【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题11　数学方法 第50练 含答案.doc，共(10)页，125.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-75574.html

以下为本文档部分文字说明：

第50练关于计算过程的再优化[题型分析·高考展望]中学数学的运算包括数的计算，式的恒等变形，方程和不等式同解变形，初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算，求数列和函数、定积分、概率、统计的初步计算等.《高中数学新课程标准》所要求的数学能力中运算求解能力更为基本，运算求解能力指的是

要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各

几何量的计算求解等.数学运算，都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进行的，尤其是概念，它是思维的形式，只有概念明确、理解透彻，才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理.计算法则是计算方法的程序化和规则化，对法则的理解是计算技能形成的前提

.高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查.因此在高中数学中，对于运算求解能力的培养至关重要.提高数学解题能力，首先是提高数学的运算求解能力，可以从以下几个方面入手：1.培养良好的审题习惯.2.培养认真计算的习惯.3.培养一些常用结论的记忆的能力，记住

一些常用的结论，比如数列求和的公式12＋22＋32＋„＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)，三角函数中的辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋θ)等等.4.加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径，任何能力都是有

计划、有目的地训练出来的，提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练.5.提高运算基本技能，必须要提高学生在运算中的推理能力，这就首先要清楚运算的定理及相关理论.6.增强自信是解题的关键，自信才能自强，在数学解题中，自信心是相当重要的.高考必会题型题型一化繁为简，优化计算过程例1

过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B.－33C.±33D.－3答案B解析由y＝1－x2得，x2＋y2＝1(y≥0)，设直线方程为x＝my

＋2，m<0(m≥0不合题意)，代入x2＋y2＝1(y≥0)，整理得，(1＋m2)y2＋22my＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－22m1＋m2，y1y2＝11＋m2，则△AOB的面积为12×2|y1－y2|＝22|y1

－y2|，因为|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝－22m1＋m22－41＋m2＝2m2－11＋m2＝2m2－12＋m2－1＝22m2－1＋m2－1≤222m2－1×m2－1＝22，当且仅当2m2－1＝m2－1，即m2

－1＝2，m＝－3时取等号.此时直线方程为x＝－3y＋2，即y＝－33x＋63，所以直线的斜率为－33.点评本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式，先设出直线方程x＝my＋2，表示出△AOB的面积，然后探讨面积最大时m的取值，得到直线的斜率.题型二运用概念、性质等优化计

算过程例2已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝45，则C的离心率e＝________.答案57解析如图，设|BF|＝m，由题意知，m2＋100－2×10m

cos∠ABF＝36，解得m＝8，所以△ABF为直角三角形，所以|OF|＝5，即c＝5，由椭圆的对称性知|AF′|＝|BF|＝8(F′为右焦点)，所以a＝7，所以离心率e＝57.点评熟练掌握有关的概念和性质是

快速准确解决此类题目的关键.题型三代数运算中加强“形”的应用，优化计算过程例3设b>0，数列{an}满足a1＝b，an＝nban－1an－1＋2n－2(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n，an≤bn＋12n＋1＋1.(1)解由a1＝

b>0，知an＝nban－1an－1＋2n－2>0，nan＝1b＋2b·n－1an－1.令An＝nan，A1＝1b，当n≥2时，An＝1b＋2bAn－1＝1b＋2b2＋„＋2n－2bn－1＋2n－1bn－1A1＝1b＋2b2＋„＋2n－2bn

－1＋2n－1bn.①当b≠2时，An＝1b[1－2bn]1－2b＝bn－2nbnb－2；②当b＝2时，An＝n2.综上，an＝nbnb－2bn－2n，b≠2，2，b＝2.(2)证明当b≠2时，(2n＋1＋bn＋1)bn－2nb－2＝(2n＋1＋bn＋1)(bn－1＋2bn－

2＋„＋2n－1)＝2n＋1bn－1＋2n＋2bn－2＋„＋22n＋b2n＋2b2n－1＋„＋2n－1bn＋1＝2nbn(2b＋22b2＋„＋2nbn＋bn2n＋bn－12n－1＋„＋b2)>2nbn(2＋2＋„＋2)，＝2n·2nbn＝n·2n＋1bn，∴an＝nbnb－2

bn－2n<bn＋12n＋1＋1.当b＝2时，an＝2＝bn＋12n＋1＋1.综上所述，对于一切正整数n，an≤bn＋12n＋1＋1.点评结合题目中an的表达式可知，需要构造an新的形式nan＝1b＋2b·n－1an－1，

得到新的数列，根据新数列的形式求和；不等式的证明借用放缩完成.高考题型精练1.已知函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域是一切实数，则m的取值范围是()A.0<m≤4B.0≤m≤1C.m≥4D.0≤m≤4答案D解析根据题意mx2＋mx＋1≥0(x∈R)恒成立

，当m＝0时，满足不等式；当m≠0时，需满足m>0，Δ＝m2－4m≤0，解得0<m≤4，综上0≤m≤4.2.已知函数f(x－1x)＝x2＋1x2，则f(3)的值为()A.8B.9C.11D.10答案C解析∵f(x－1x)＝(x－1x)2＋2，∴f(3)＝9＋2＝11.3.已知

