【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题11　数学方法 第48练 含答案.doc，共(9)页，98.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第48练整体策略与换元法[题型分析·高考展望]整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径.换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出

来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.高考必会题型题型一整体策略例1(1)计算(1－12－13－14－„－12014)×(12＋13＋14＋15＋„＋12015)－(1－12－13－14－15－„－

12014－12015)×(12＋13＋14＋„＋12014)；(2)解方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.解(1)设12＋13＋14＋„＋12014＝t，则原式＝(1－t)(t＋12015)－(

1－t－12015)t＝t＋12015－t2－12015t－t＋t2＋12015t＝12015.(2)设x2＋5x＝t，则原方程化为(t＋1)(t＋7)＝7，∴t2＋8t＝0，解得t＝0或t＝－8，当t＝0时，x2＋5x＝0，x(x＋5)＝0，x1＝0，x2＝－5；当t＝－8时，x2＋5

x＝－8，x2＋5x＋8＝0，Δ＝b2－4ac＝25－4×1×8<0，此时方程无解；即原方程的解为x1＝0，x2＝－5.点评整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据

题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决.变式训练1计算：(1－12－13－14)×(12＋13＋14＋15)－(1－12－13－14－15)×(12＋13＋14).解令12＋13＋14＝t，则原式＝(1－t)(

t＋15)－(1－t－15)t＝t＋15－t2－15t－45t＋t2＝15.题型二换元法例2(1)已知函数f(x)＝4x－2xt＋t＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x轴上方，则实数t的取值范围是________________.(2

)已知点A是椭圆x225＋y29＝1上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且OA→·OP→＝48，则点P的横坐标的最大值为________.答案(1)(－∞，2＋22)(2)10解析(1)令m＝2x(m>1)，则问题转化为函数f

(m)＝m2－mt＋t＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x轴上方，即Δ＝t2－4(t＋1)<0或Δ≥0，t2<1，1－t＋t＋1>0，解得t<2＋22，即实数t的取值范围是(－∞，2＋22).(2)当点P的横坐标最大时，射线OA的斜率k>0，设OA：y＝kx

，k>0，与椭圆x225＋y29＝1联立解得x＝159＋25k2，又OA→·OP→＝xAxP＋k2xAxP＝48，解得xP＝481＋k2xA＝1659＋25k21＋k2＝1659＋25k21＋k22，令

9＋25k2＝t>9，即k2＝t－925，则xP＝165tt＋16252＝165×25tt2＋162＋32t＝801t＋162t＋32≤80×164＝10，当且仅当t＝16，即k2＝725时取等号，所以点P的横坐标的最大值为10.(3)已知函数f(x

)＝ax－ln(1＋x2).①当a＝45时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的极值；②证明：当x>0时，ln(1＋x2)<x；③证明(1＋124)(1＋134)„(1＋1n4)<e(n∈N*，n≥2，e为自然对数的

底数).①解当a＝45时，f(x)＝45x－ln(1＋x2)，f′(x)＝45－2x1＋x2＝4x2－10x＋451＋x2＝0，x＝2或x＝12.f(x)和f′(x)随x的变化情况如下表：x(0，12)12(12，

2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗f(x)极大值＝f(12)＝25－ln54，f(x)极小值＝f(2)＝85－ln5.②证明令g(x)＝x－ln(1＋x2)，则g′(x)＝1－2x1＋x2≥0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，g(x)>

g(0)＝0，∴ln(1＋x2)<x.③证明由②知，ln(1＋x2)<x，令x2＝1n4得，ln(1＋1n4)<1n2<1nn－1＝1n－1－1n，∴ln(1＋124)＋ln(1＋134)＋„＋ln(1＋1n4)<1－12＋12－13＋13－14＋„＋1n－1－1n＝1－1n<1，∴(1＋12

4)(1＋134)„(1＋1n4)<e.点评换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理，换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象

，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.主要考查运用换元法处理以函数、三角函数、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换

元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程.变式训练2(1)已知函数f(x)＝1x－1＋2x(x>1)，则f(x)的最小值为________.答案2＋22解析f(x)＝1x－1＋2(x－1)＋2

，令x－1＝t，则f(t)＝1t＋2t＋2(t>0)，∴f(t)≥21t×2t＋2＝2＋22.当且仅当1t＝2t时等号成立，故f(x)的最小值为2＋22，当且仅当1x－1＝2(x－1)，即x＝22＋1时等号成立.(2)已知在数

列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.①求Sn的表达式；②设bn＝Sn2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，证明Tn<12.①解∵S2n＝anSn－

12，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴S2n＝(Sn－Sn－1)Sn－12，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，(*)由题意得Sn－1·Sn≠0，(*)式两边同除以Sn－1·Sn，得1Sn－1Sn－1＝2，∴数列1Sn是首项为1S1＝1a

1＝1，公差为2的等差数列.∴1Sn＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝12n－1.②证明∵bn＝Sn2n＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋„＋bn＝12[

(1－13)＋(13－15)＋„＋(12n－1－12n＋1)]＝121－12n＋1＝n2n＋1<12，∴Tn<12.高考题型精练1.已知长方体的表面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为()A

