【文档说明】人教版高中数学选择性必修第二册培优练习5.1《导数的概念及其意义》（解析版）.doc，共(19)页，772.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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数学选择性必修二尖子生同步培优题典5.1导数的概念及其意义解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知曲线3fxxb在0xaa处的切线方程为310xy，则函数lgyaxb

图象的对称轴方程为（）A．3xB．13xC．1xD．3x【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求出,ab的值，然后可得答案.【详解】因为23fxx，曲线3fxxb在0xaa处的切线方程为310xy，所以233f

aa，结合0a可得1a所以114fb，解得3b所以lglg3yaxbx图象的对称轴方程为3x故选：A【点睛】本题考查的是导数的几何意义，属于基础题.2．设点P是函数201xfxefxf图象上的任意一点，点P处切

线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A．30,4B．30,,24C．3,24D．30,,24【答案】B【解析】【分析】在fx中令0x后可求01f，再根据导数的取值范围可

得tan的范围，从而可得的取值范围.【详解】2e01xfxfxf，2e0xfxf，020ff，01f，2e1xfxxf，2e11x

fx.点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，tan1.0,，30,,24.故选：B.【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，

还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题.3．若实数abcd,,,满足2ln41aacbd，则22()()acbd的最小值为（）A．2B．22C．4D．8【答案】D【解析】【分析】将题意转化为求函数2yxlnx与直线4yx上任意两点

之间距离的最小值的平方的问题，利用导数的几何意义，即可容易求得结果.【详解】因为2ln41aacbd，故可得2balna，4dc，故点,,,abcd可理解为函数2,?4yxlnx

yx上的任意两点.又12yxx，令1y，故可得1x，即函数2yxlnx在1,1处的切线与4yx平行，又切线方程为：yx，则函数2yxlnx在1,1处的切线方程与直线4yx之间的距离4222d，故22()()a

cbd的最小值即为28d.故选：D.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，注意本题对目标式的转化才是本题的关键，属综合中档题.4．直线:lykxb是曲线ln1fxx和曲线2lngxex的公切线，则b（）A．2B．12

C．ln2eD．ln2e【答案】C【解析】【分析】由fxk可求得直线l与曲线ln1fxx的切点的坐标，由gxk可求得直线l与曲线2lngxex的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l的方程，可得出关于k、b的方程组，进而可求得实数b的值.【详解】设直线l与曲

线ln1fxx相切于点11,Axy，直线l与曲线2lngxex相切于点22,Bxy，ln1fxx，则11fxx，由1111fxkx，可得11kxk，则111ln1lnyfxxk，即点1,lnkAkk

，将点A的坐标代入直线l的方程可得1lnkkkbk，可得ln1bkk，①2ln2lngxexx，则1gxx，由221gxkx，可得21xk，222lnygxk，即点1

,2lnBkk，将点B的坐标代入直线l的方程可得12ln1kkbbk，1lnbk，②联立①②可得2k，1ln2ln2eb.故选：C.【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.

5．将曲线()lnfxx绕着点(0,1)逆时针方向旋转后与y轴相切，则的最小正值是（）A．6B．4C．3D．2【答案】B【解析】【分析】首先根据导数的几何意义，求出过点0,1与曲线相切的切线的切点，并求直线的斜率和倾斜角，

再根据题意得出的最小正值.【详解】由题意得1()fxx，设过点(0,1)的直线l与曲线()yfx相切于点00,xy，则000ln11xxx，解得01x，所以直线l的斜率1k，故的最小正值是4．故选：B．【点睛】本题考查导数的几何意义，重

点考查直观想象，计算能力，属于中档题型.6．若存在过点1,0的直线与曲线3yx和215904yaxxa都相切，则a的值为（）A．1或2564B．1或214C．74或2564D．74或7【答案】A【

解析】【分析】设切点坐标为3,tt，利用导数求出曲线3yx在点3,tt处的切线方程，将点1,0的坐标代入切线方程，求出t的方程，可得出切线方程，再将切线方程与二次函数21594yaxx的解析式联立，由0可求得实数

a的值.【详解】对于函数3yx，23yx，则曲线3yx在点3,tt的切线斜率为23kt，所以，曲线3yx在点3,tt处的切线方程为323yttxt，即2332ytxt，由于直线2332ytxt过

点1,0，可得23320tt，解得32t或0t.当0t时，切线为x轴，对于函数21594yaxx，则21153604a，解得2564a；当32t时，切线方程为272744yx，联立22727441594yxyaxx

，整理得29304axx，0a，由题意可得2990a，解得1a.综上所述，1a或2564a.故选：A.【点睛】本题考查过点与曲线相切的切线方程的求解，考查计算能

力，属于中等题.二、多选题7．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为()Wft，用()()fbfaba的大小评价在[,]ab这段时间内企业污水治理

