【文档说明】2021年高中数学人教版必修第一册：2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》精品讲义(含解析).doc，共(13)页，775.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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2.3二次函数与一元二次方程、不等式思维导图常见考法考点一解无参数一元二次不等式【例1】（2020·全国高一课时练习）解下列不等式：（1）260xx；（2）2251010xx；（3）2210xx.【答案】（1）2xx或3x；（2）15xx；（3）12xx

或1x.【解析】（1）不等式260xx即为230xx，解得2x或3x，因此，不等式260xx的解集为2xx或3x；（2）不等式2251010xx即为2510x，解得15x，因此，不等式2251010xx的解集为15xx

；（3）不等式2210xx即为2210xx，即2110xx，解得21x或1x.因此，不等式2210xx的解集为12xx或1x.【一隅三反】1（2020·

全国高一课时练习）解下列一元二次不等式：(1)276xx；(2)242214xxxx．【答案】(1){|16}xx；(2)2{|}3xx.【解析】(1)不等式276xx，即2760610xxxx，对应抛物线开口向下，

不等式解集为“两根之间”，所以解集为{|16}xx(2)242214xxxx，化简291240xx，对应方程0，方程的根1223xx所以解集为2{|}3xx.2．（2020·

浙江高一课时练习）解不等式：21212xx„．【答案】{32xx∣„或01}x„．【解析】原不等式可化为22211,212,xxxx„即2220,230,xxxx即(2)0,(3)(1)0,xxxx„20,31.xxx

或剟如图，结合数轴，可得原不等式的解集为{32xx∣„或01}x„．3．（2020·荆州市北门中学高一期末）不等式221xx的解集是________.解不含参数的一元二次不等式有以下3种方法：方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为

几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得．方法三：则采用求一元二次不等式解集的通法——判别式法【答案】[0,1)【解析】原不等式可化为2201xx

即01xx，所以1010xxx，故01x，所以原不等式的解集为[0,1).故答案为：[0,1).考点二解含有参数的一元二次不等式【例2】（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））解关于x的不等式:22(2)20().axaxaaR

【答案】当0a时，解集为0xx；当02a时，解集为2{|xxa或}xa；当2a时，解集为{|xxa或2}xa；当20a时，解集为2{|}xxaa；当2a时，解集为2{|}xaxa；当2a时，解集为{|}2xx；当2a时，解集

为；【解析】由22(2)20().axaxaaR则(2)()0axxa因为aR，故对a分情况讨论当0a时，则20x，所以0x，不等式的解集为0xx当02a时，由(2)()0axxa，不等式的解集2{|xx

a或}xa当2a时，不等式的解集为{|xxa或2}xa当20a时，不等式的解集为2{|}xxaa当2a时，不等式的解集为2{|}xaxa当2a时，不等式的解集为{|}2xx当2a时，

不等式的解集为【一隅三反】1．（2019·山东济宁.高一月考）求关于x的一元二次不等式2(1)0xxaa的解集．【答案】详见解析.【解析】210xxaa，10xaxa，令

10xaxa，1xa，21xa，（1）当12a时，即1aa，解集为|xxa，或1xa．（2）当12a时，即112aa，解集为1|2xx．（3）当12a时，即1aa，解集为|1xxa，或

xa．2．（2020·安徽金安.六安一中高一期中（文））解关于x的不等式22(1)40()axaxaR．【答案】分类讨论，答案见解析.【解析】当0a时，不等式240x的解为2x；当0a时，不等式对应方程的根为2ax或2，①当0a时

，不等式22(1)40()axaxaR即220axx的解集为2,2a；②当01a时，不等式220axx的解集为2(,2),a；③当1a时，不等式220x的解集为(,2)(2,)；④当1

a时，不等式220axx的解集为2,(2,)a.综上所述，当0a时，不等式解集为,2；当0a时，不等式的解集为2,2a；当01a时，不解含

参数的一元二次不等式时（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)；（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜

x2．等式的解集为2(,2),a；当1a时，不等式的解集为(,2)(2,)；当1a时，不等式的解集为2,(2,)a.3．（2019·陕西秦都咸阳市实验中学高二月考（理））解关于x的不等式ax

