【文档说明】高考数学(文数)一轮复习考点通关练第5章《不等式、推理与证明、算法初步与复数》35 (含详解).ppt，共(53)页，581.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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高考总复习首选用卷·文科数学第一部分考点通关练第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试35基本不等式第1步狂刷小题·练基础一、基础小题1．“a>0且b>0”是“a＋b2≥ab”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析a>0且b>0⇒a＋b2≥a

b，但a＋b2≥ab⇒/a>0且b>0，只能推出a≥0且b≥0.2．函数f(x)＝x＋1x(x<0)的值域为()A．(－∞，0)B．(－∞，－2]C．[2，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析f(x)＝－－x－1x≤－2－x·1－x＝－2.3．设0

<x<2，则函数y＝x4－2x的最大值为()A．2B.22C.3D.2解析∵0<x<2，∴2－x>0，∴y＝x4－2x＝2·x2－x≤2·x＋2－x2＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取

等号．4．函数y＝x2＋2x＋2x＋1(x>－1)的图象的最低点的坐标是()A．(1,2)B．(1，－2)C．(1,1)D．(0,2)解析y＝x＋12＋1x＋1＝(x＋1)＋1x＋1≥2，当x＝0时取

最小值．5．设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A．a<b<ab<a＋b2B．a<ab<a＋b2<bC．a<ab<b<a＋b2D.ab<a<a＋b2<b解析∵0<a<b，∴a<a＋b2<b，A、C错误；ab－a＝a(b－a)>0，即ab>a，D错误，

故选B.6．下列不等式一定成立的是()A．lgx2＋14>lgx(x>0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋1>1(x∈R)解析取x＝12，则lgx2＋14＝lgx，故

排除A；取x＝32π，则sinx＝－1，故排除B；取x＝0，则1x2＋1＝1，故排除D.应选C.7．若正实数x，y满足x＋y＋1x＋1y＝5，则x＋y的最大值是()A．2B．3C．4D．5解析∵xy≤x＋y24，

x>0，y>0，∴1xy≥4x＋y2，x＋yxy≥4x＋y，∴x＋y＋4x＋y≤5.设x＋y＝t，即t＋4t≤5，得到t2－5t＋4≤0，解得1≤t≤4，∴x＋y的最大值是4.8．小王从甲地到乙地往返的时速分

别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()A．a<v<abB．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b2解析设甲乙两地相距为s，则v＝2ssa＋sb＝21a＋1b.由于a<b，∴1a＋1b<2a，∴v>a.又1a＋1b>21ab，∴v

<ab.故a<v<ab，故选A.9．已知x>0，y>0，且4x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为()A．3B．6C．9D．12解析1x＋1y＝(4x＋y)1x＋1y＝5＋yx＋4xy≥9，当且仅当yx＝4xy，即x

＝16，y＝13时等号成立，此时x，y值存在，所以1x＋1y的最小值为9，故选C.10．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均存储时间为x8天，且每件产品每天的存储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与存储费用之和最小，

每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件解析若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，存储费用是x8元，总的费用y＝800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8时

取等号，得x＝80(件)，故选B.11．设a>b>c>0，则2a2＋1ab＋1aa－b－10ac＋25c2的最小值是()A．2B．4C．25D．5解析2a2＋1ab＋1aa－b－10ac＋25c2＝2a2＋a－b＋baba－

b－10ac＋25c2＝2a2＋1ba－b－10ac＋25c2≥2a2＋1b＋a－b22－10ac＋25c2(b＝a－b时取“＝”)＝2a2＋4a2－10ac＋25c2＝a2＋4a2＋(a－5c)2≥4

当且仅当a＝2，b＝22，c＝25时取“＝”，故选B.12．设M＝1a－11b－11c－1，且a＋b＋c＝1，a，b，c∈(0，＋∞)，则M的取值范围是__________．[8，＋∞)解析M＝b＋ca·a＋cb·a＋bc

