【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册2.1.1《倾斜角与斜率》导学案(含答案).doc，共(9)页，492.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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2.1.1倾斜角与斜率1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.重点：理解直线倾斜角和

斜率的概念及其关系难点：过两点的直线斜率的计算公式.一、自主导学一、直线的倾斜角定义当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0°记法α图示范围

0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可点睛：倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到

和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.、二、直线的斜率yxP1xyOxyP2··Q1.定义与表示定义(α为直线的倾斜角)α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率α=90°

直线斜率不存在记法常用小写字母k表示,即k=tanα范围R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度2.填表:斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°＜α＜90°α＝_____90°＜α＜180°斜率(范围)______________不存在____

_____90°;0;(0，＋∞);(－∞，0)3.我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。如果知道直线上的两点，怎么样来求直线的斜率(倾斜角)呢？当为锐角时，21PQP，21xx，21yy，在QPPRt21中，12121221tantanxxyyQPQPPQ

P若为钝角呢？你还能用其它方法推导这个公式吗？三、直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),则直线的斜率公式为k=.点睛：1.运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂

直.2.斜率公式与P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成k=.即下标的顺序一致.二、小试牛刀1.下列图中表示直线倾斜角为()2.直线x=1的倾斜角α=.3．思考辨析(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．()(2)倾斜

角为135°的直线的斜率为1.()(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα.()(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．()4．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于________．5．如图，直线l

1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k26.已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于()A.2B.1C.

D.不存在一、情境导学交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=.k>0表示上坡,k<0表示

下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?二、典例解析例1已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少?直线的倾斜角的求法求直线的倾斜

角主要根据定义,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.跟踪训练1.设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.当0°≤α<135°时,倾斜角为α

+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°例2已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?延伸探究1本例条件不变

,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.延伸探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在.(2)若两点的横坐标不相等,则可以用斜率公

式k=(其中x1≠x2)进行计算.金题典例光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),试求点Q的坐标及入射光线的斜率.光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它

们之间是互为相反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.跟踪训练2一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标.1.若直线l经过第二、第四象限,则直线l的倾斜角范围是()A.0°≤α<90°B.90°≤α<180°C.90

°<α<180°D.0°<α<180°2.过点A(-)与点B(-)的直线的倾斜角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.60°3.过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,那么m的值为()A.1或4

B.4C.1或3D.14.光线从点A(-2,)射到x轴上的B点后,被x轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,2),则光线BC所在直线的倾斜角为.5．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．参考答案：知识梳理

1.答案:C2.答案:90°3．【解析】(1)×倾斜角为90°时，斜率不存在．(2)×斜率应为－1.(3)×斜率有可能不存在．(4)√4．答案：45°∵k＝tanα＝1.∴α＝45°.5．答案：D由图可知，k1＜0，k2＞k3＞0.故选D.6.答案:A学习过程例1思路分析:画

草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角解:由题意画出如下草图.由图可知:当α为钝角时,倾斜角为α-90°,当α为锐角时,倾斜角为α+90°,当α为直角时,倾斜角为0°.综上,直线l转动前的倾斜角为跟踪训练1.解析:根据

题意,画出图形,如图所示:因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D.答案:D例2解:

(1)kMN==1,解得m=.(2)l的倾斜角为90°,即l平行于y轴,所以m+1=2m,得m=1.延伸探究1解:由题意知>0,解得1<m<2.延伸探究2解:(1)由题意知=1,解得m=2.(2)由题意知m+1=3m,解得m=.金题典例解:(方法

1)设Q(0,y),则由题意得kQA=-kQB.∵kQA=,kQB=,∴=-.解得y=,即点Q的坐标为0,,∴k入=kQA==-.(方法2)设Q(0,y),如图,点B(4,3)关于y轴的对称点为B'(-4,3),kAB'==-

,由题意得,A、Q、B'三点共线.从而入射光线的斜率为kAQ=kAB'=-.所以,有,解得y=,点Q的坐标为(0,).跟踪训练2解:(方法1)由光的反射原理,知kAP=-kBP,设P(x,0),则=-,解得x=,即点P的坐标是(,0).(方法2)由题意,知x轴是镜面,入射点A(

-2,3)关于x轴的对称点为A1(-2,-3),则点A1应在反射光线所在的直线上,即A1,P,B三点共线,即=kPB,,解得x=,即点P的坐标是(,0).达标检测1.答案:C2.解析:kAB==1,故直线的倾斜角

为45°.答案:A3.解析:由k==1,得m=1.答案:D4.解析:点A(-2,)关于x轴的对称点为A'(-2,-),由物理知识知kBC=kA'C=,所以所求倾斜角为60°.答案:60°5．【解析】如图所示．∵kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，∴

k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.