能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论，其中正确结论为（）A．在12,tt这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B．在2t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；C．在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；D．甲企业在

112230,,,,,ttttt这三段时间中，在10,t的污水治理能力最强．【答案】ABC【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果.【详解】()()fbfaba表示区间端点连线斜率的负数，在12,tt这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比

乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；A正确；甲企业在112230,,,,,ttttt这三段时间中，甲企业在12,tt这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在12,tt的污水治理能力最强．D错误；在2t时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率

的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B正确；在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；C正确；故选：ABC.【点睛】本题考查切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属常考题型.8．已知函数sin0,0,2fxAxA

的图象如图所示，令gxfxfx，则下列关于函数gx的说法中正确的是（）A．函数gx图象的对称轴方程为12xkkZB．函数gx的最大值为22C．函数gx的图象上存在

点P，使得在P点处的切线与直线l：31yx平行D．方程2gx的两个不同的解分别为1x，2x，则12xx最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得722sin12gxfxfxx，由函数的图象与

性质可得函数gx的对称轴方程为12xk，kZ函数gx取得最大值22，由导数的几何意义可得使得在P点处的切线与直线l：31yx平行，03kgx，解得073cos11222x

，由方程2gx解得12xx最小值为2，从而可得正确答案.【详解】根据函数sin0,0,2fxAxA的图象知，2A，24362T，2T，21T，根据五点法画图知，当6x时

，62x，3，2sin3fxx，2cos3fxx，2sin2cos33gxfxfxxx22sin34x

722sin12x；令7122xk，kZ，解得12xk，kZ，函数gx的对称轴方程为12xk，kZ，A正确；当72122xk，kZ时，函数gx取得最大值22，B正确；722c

os12gxx，假设函数gx的图象上存在点00,Pxy，使得在P点处的切线与直线l：31yx平行，则00722cos312kgxx，解得073cos11

222x，显然不成立，所以假设错误，即C错误；方程2gx，则722sin212x，72sin122x，72124xk，kZ或732124

xk，kZ，方程的两个不同的解分别为12,3xkkZ，22,6xkkZ，则122,2xxkkZ，其最小值为2，故D正确.故选：ABD．【点睛】本题考查了三角函数sinyAωxφ的图象与性质，考

查了导数的几何意义，考查了辅助角公式的应用，属于中档题.9．在直角坐标系内，由A，B，C，D四点所确定的“N型函数”指的是三次函数320axbxdafxcx，其图象过A，D两点，且fx的图像在点A处的切线经过点B，在点D处的切线经过点C.若将由0,0A，

1,4B，3,2C，4,0D四点所确定的“N型函数”记为yfx，则下列选项正确的是（）A．曲线yfx在点D处的切线方程为28yxB．1488fxxxxC．曲线yfx关于点4,0对称D．

当46x时，0fx【答案】ABC【解析】【分析】A.根据函数在点D处的切线经过点C，利用点斜式求解判断；B.根据fx的图象过点0,0A及4,0D，设4fxxxkxm(其中0k)，然后再利用'04f，

'42f求解判断；C.由B得到80fxfx判断；D.由B结合46x，有40x，80x判断.【详解】因为直线CD的斜率为02243，所以CD的方程为024yx，即28yx，所以A正确.因为fx的图象过点0,0A及4,0D，所以f

x有两个零点0，4，故可设4fxxxkxm(其中0k)，则'424fxkxxkxmx，由'04f，'42f，得1m，18k，所以1488fxxxx，故B正确.由选项B

可知，80fxfx，所以曲线yfx关于点4,0对称，故C正确.当46x时，有40x，80x，所以0fx，故D不正确.故答案为：ABC.【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的性质，还考查了运算求解能力，属于中

档题.三、填空题10．若00x03)()lim1(xxfxfx，则0()fx=________.【答案】13【解析】【分析】【详解】由极限的定义可得：0003limxfxxfxx0003lim3

3xfxxfxx031fx，01'3fx.故答案为：1311．已知函数453,0(),0xxfxxax且(1)(1)ff，则曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为__

______.【答案】32470xy【解析】【分析】先根据条件求a值，再求导利用导数几何意义得到切线斜率，求切点，根据点斜式写方程即可.【详解】因为(1)1(1)2faf，所以1a.因为当0x时，3()4fxx¢=，所以(2)32f.又(2)17f，

所以所求切线方程为1732(2)yx，即3247yx，即32470xy.故答案为：32470xy【点睛】本题考查了导数的几何意义与分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.12．若点,Pab在函

数23lnyxx的图象上，点,Qcd在函数2yx的图象上，则PQ的最小值为__________．【答案】22【解析】设直线yxm与曲线23lnyxx相切于00,Pxy，由函数23lnyxx

，可得32yxx，令00321xx，又00x，解得01x，即有013ln11y，可得切点1,1P，代入11m，解得2m，可得与直线2yx平行且与曲线23lnyxx相切的直线2yx，而两条平行线2yx与2yx的距离2222

