【文档说明】人教版高中数学选择性必修第二册培优练习5.2《导数运算》（解析版）.doc，共(19)页，558.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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选择性必修二尖子生同步培优题典5.2导数运算解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设函数()fx的导函数是()fx，

若()()cossin2fxfxx，则()3f（）A．12B．32C．12D．32【答案】A【解析】【分析】求导后，令2x，可求得()2f0，再令3x可求得结果.【详解】因为()()cossin2fxfxx，所以()(

)(sin)cos2fxfxx，所以()()(sin)cos2222ff()2f，所以()02f，所以()cosfxx，所以1()cos332f.故选：A

【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.2．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技

术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系240()2tNtN

，其中N0为0t时钍234的含量．已知24t时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2，则120N（）A．12贝克B．12ln2贝克C．6贝克D．6ln2贝克【答案】A【解析】【分析】由24t时，钍234含量的

瞬时变化率为8ln2，可求0384N，从而可求120N.【详解】解：240ln2()224tNtN，所以00ln218ln2,384242NN，24240()23842ttNtN，1202

4(120)384212N(贝克)，故选：A.【点睛】考查导数的几何意义以及求函数的值，基础题.3．函数fx的导函数为fx，若对于定义域为任意1212,xxxx，有1212122fxfxxxfxx恒成立，则称f

x为恒均变函数.给出下列函数：①23fxx；②223xxxf；③xfxe；④cosfxx其中为恒均变函数的序号是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②④【答案】B【解析】【分析】针对每一个函数

，分别计算出1212fxfxxx与122xxf，检验两者是否恒相等，即可得解.【详解】对于①，1212121223232fxfxxxxxxx，1222xxf，

满足1212122fxfxxxfxx，故①为恒均变函数；对于②，2211221212122323xxxxfxfxxxxx121212121222xxxxxxxxxx，12121

222222xxxxfxx，满足1212122fxfxxxfxx，故②为恒均变函数；对于③，当11x，20x时，12121212

1xxfxfxeeexxxx，121122212xxxxfeee即此时1212122fxfxxxfxx，故③不为恒均变函数；对于④，当12x，20x时，12121212coscos2fxfxxxxx

xx，121222sinsin2242xxxxf，即此时1212122fxfxxxfxx，故④不为恒均变函数.

故选：B.【点睛】本题考查了导数的计算，考查了运算能力和对于新概念的理解，属于中档题.4．设1sinfxx，'21fxfx，'32fxfx，…，'1nnfxfx，nN，则2020fx（）A．s

inxB．sinxC．cosxD．cosx【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的导函数和已知定义，依次对其求导，观察得出4()(),nnfxfxnN，可得解.【详解】1()sinfxx，''1()sincosfxxx，'1

2()()cosfxfxx，23'()(cos)sinfxfxxx，34'()(sin)cosfxfxxx，45'()(cos)sinfxfxxx，由此可知：4()(),nnf

xfxnN，24201()()cosfxfxx.故选：D.【点晴】本题考查三角函数的导数，依次求三角函数的导数找到所具有的周期性是解决此问题的关键，属于中档题.5．已知函数34(x)sin1xfxxe

，其导函数为'()fx，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)ffff的值为（）A．4040B．4C．2D．0【答案】B【解析】【分析】计算得到4fxfx，''0fxfx，代入数据得到答案

.【详解】函数34(x)sin1xfxxe44411xxxefxfxee，224'3cos1xxefxxxe，''0fxfx，(2020)'(2020)(20

20)'(2020)=4ffff，故答案选B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出4fxfx是解题的关键.6．函数π2sin04fxx的导函数为f

x，集合000,0,Mxfxfx0ππ,42x，中有且仅有１个元素，则的取值范围是（）A．31115,7,222B．371315,3,7,2222

C．371115,3,7,2222D．371315,3,7,2222【答案】C【解析】【分析】计算得2cos4fxx，又由题知，0fx在ππ,

42上仅有一个零点，所以可得π42xk，则有4422412241244kkk，求解不等式组即可得的取值范围.【详解】计算得2cos4fxx，又由

题知，0fx在ππ,42上仅有一个零点，又0，所以πππππ,44424x，由0fx得π42xk，所以4422412241244kkk

，解得：3243272241kkkk，所以当0k时得332；当1k时得71122；当2k时得1572；故得：371115,3,7,2222

.故选：C【点睛】本题主要考查了导数的运算，三角函数的图象性质，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.二、多选题7．给出定义：若函数fx在D

上可导，即fx存在，且导函数fx在D上也可导，则称fx在D上存在二阶导函数，记fxfx，若0fx在D上恒成立，则称fx在D上为凸函数.以下四个函数在0,2

上是凸函数的是（）A．sincosfxxxB．ln2fxxxC．321fxxxD．xfxxe【答案】ABC【解析】【分析】求出每一个函数的二阶导数，判断是否0fx在0,2x上恒成立,从而得

