【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册专题05《数学归纳法》(解析版).doc，共(12)页，500.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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专题5数学归纳法一、单选题1．（2020·河南省高二月考（理））利用数学归纳法证明*()123(31)fnnnN时，第一步应证明（）A．(2)12fB．(1)1fC．(1)123fD．(1)1234f【答案】D【解析】n的初始值应为1，而(1)1

234f.故选D2．（2020·白山市第一中学高二开学考试（理））某个命题与自然数n有关，若*()nkkN时命题成立，那么可推得当1nk时该命题也成立，现已知5n时，该命题不成立，那么可以推得A．6n时该命题不成立B．6n时该命题成立C．4n时该

命题不成立D．4n时该命题成立【答案】C【解析】假设4n时该命题成立，由题意可得5n时，该命题成立，而5n时，该命题不成立，所以4n时，该命题不成立.而5n时，该命题不成立，不能推得6n该命题是否成立．故选C．3．（2020·宁县第二中学高二期中（理））用数学

归纳法证明不等式111131214nnnn的过程中，由nk递推到1nk时，不等式左边（）A．增加了一项121kB．增加了两项121k，121kC．增加了A中的一项，但又减少了另一项11kD．增加了B中的两项，但

又减少了另一项11k【答案】D【解析】当nk时，左边11112kkkk，当1nk时，左边111(1)1(1)2(1)(1)kkkk11111232121kkkk

kk，所以，由nk递推到1nk时，不等式左边增加了121k，121k；减少了11k；故选：D4．（2020·梅河口市第五中学高二月考（理））用数学归纳法证：11112321nn

…（*nN时1n）第二步证明中从“k到1k”左边增加的项数是（）A．21k项B．21k项C．12k项D．2k项【答案】D【解析】当nk时，左边11112321k…，易知分母为连续正整数，所以，共有21k项；当1nk时，左边111112321k…

，共有121k项；所以从“k到1k”左边增加的项数是121(21)2kkk项.故选D5．（2018·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二期中（理））用数学归纳法证明“221111,N1nnaaaaana

”，在验证1n是否成立时，左边应该是()A．1B．1aC．21aaD．231aaa【答案】C【解析】用数学归纳法证明“221111,N1nnaaaaana”，在验证1n时，把1n代入，左边21aa.故选：C.6．（2019·瓦房店市实验高级

中学高二月考（理））用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+

…+（k+1）2．故选：C．7.（2020·江苏省天一中学高二期中）对于不等式2nn<n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,211<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即2kk<k+1.那么当n=k+

1时,2222(k1)k1k3k2k3k2k2(k2)=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N*,不等式均成立.则上述证法（）A．过程全部正确B．n=1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n=

k到n=k+1的证明过程不正确【答案】D【解析】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k时的不等式，正确的证明过程如下：在（2）中假设nk时有21kkk成立，即2(1)(1)(1)1kkk成立，即1nk

时成立，故选D．8．（2020·郏县第一高级中学高二开学考试（理））用数学归纳法证明不等式111121222nnnn的过程中，由nk递推到1nk时不等式左边（）A．增加了121kB．增加了112122kkC．增加了112122kk，但减少了

11kD．以上各种情况均不对【答案】C【解析】当nk时，11111222kkk，当1nk时，111112321222kkkk，故增加了112122kk

，但减少了11k.故选：C.9．（2020·甘肃省兰州一中高二月考（理））用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)()nnnnnnnN时，由“1nknk”等式两边需同乘一个代数式，它是（）A．22k

B．(21)(22)kkC．221kkD．(21)(22)1kkk【答案】D【解析】由题意有，假设nk时，(1)(2)()213(21)()kkkkkkkN成立，则当1nk时，左边(2)(3)[(1)(1

)]kkkk(1)(11)(1)(2)()1kkkkkkkkk(1)(11)213(21)1kkkkkkk1213(21)(21)kkk右边∴由数学归纳法可知上式成立∴显然等式两边需同乘(21)(2

2)1kkk故选：D.10．（2020·巴楚县第一中学高二期中（理））在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步验证n等于()A．1B．2C．3D．0【答案】C【解析】因为多边形的边数最少是3，

即三角形，在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为132nn条时，第一步验证n等于3，故选C.11．（2020·河南省高二学业考试（理））利用数学归纳法证明“(1)(2)(3)()nnnnn

213(21)nn，*nN”时，从”nk”变到“1nk”时，左边应增加的因式是（）A．21kB．211kkC．231kkD．(21)(22)1kkk【答案】D【解析】由题意“nk”时，左

边为12,...kkkk，“1nk”时，左边为23,...11kkkk，从而可得增加两项为2122kk，且减少项为1k，故选D.12．（2018

·浙江省诸暨中学高二月考）已知2739nfnn,存在自然数m,使得对任意*nN,都能使m整除fn,则最大的m的值为()A．30B．9C．36D．6【答案】C【解析】由()(27)39nfnn，得(1)36f，(2)336f，(3

)1036f，(4)3436f，由此猜想36m.下面用数学归纳法证明：(1)当1n时，显然成立。(2)假设nk时，()fk能被36整除，即()(27)39kfkk能被36整除；当1nk时,1[2(1)7]39kk13(27)391823kkk

13(27)391831kkk131k是2的倍数，11831k能被36整除，当1nk时，()fn也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有()(27)39nfn

n能被36整除，m的最大值为36.故选：C.二、填空题13．（2019·邳州市第四中学高二期中（理））用数学归纳法证明1111(2321nnnN且1)n，第一步要证的不等式是___

______．【答案】【解析】式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到221，所以答案为111223．14．（2016·上海市金山中学高一期末）用数学归纳法证明“22111...11nnaaaaaa