2d，即有PQ的最小值为22，故答案为22.点睛：本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题；设出切点，求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点，求出与直线2yx平行且与曲线23lnyxx相切的

直线yxm，再求出此两条平行线之间的距离，即可得出.四、解答题13．已知函数32123fxxx，M为函数fx图象上一点，曲线yfx在M处的切线为l.（1）若M点坐标为0,2，求切线l的方程；（2）求当切线l的斜率最小时M点的坐标.【答案】（1

）2y；（2）41,3M.【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果；（2）先对函数求导，求导数的最小值，得出此时的x，即可得出切点横坐标，从而可求出切点.【详解】（1）因为32123fxx

x，所以22fxxx，又M点坐标为0,2，所以00f，因此在M处的切线l为2y；（2）因为222111fxxxx，当且仅当1x时，fx取最小值1，根据导数的几何意义可知，此时切线斜率最小，又1

x时，1114233f，所以41,3M.【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，以及求切点坐标，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.14．泰兴机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c

(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求产量为1000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量；(3)求c′(1000)与c′(1500)，并说明它们的实际意义．【答案】（1）5

000.6(元)；（2）2000(元)；（3）见解析.【解析】【分析】（1）将x=1000代入函数可得总利润，总利润除以总数1000可得平均利润；（2）计算1500100015001000cc即可得解；（3）求导得c′(x)，再分别

计算c′(1000)和c′(1500)，利用导数代表瞬时变化率可知为实际意义为生产一台多获利的钱数.【详解】(1)产量为1000台时的总利润为c(1000)＝－2×10002＋7000×1000＋600＝5000600(元)，平均利润为10001000c＝5000.6(元)．(2)

当产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量为1500100015001000cc＝60006005000600500＝2000(元)．(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7000x＋

600)′＝－4x＋7000，∴c′(1000)＝－4×1000＋7000＝3000(元)，c′(1500)＝－4×1500＋7000＝1000(元)，它们指的是当产量为1000台时，生产一台机械可多获利3000元；.而当产量为1500台时，生产一台机械可多获利10

00元．【点睛】本题考查了导数概念的实际应用，考查了导数的运算，关键是理解导数概念的实际意义.15．已知函数32fxaxbx在点1,1f处的切线方程为310xy．（1）求实数a，b的值；（2）若过点1,4mm可做

曲线yfx的三条切线，求实数m的取值范围．【答案】（1）a=1，b=3；（2）4,4．【解析】【分析】（1）根据题设条件可得关于,ab的方程组，从而可求,ab的值.（2）设切点为00,xy

，则可得关于0x的方程200260xxm有3个不同的实数解，利用导数讨论326gxxxm的极值的正负，从而可得m的取值范围.【详解】解：（1）232fxaxbx，由32fxaxbx在点1,1f处的切线方程为210xy，得()

12f=-，13f，故2323abab，故1,3ab，（2）由（1）得236fxxx，过点1,m向曲线yfx做切线，设切点为00,xy，则切线方程为32200000336yxxxxxx．因

为切线过1,m，故322000003361mxxxxx，整理得到：200260xxm，∵过点8,4mm可做曲线yfx的三条切线，故方程200260xx

m有3个不同的解.记326gxxxm，262611gxxxx．∴当1x时，gx有极大值4m，当1x时，gx有极小值5m．故当140140gmgm，即44m

时，函数gx有3个不同零点．∴实数m的取值范围是4,4．【点睛】本题考查导数的几何意义和函数的零点，对于三次函数的零点的个数问题，一般转化为函数的极值的正负来讨论，本题属于中档题.16．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和

山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为21,ll，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到21,ll的距离分别为2千米和5千米，点N到21,ll的距离分别为4千米和2.5千米，以12,ll在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假

设曲线C符合函数ayxb（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．【答案】（1）10,0

ab；（2）①22400424ftttt；②当10t时，公路l的长度最短为45.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得,ab的值.（2）①先求得切线l的方程，然后求得l的横截距和纵截距，进而求得ft的表达式.②利用基本不等式求得公路l的

最小值以及此时t的值.【详解】（1）依题意可知2,5,4,2.5MN，代入ayxb得510202.54aababb，所以1024yxx.（2）①设10,Ptt（24t），曲线1024yxx的导函数'210y

x，所以曲线1024yxx在P处切线的斜率为210t，由点斜式得切线方程为：21010yxttt，即21020yxtt，令0x得20yt，即切线l的纵截距为20t；令0y得2xt，

即切线l的横截距为2t；所以2222204002424ftttttt.②由于22400424ftttt，而222240040042480tttt，当且仅当224004102,4ttt

时等号成立.所以当10t时公路l的长度最小为8045.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查待定系数法求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于难题.