－49＝9t－t2＋5t－4＝9－t＋4t＋5，因为t∈(1，4)，所以5＞t＋4t≥4，0＜－(t＋4t)＋5≤1，9－t＋4t＋5≥9，即g(t)∈[9，＋∞)，故m的最大

值为9.方法二(基本不等式法)由已知不等式可得m≤1x＋41－x，因为x∈(0，1)，则1－x∈(0，1)，设y＝1－x∈(0，1)，显然x＋y＝1.故1x＋41－x＝1x＋4y＝x＋yx＋4x＋yy＝5＋(yx＋4xy)≥5＋2yx·4x

y＝9，当且仅当yx＝4xy，即y＝23，x＝13时等号成立.所以要使不等式m≤1x＋41－x恒成立，m的最大值为9.11.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/

时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油2＋x2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.解(1)设所用时间为t＝130x(小时)，y＝130x×2

×2＋x2360＋14×130x，x∈[50，100].所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝2340x＋1318x，x∈[50，100].(2)y＝2340x＋1318x≥2610，当且仅当2340x＝13x18，即x＝1810

时等号成立.故当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12.某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品

每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入16(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮

动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.解(1)设每件定价为t元，依题意，有8－t－251×0.2t≥25×8，整理得t2－65t＋1000≤0，解得

25≤t≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.(2)依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋15x有解，等价于x＞25时，a≥150x＋16x＋15有解，∵150x＋16x≥2150x·16x＝1

0(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2，∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.