”，在验证1n成立时，等号左边的式子是______.【答案】21aa【解析】因为左边的式子是从0a开始，1na结束，且指数依次增加1所以1n，左边的式子为0111aaa21aa，故答案为21aa.15．（2019

·江苏省连云港市锦屏高级中学高二期中（理））利用数学归纳法证明“111111111234212122nnnnn”时从“nk”变到“1nk”时，左边应增加的项是______________.【答案】112122kk【解析】当

nk时，等式为111111111234212122kkkkk，当1nk时，等式为11111111123421222322kkkkk，因此，从

“nk”变到“1nk”时，左边应增加的项是1111111111121234212221412212321kkkkkk.故答案为：112122kk.16．（2019·江苏省高二期中（理））用

数学归纳法证明“当*nN时，235112222n能被31整除”时，从k到1k时需添加的项是______.【答案】55152535422222kkkkk【解析】根据数学归纳法，当nk时：原式为：235112222kL；当1n

k时，原式为235112222k55152535422222kkkkk.故需添加的项是：55152535422222kkkkk.故答案为：5515253542

2222kkkkk.三、解答题17．（2020·陕西省西安一中高二期中（理））用数学归纳法证明：215914)332(nnnnN．【答案】详见解析【解析】证明（1）当1n时，左边1，右边1，命题成立．（2）假设1,()nkkkN时，

命题成立，即215913432kkk．则当1nk时，2159134341241kkkkk22231211kkkk．所以当1nk时，命题成立．综合（1）（2）可知，原命题成立．18．（2020

·武威第六中学高二期中（理））已知数列na的前n项和为nS，且满足2nnSan，（1）求1a，2a，3a，并猜想数列na的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）11a，23

a，37a，21nna；（2）见解析【解析】（1）2nnSan，当1n时，11a，且1121nnSan，于是121nnaa，从而可以得到23a，37a，猜想通项公式21

nna；（2）下面用数学归纳法证明：21nna．①当1n时，11a满足通项公式；②假设当nk时，命题成立，即21kka，由（1）知1212211kkkaa，1121kka，即

证当1nk时命题成立.由①②可证21nna成立．19．（2020·新疆维吾尔自治区高二期中（理））已知数列112，123，134，…，1n(n1)，…，（1）计算123,,SSS；（2）由以上结果推测计算nS的公式，并用数学归纳法给出

证明.【答案】（1）123123=,,234SSS；（2）1nnSn，证明见详解【解析】（1）11=2S，211112+=23263SS，321213+=+=343124SS；（2）由（1）猜想1nnSn，下面用数学归纳法加以证明：检验初始值1n

时等式成立，假设nk时命题成立，证明当1nk时，命题也成立.①1n时，111==112S，成立；②假设nk时，有1kkSk成立，则当1nk时，11(1)(2)kkSSkk11(1)(2)kkkk

221(1)(2)kkkk2(1)(1)(2)kkk1(1)1kk，1nk时，猜想也成立，故由①，②可知，猜想对nN都成立.20．（2020·湖北省高二月考）已知数列na满足11a，144nnnaaa．（1）计算2a，3a，4a的值，并猜想数列

通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．【答案】（1）245a，323a，447a，猜想：43nan．（2）见解析【解析】（1）因为数列na满足11a，144nnnaaa，所以当1n时，121(4)4aaa，得

245a，当2n时，232(4)4aaa，344(4)455a，得346a，当3n时，343(4)4aaa，444(4)466a，得447a由此猜想43nan，（2）用数学归纳法证明如下：①当1n时，14113a，猜想成立；②假设当nk时猜想成

立，即43kak；则当1nk时，144kkkaaa得144444434444(3)(1)343kkkakaakkk所以当1nk时猜想成立根据①、②可知猜想正确.21．（2020·白山市第一中学高二开学考试（理））已知数列n

a，首项11a，前n项和nS足2*nnSnnNa.（1）求出1234,,,SSSS，并猜想nS的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）11S，243S，332S，485S；21nnSn（2）证明见解

析【解析】（1）根据题意，由2nnSna，*nN，11a得：111Sa，由2222122441SaSSS，得：243S，由23332343993SaSSS，

得：33624S，由2444343416162SaSSS，得：485S，猜想nS的表达式为：21nnSn；综上所述，答案为：111Sa，243S，332S，485S；21nnSn；（2）证明：1.当

1n时，21111，∵11S，∴猜想正确；2.假设当*1,nkkkN时，猜想正确，即21kkSk；那当1nk时，由已知得：22111(1)(1)kkkkSkakSS

将归纳假设代入上式，得：2112(1)1kkkSkSk2122(1)kkkSkk∴12(1)2(1)2(1)1kkkSkk，这就是说，当1nk时，猜想正确；综上所述

1，2知：对一切*nN，都有21kkSk成立.22．（2018·浙江省高三月考）已知na是等差数列,nb是等比数列,11331542,,ababaab．设,nnnncabS是数列nc的前n项

和．(1)求,nnab；(2)试用数学归纳法证明：18(34)2nnSn．【答案】(1)31,2nnnanb；(2)见解析【解析】(1)设na的公差为,ndb的公比为q,由112ab

,得12(1),2nnnandbq．又由33154,abaab,得23222,2242,dqdq解得3,2dq．所以31,2nnnanb．(2)证明：由(1)知,(31)2nncn,则14c．①当

1n时,1118(314)24S,结论成立．②假设当nk时,18(34)2kkSk成立,则当1nk时,11118(34)2(32)2kkkkkSSckk18(62)2kk2(1)18(3

1)28[3(1)4]2kkkk,结论也成立．综合①②,由数学归纳法可知,18(34)2nnSn.