一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>12}，则f(10x)>0的解集为()A.{x|x<－1或x>lg2}B.{x|－1<x<lg2}C.{x|x>－lg2}D.{x|x<－lg2}答案D解析由题意知，一元二次不等式f(x)>0的解集为(－1，12

)，即－1<10x<12⇒x<－lg2.4.设函数f(x)＝x－1x6，x<0，－x，x≥0.则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为()A.－20B.20C.－15D.15答案A解析当x>0时，f[f(x)]＝(－x＋1x)6＝(1x－x)6的展开式

中，常数项为C36(1x)3(－x)3＝－20.5.在△ABC中，若ACAB＝cosBcosC，则()A.A＝CB.A＝BC.B＝CD.以上都不正确答案C解析∵ACAB＝sinBsinC＝cosBcosC，∴sinBcosC－cosBsinC＝0.∴sin(B－C)＝0.又∵－π<B－C

<π，∴B－C＝0，即B＝C.6.已知直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，若P(2，2)为AB的中点，则直线AB的方程为________.答案x－y＝0解析∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2＝4x上，∴

y21＝4x1，y22＝4x2，∴y22－y21＝4x2－4x1，即y2－y1x2－x1＝4y2＋y1.∵P(2，2)为AB的中点，所以y2＋y1＝4，∴直线AB的斜率k＝y2－y1x2－x1＝4

4＝1，∴直线AB的方程为x－y＝0.7.抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________.答案[－2，12]解析易知切

线方程为：y＝2x－1，所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为A(0，0)，B(12，0)，C(0，－1).易知过C点时有最小值－2，过B点时有最大值12.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsin(

π4＋C)－csin(π4＋B)＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积.(1)证明由bsin(π4＋C)－csin(π4＋B)＝a，应用正弦定理，得sinBsin(π4＋C)－s

inCsin(π4＋B)＝sinA，sinB(22sinC＋22cosC)－sinC(22sinB＋22cosB)＝22，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1.由于0<B，C<34π，从而B－C＝π2.(2)解由(1)知，B－C＝π2，又

B＋C＝π－A＝3π4，因此B＝5π8，C＝π8.由a＝2，A＝π4，得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12.9.在如图所示的多面体ABC

DE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1.(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明；(2)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角θ的大小.解以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(0，0，2)，B(2，0，1)，C(1，3，0).(1)点F应是线段CE的中点，证明如下：设F是线段CE的中点，则点F

的坐标为(12，32，1)，DE→＝(0，0，2)，BF→＝－32，32，0，∴BF→·DE→＝0，∴BF→⊥DE→.而DE→是平面ACD的一个法向量.此即证得BF∥平面ACD.(2)设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥CB→，且n⊥CE→，由CB→

＝(1，－3，1)，CE→＝(－1，－3，2)，得x－3y＋z＝0，－x－3y＋2z＝0，不妨设y＝3，则x＝1，z＝2，即n＝(1，3，2)，∴所求角θ满足cosθ＝n·DE→|n|·|DE→|＝422×2＝22，∴θ＝π4.10.已

知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(5，3)在双曲线上.(1)求双曲线方程；(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且OP→·OQ→＝0，求1|OP|2＋1|OQ|2的值.解(1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，∴

双曲线方程为x2a2－y23a2＝1，即3x2－y2＝3a2，∵点M(5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a2，∴a2＝4，∴所求双曲线方程为x24－y212＝1.(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立x24－y212＝1得x2＝123－

k2，y2＝12k23－k2，∴|OP|2＝x2＋y2＝12k2＋13－k2.∵OP→·OQ→＝0，∴直线OQ的方程为y＝－1kx，同理可得|OQ|2＝12k2＋13k2－1，∴1|OP|2＋1|OQ|2＝3－k2＋3k2－112k2＋1

＝2＋2k212k2＋1＝16.11.已知数列{an}中，an＝1＋1a＋2n－1(n∈N*，a∈R且a≠0).(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a

6成立，求a的取值范围.解(1)∵an＝1＋1a＋2n－1(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋12n－9(n∈N*).结合函数f(x)＝1＋12x－9的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞„＞a

n＞1(n∈N*).∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)an＝1＋1a＋2n－1＝1＋12n－2－a2，已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性，

可知5＜2－a2＜6，即－10＜a＜－8.12.若正数x，y满足x＋2y＋4＝4xy，且不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，求实数a的取值范围.解∵正实数x，y满足x＋2y＋4＝4xy，即x＋2y＝4xy－4.不等式(x＋2y)a2

＋2a＋2xy－34≥0恒成立，即(4xy－4)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，变形得2xy(2a2＋1)≥4a2－2a＋34恒成立，即xy≥2a2－a＋172a2＋1恒成立.又∵x>0，y>0，∴x＋2y≥22xy，∴4xy＝x＋2y＋4≥4＋22xy，即2(xy)2－2x

y－2≥0，∴xy≥2或xy≤－22(舍去)，可得xy≥2.要使xy≥2a2－a＋172a2＋1恒成立，只需2≥2a2－a＋172a2＋1恒成立，化简得2a2＋a－15≥0，解得a≤－3或a≥52.故a的取值范围是(－∞，－3]∪[5

2，＋∞).