到答案.【详解】对于A选项，sincos,()cossinfxxxfxxx，则sincosfxxx，当0,2x时，恒有0fx，是凸函数；对于B选项，1ln2,()2fxxxfxx，则21fxx，当0,2x

上，恒有0fx，是凸函数；对于C选项，若3221,()32fxxxfxx，则60fxx在0,2x上恒成立，是凸函数；对于D选项，若,()(1)xxfx

xefxxe，则2xfxxe，则0fx在0,2x上恒成立，故不是凸函数.故选：ABC.【点睛】本题考查导数的计算，考查获得新知识、应用新知识的能力，比较简单.解答时

只要准确求出原函数的二阶导数进行分析即可.8．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量.一般的，如果函数fx存在导函数fx，称0limxyEyxyfxxExfxx为函

数fx的弹性函数，下列说法正确的是（）A．函数fxC（C为常数）的弹性函数是0EyExB．函数cosfxx的弹性函数是tanEyxxExC．1212()()()()EfxfxE

fxEfxExExExD．1122()()()()fxEEfxEfxfxExExEx【答案】ABD【解析】【分析】利用题目中的定义和导数的运算逐一判断即可.【详解】对于A，00EyxExC，即A正确；对于B，s

intancosEyxxxxExx，即B正确；对于C，121212121212()()()()()()()()()()EfxfxxxxfxfxfxfxExfxfxfxfxfxfx而

121212()()()()EfxEfxxxfxfxExExfxfx，二者不相等，即C错误；对于D，12111212122222()()()()()()()()()()()()()fxEfxfxfxfxfxfxxfxxfxExfxfxfxfx

121111222122()()()()()()()()()()()()EfxEfxfxfxfxfxxxfxxfxfxfxfxfxExEx即D正确故选：ABD【点睛】本题是一道新定义的题，考查

了学生的分析能力和转化能力，较难.9．已知()(1)(2)(20)fxxxxx，下列结论正确的是（）A．(0)20!fB．(1)19!fC．(19)19!fD．(20)20!f【答案】AC【解析】【分析】对

函数进行求导，逐个选项验证即可.【详解】∵()(1)(2)(20)fxxxxx，∴()1220220fxxxxxxx1320119xxxxxxx，

∴0122020!f，即A正确；11121919!f，即B错误，C正确；202019120!f，故D错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查了导数的运算，熟练掌握导数的乘法运算法则是解题的关键，属于

基础题.三、填空题10．已知32()(1)3(1)fxxxfxf，则(1)(1)ff的值为___________.【答案】34.【解析】【分析】求出导函数，分别代入1和-1得到方程组，解得

9(1)8f，3(1)8f，再相加可得答案.【详解】由32()(1)3(1)fxxxfxf，得2()32(1)3(1)fxxxff，所以(1)32(1)3(1)fff，①(1)32(1

)3(1)fff②由①②得9(1)8f，3(1)8f,则3(1)(1)4ff.故答案为：34.【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题.11．若函数()fx是函数()fx的导函数

，且满足(0)1,3()()3ffxfx，则不等式4()()fxfx的解集为____________.【答案】1ln23(,)【解析】【分析】由题意可设()bxfxaec，由(0)1,3()()3ffxfx，可得3,1,2bca，由此求出()fx的解析

式，不等式可解.【详解】3()()3fxfx，()3()3fxfx可设()bxfxaec由(0)1f，得1ac又3()()3fxfx，即333bxbxaecabe333aabc，解得3,1,2bca3()21

,xfxexR又4()()fxfx33846xxee即32xe解得1ln23x故答案为：1ln23(,)【点睛】本题考查了导数中构造函数解决问题的题型，由题眼3()()3fxfx可知，原函数和导函数形式相同，由此可联想构造xe型函数，属于难题.12．对

于三次函数32()fxaxbxcxd（0a）给出定义：设()fx是函数()yfx的导数，()fx是函数()fx的导数，若方程()0fx有实数解0x，则称点00,xfx为函数()yfx的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐

点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212fxxxx，请你根据上面探究结果，计算12320202021202120212021ffff

______.【答案】2020【解析】【分析】由题意“拐点”就是对称中心,求出给定函数32115()33212fxxxx的对称中心坐标,探究出对称性

,计算出结果.【详解】函数32115()33212fxxxx,则2()3fxxx,()21fxx,结合题意令()210fxx,解得12x,而1()12f,由题意可知函数()fx

关于点1(,1)2对称,则有()(1)2fxfx,令12320202021202120212021ffffm则20212021202120220202

019201118ffffm两式相加得220202m,所以2020m,即123202020202021202120212021ffff

.故答案为:2020【点睛】本题考查了导数得计算和函数得对称性,需要理解题目条件的意思,并能运用已知条件来解题,本题的难点在函数的对称性,能探究出函数对称性可得计算结果,需要掌握解题方法.