.23B.14C.5D.6答案C解析设长方体长，宽，高分别为x，y，z，由已知“长方体的表面积为11，其12条棱的长度之和为24”，得2xy＋yz＋xz＝11，4x＋y＋z＝24，长方体所求对角线长为x2＋y2＋z2＝x＋y＋z2－2x

y＋yz＋xz＝62－11＝5，故选C.2.设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是______.答案3解析设x＝sinα，y＝cosα，m＝3sinβ，n＝3cosβ，其中α，β∈(0°，180

°)，∴mx＋ny＝3sinβsinα＋3cosβcosα＝3cos(α－β)，故最大值为3.3.函数y＝3x＋2－42－x的最小值为________.答案－8解析由x＋2≥0，2－x≥0，解得－2≤x≤2，所

以函数的定义域为[－2，2].因为(x＋2)2＋(2－x)2＝4，故可设x＋2＝2sinθ，2－x＝2cosθ(θ∈[0，π2])，则y＝3×2sinθ－4×2cosθ＝6sinθ－8cosθ＝10sin(θ－φ)(φ∈(0，π2)，cosφ＝35，sinφ＝45)，因为θ∈[

0，π2]，所以θ－φ∈[－φ，π2－φ]，所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×(－45)＝－8.4.已知不等式x>ax＋32的解集是(4，b)，则a＝______，b＝________.答案1836解析令x＝t，则t>at2＋32，即at2－t＋32<0，其解集为(2，

b)，故2＋b＝1a，2·b＝32a，解得a＝18，b＝36.5.已知y＝f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x，则满足f(f(a))＝12的实数a的个数为________.答案8解析由题意知，f(x)＝－x2＋2x，x≥0，－x2

－2x，x＜0，其图象如图所示，令t＝f(a)，则t≤1，令f(t)＝12，解得t＝1－22或t＝－1±22，即f(a)＝1－22或f(a)＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点.6.设f(x2＋1)＝loga(4－x4)(a>1)，则f(x)的值域是________.答

案(－∞，loga4]解析设x2＋1＝t(t≥1)，∴f(t)＝loga[－(t－1)2＋4]，∴值域为(－∞，loga4].7.已知m∈R，函数f(x)＝|2x＋1|，x<1，log2x－1，x>1，g(x)＝x2－2x＋2m－1，

若函数y＝f(g(x))－m有6个零点，则实数m的取值范围是________.答案(0，35)解析函数f(x)＝|2x＋1|，x＜1，log2x－1，x>1的图象如图所示，令g(x)＝t，y＝f(t)与y＝m的图象最多有3个

交点，当有3个交点时，0<m<3，从左到右交点的横坐标依次t1<t2<t3，由于函数有6个零点，t＝x2－2x＋2m－1，则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能为最小值，函数t＝x2－2x＋2m－1的对称轴为x＝1，则最小值1

－2＋2m－1＝2m－2，由图可知，2t1＋1＝－m，则t1＝－m－12，由于t1是交点横坐标中最小的，满足－m－12>2m－2，①又0<m<3，②联立①②得0<m<35.8.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最

小值解方程x2＋y2－4x＋1＝0变形为(x－2)2＋y2＝3，表示的图形是圆.(1)设x－2＝3cosθ，则y＝3sinθ，故x＝2＋3cosθ，y＝3sinθ，则y－x＝3sinθ－3cosθ－2＝6sin(θ－π4)－2，∴当θ－π4＝2kπ－π2(k∈Z)时，y－x有最小值－6

－2，当θ－π4＝2kπ＋π2(k∈Z)时，y－x有最大值6－2.(2)由(1)知x2＋y2＝(2＋3cosθ)2＋(3sinθ)2＝7＋43cosθ.∴当θ＝2kπ(k∈Z)时，x2＋y2有最大值7＋43，

当θ＝2kπ＋π(k∈Z)时，x2＋y2有最小值7－43.9.平面内动点P与两定点A(－2，0)，B(2，0)连线的斜率之积等于－14，若点P的轨迹为曲线E，直线l过点Q(－65，0)交曲线E于M，N两点.(1)求曲线E的方程，并证明：∠MAN是一定值；(2)若四边形AMBN的面积为S，求S的

最大值.解(1)设动点P坐标为(x，y)，当x≠±2时，由条件得：yx－2·yx＋2＝－14，化简得x24＋y2＝1(x≠±2)，曲线E的方程为x24＋y2＝1(x≠±2)，由题意可设直线l的方程为x＝ky－65，联立方程组可得x＝ky－65，x24＋y2

＝1，化简得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4.又A(－2，0)，则AM→·AN→＝(x1＋2

，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以∠MAN＝90°，所以∠MAN的大小为定值.(2)S＝12|AB|·|y1－y2|＝12·|2＋2|·y1＋y22－4y1y2＝21

2k5k2＋42＋4×6425k2＋4＝8525k2＋64k2＋42，令k2＋4＝t(t≥4)，∴k2＝t－4，∴S＝8525t－36t2.设f(t)＝25t－36t2，∴f′(t)＝25t2－2t25t－36t4＝－25t

＋72t3，∵t≥4，∴f′(t)<0，∴y＝f(t)在[4，＋∞)上单调递减.∴f(t)≤f(4)＝100－3616＝4，由t＝4，得k＝0，此时S有最大值165.