≥2bc·2ac·2ababc＝8，当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．二、高考小题13．[2015·福建高考]若直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．

4D．5解析因为直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，所以1a＋1b＝1.所以a＋b＝(a＋b)·1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，

故选C.14．[2015·湖南高考]若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A.2B．2C．22D．4解析依题意知a>0，b>0，则1a＋2b≥22ab＝22ab，当且仅当1a＝2b，即b＝2a时，“＝”成立．因为1a＋2b＝ab，所以ab≥22ab，即ab≥22，所以

ab的最小值为22，故选C.15．[2014·重庆高考]若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是()A．6＋23B．7＋23C．6＋43D．7＋43解析由log4(3a＋4b)＝log2ab，得3a＋4b＝ab，且a>0，b>0，∴a

＝4bb－3，由a>0，得b>3.∴a＋b＝b＋4bb－3＝b＋4b－3＋12b－3＝(b－3)＋12b－3＋7≥212＋7＝43＋7，即a＋b的最小值为7＋43.16．[2014·福建高考]要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是

每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．160解析设底面的边长分别为xm，ym，总造价为T元，则V＝xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2xy＝80＋20×

4＝160.(当且仅当x＝y时取等号)故该容器的最低总造价是160元．17．[2015·重庆高考]设a，b>0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．32解析令t＝a＋1＋b＋3，则t2＝(a

＋1＋b＋3)2＝a＋1＋b＋3＋2a＋1·b＋3≤9＋a＋1＋b＋3＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时，即a＝72，b＝32时，等号成立．即t的最大值为32.18．[2015·山东高考]定义运算“⊗”：x⊗y＝x2－y2xy(x，y∈R，xy≠0)．当

x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．2解析由x⊗y＝x2－y2xy，得x⊗y＋(2y)⊗x＝x2－y2xy＋4y2－x22xy＝x2＋2y22xy.因为x>0，y>0，所以x2＋2y22xy≥2x2·2y22xy＝2，当且仅当x＝2y时，等号成立．三、模拟小

题19．[2016·兰州一模]在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A．y＝x＋1xB．y＝cosx＋1cosx0<x<π2C．y＝x2＋3x2＋2D．y＝ex＋4ex－2解析当x<0时，

y＝x＋1x≤－2，故A错误；因为0<x<π2，所以0<cosx<1，所以y＝cosx＋1cosx>2，故B错误；因为x2＋2≥2，所以y＝x2＋2＋1x2＋2≥2中等号取不到，故C错误；因为ex>0，所以y＝ex＋4ex－2≥2ex·

4ex－2＝2，当且仅当ex＝4ex，即ex＝2时等号成立，故选D.20．[2017·长春质检]设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.1a＋1b有最大值4B.ab有最小值12C.a＋b有最大值2D．a2＋b2有最小值22解析由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b

≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab≤12，∴ab≤14，1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，因此1a＋1b的最小值为4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－12＝12，(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋1

＝2，所以a＋b有最大值2，故选C.21．[2017·浙江金丽衢联考]若函数f(x)＝2x2－ax－1(a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为()A．0B.32C．1D.12解析由题意得f(x)＝2x2－ax－1＝2x－12＋4x

－1＋2－ax－1＝2(x－1)＋2－ax－1＋4≥22x－1·2－ax－1＋4＝24－2a＋4，当且仅当2(x－1)＝2－ax－1，即x＝1＋2－a2时，等号成立，所以24－2a＋4＝6，即a

＝32，故选B.22．[2016·广州一模]设a＝x2－xy＋y2，b＝pxy，c＝x＋y，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2]C.