四、解答题13．求下列函数的导数（1）2sin3yxxx；（2）2(lnsin)yxxx；（3）221xyx；（4）41(13)yx.【答案】（1）cos61yxx；（2）y22ln2sincosxxxxxxx；

（3）y222211xx；（4）51213yx.【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式和简单复合函数的导数运算法则进行求解即可.【详解】（1）因为2sin3yxxx，所以cos321cos61yxx

xx；（2）因为2(lnsin)yxxx，所以22lnsinlnsinyxxxxxx，化简可得，212lnsincosyxxxxxx

22ln2sincosxxxxxxx；（3）因为221xyx，由基本初等函数的导数公式和运算法则可得，222221211xxxxyx22221221xxxx

222211xx；（4）因为41(13)yx，所以4513134133yxxx化简可得，51213yx.【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式和简单复合函数的

导数运算法则；考查运算求解能力；熟记基本初等函数的导数公式是求解本题的关键；属于中档题.14．已知,,abcR，函数()()()()fxxaxbxc的导函数为()fx．（1）若bc，求曲线()yfx在点(,(

))bfb处的切线方程；（2）求111()()()fafbfc的值．【答案】（1）0y；（2）0.【解析】【分析】（1）根据bc，得到2()()()fxxaxb，对其求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程；（2）先对函数求导，分别计算()fa，()fb，()fc，将

所求式子化简整理，即可得出结果.【详解】（1）若bc，则2()()()fxxaxb，所以2()()()2()fxxbxaxb，则2()()()2()0fbbbxabb，即曲线()yfx

在点(,())bfb处的切线斜率为0，又2()()()0fbbabb，所以所求切线方程为：0y；（2）由()()()()fxxaxbxc得()()()()()()()()()()()()fxxbxcxaxbxcxbxcxaxcxaxb

，所以()()()faabac，()()()fbbabc，()()()fccacb，因此111111()()()()()()()()()fafbfcabacbabccacb111111()()()()()()baaba

cbccacbabacbcacbc110()()()()acbcacbc.【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查导数的计算，属于常考题型.15．记(),()fxgx

分别为函数(),()fxgx的导函数．若存在0xR，满足00()()fxgx且00()()fxgx，则称0x为函数()fx与()gx的一个“S点”．（1）证明：函数()fxx与2()22gxxx不存在“S点”；（2）若函数2()1fxax与(

)lngxx存在“S点”，求实数a的值【答案】（1）证明见解析（2）e2【解析】【分析】（1）对函数(),()fxgx分别求导，通过()()fxgx且()()fxgx，列方程求解即可；（2）对函数(),()fxgx分别求导，通过00()()fxgx且00()()

fxgx，列方程，求出a即可.【详解】解：（1）函数2(),()22fxxgxxx，则()1,()22fxgxx．由()()fxgx且()()fxgx，得222122xxxx，此方程组无解，因此，()fx与()gx不存在“S”点．（

2）函数21fxax（），()lngxx，则12fxaxgxx（），（）．设0x为()fx与()gx的“S”点，由00()()fxgx且00()()fxgx，得200001ln12axxa

xx，即200201ln21axxax，（*）得01ln2x，即120ex，则1221e22(e)a．当e2a时，120ex满足方程组（*），即0x为()fx与()gx的“S”点．因此，a的值为e2．

【点睛】本题考查对新概念的理解与应用，考查分析能力与计算能力，难度不大.16．已知函数1()sin,2xfxxR，记1nfx为nfx的导数，*nN.（1）求23fxfx，；（2）猜想(),*nfxnN的表

达式，并证明你的猜想.【答案】（1）2122xfxcos，3142xfxsin（2）111()sin222nnnxfx，证明见解析【解析】【分析】（1）由1nfx为nfx的导数，先求nfx的导函数，再求值即可；（2）由（1）

猜想111()sin222nnnxfx，再利用数学归纳法证明即可.【详解】解：（1）因为()2xfxsin，则2122xfxcos，3142xfxsin，（2）猜想：111()sin222nnnxfx

.下面用数学归纳法证明：①当1n时，12xfxsin，结论成立；②假设nk（1k³且*Nk）时，结论成立，即111()sin222kkkxfx.当1nk时，11111()(

)cos2222kkkkxfxfx11sin2222kkx(1)11(1)1sin222kkx.所以当1nk时，结论成立.所以由①②可知对任意的*nN结论成立.【点睛】本题考查了函数的导函

数的求法，重点考查了数学归纳法，属中档题.