12，72D.12，3解析对任意的正实数x，y，由于a＝x2－xy＋y2≥2xy－xy＝xy，当且仅当x＝y时等号成立，b＝pxy，c＝x＋y≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，所以xy

＋2xy>pxy，且pxy＋xy>2xy，且pxy＋2xy>xy，解得1<p<3，故实数p的取值范围是(1,3)，故选A.23．[2017·江苏调研]已知a>b>1，且2logab＋3logba＝7，则a＋1b2－1的最小值为____

____．3解析令logab＝t，由a>b>1，得0<t<1,2logab＋3logba＝2t＋3t＝7，得t＝12，即logab＝12，a＝b2，所以a＋1b2－1＝a－1＋1a－1＋1≥2a－1·1a－1＋1＝3，当且仅当a＝2时取等号．24．[2016·杭州一

模]设x>0，y>0，且x－1y2＝16yx，则当x＋1y取最小值时，x2＋1y2＝________.12解析∵x>0，y>0，∴当x＋1y取最小值时，x＋1y2取得最小值，∵x＋1y2＝x2＋1y2＋2xy，

x－1y2＝16yx，∴x2＋1y2＝2xy＋16yx，x＋1y2＝4xy＋16yx≥24xy·16yx＝16，∴x＋1y≥4，当且仅当4xy＝16yx，即x＝2y时取等号，∴当x＋1y取最小值时，x＝2y，x2＋1y2＋2xy＝16，即x2＋1y2＋2×

2yy＝16，∴x2＋1y2＝16－4＝12.第2步精做大题·练能力一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2016·湖南浏阳月考]已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋

y的最小值．解由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得x>0，y>0，3xy＝x＋y＋1.(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2xy＋1.∴3xy－2xy－1≥0，即3(xy)2－2xy－1≥0.∴(3xy＋1)(

xy－1)≥0.∴xy≥1，∴xy≥1.当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·x＋y22.∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4

≥0.∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.∴x＋y≥2.当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.2．[2017·河南驻马店月考]某地需要修建一条大型输油管道通过240km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在

该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为xkm的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2＋x万元．设余下工程的总费用为y万元．(1)试将y表示成x的函数；(2)

需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解(1)设需要修建k个增压站，则(k＋1)x＝240，即k＝240x－1.所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400240x－1＋240x

x2＋x＝96000x＋240x－160.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0<x<240.故y与x的函数关系是y＝96000x＋240x－160(0<x<240)．(2)y＝96000x＋240x－160≥296000x·240x－160＝2

×4800－160＝9440，当且仅当96000x＝240x，即x＝20时等号成立，此时k＝240x－1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元．3．[2017·保定月考]某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年

增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大

时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解(1)设第n年获取利润为y万元．n年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n年付出的装修费之和为n×1＋nn－12×2＝n2，又投资81万元，n年共收入租金3

0n万元，∴利润y＝30n－n2－81(n∈N*)．令y>0，即30n－n2－81>0，∴n2－30n＋81<0，解得3<n<27(n∈N*)，∴从第4年开始获取纯利润．(2)方案①：年平均利润t＝30n－81＋n2n＝30－81n－n＝30－81n＋n≤

30－281n·n＝12(当且仅当81n＝n，即n＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y＝30n－n2－81＝－(n－15)2＋144(n∈N*)，当n＝15时，纯利润总和

最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.4．[2016·南京质检]为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单

位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝168－x－1，0≤x≤4，5－12x，4<x≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不

低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1

.4)．解(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)＝4y＝648－x－4，0≤x≤4，20－2x，4<x≤10.则当0≤x≤4时，由648－x－4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4.当4<x≤10时，由2

0－2x≥4，解得x≤8，所以此时4<x≤8.综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度g(x)＝25－12x＋a168－x－6－1＝10－x＋16a

14－x－a＝(14－x)＋16a14－x－a－4≥214－x·16a14－x－a－4＝8a－a－4.因为14－x∈[4,8]，而1≤a≤4，所以4a∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4a时，y有最小值为8a－a－4.令8a－a－4≥4，解得24－162≤a≤4，所以a的最小值为24－1

62≈1.6.