2－(a＋1)x＋1<0.【答案】见解析【解析】原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0当a＝0时，原不等式解为x>1.当a<0时，不等式可化为1()(1)0xxa，∵11a，∴1xa或x>1.当a>0时，原不等式可化

为1()(1)0xxa若11a，即a>1，则11xa；若11a，即a＝1，则x；若11a，即0<a<1，则11xa.综上所述，当a<0时，原不等式的解集为1{|xxa或1}x；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不

等式的解集为1{|1}xxa；当a＝1时，原不等式的解集为；当a>1时，原不等式的解集为1{|1}xxa.考点三三个一元二次的关联【例3】(1（2020·江西上高二中高一期末（文））设一元二次不等式210axbx的解集为|12x

x则ab的值为（）A．1B．14C．4D．12(2)（2020·全国高一课时练习）已知方程2250xmxm的两根都大于2，则实数m的取值范围是（)A．5,44,B．5

,4C．5,D．4,24,【答案】(1)B(2)B【解析】由题意可知方程210axbx的根为1,2，所以有11212{{114122baaabba(2）方程2250xmxm的两根都大于2，则二次函数22

5yxmxm的图象与x轴的两个交点都在x=2的右侧，根据图象得：方程的判别式0；当2x时函数值0y；函数对称轴222m。即2245042250222mmmmm

，解得54m，所以正确选项为B.【一隅三反】1．（2020·农安县实验中学高一期末）已知关于x的不等式20xaxb的解集是(2,3)，则ab的值是（）A．11B．11C．1D．1【答案】C【解析】若关于x的不等式20xaxb的解

集是(2,3)，则2，3是方程20xaxb的根，故5a，6b故1ab，故选：C．2．（2020·上海高一开学考试）一元二次不等式220axbx的解集是11,23，则ab的值是（）1．一元二次

不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的

部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．A．10B．-10C．14D．-14【答案】D【解析】根据题意，一元二次不等式220axbx的解集是11,23，则方程220axbx的两根为12和

13，则有112311223baa，解可得12a，2b，则14ab，故选：D．3．（2020·全国高一课时练习）关于x的不等式220xpx的解集为,1q，则pq_____________.【答

案】-1【解析】由题意，方程220xpx有一个根为1，得1p，则不等式为220xx，其解集为2,1，得2q，1pq，所以答案为-1.【点睛】本题主要考查一元二次不等式和一元二次方程的关系．4．（2020·浙江

高一课时练习）已知关于x的不等式101axx的解集是1,1,2，则a_____.【答案】2【解析】因为不等式101axx等价于110axx，又其解集是1,1,2，所以12和1是关于x的方程

110axx的两个根，因此112a，解得2a，故答案为2考点四一元二次的恒成立【例4】（1）（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知关于x的不等式2230axxa在0,2上有解，则实数a的取值范围是（）A．3,3B．4,7

C．33,+D．4,7（2）（2020·安徽金安。六安一中高一期中（理））若关于x的不等式22840xxa在13x内有解，则实数a的取值范围是（）A．12aB．12aC．10aD．10a【答

案】（1）A（2）A【解析】（1）0,2x时，不等式可化为32aaxx；当0a时，不等式为02，满足题意；当0a时，不等式化为32xxa，则23223xax，当且仅当3x时取等号，所以33a，

即303a；当0a时，32xxa恒成立；综上所述，实数a的取值范围是3(,)3答案选A（2）原不等式22840xxa在13x内有解等价于2284axx在13x内有解，设函数2284,1,3fxxxx，所以原问题

等价于maxafx又当2x时，max12fx，所以12a.故选：A.【一隅三反】1．（2020·安徽省六安中学高二期末（文））若命题“存在xR，2340xax”为假命题，则实数a的取值范围是____【答案】1,7【解析】由题意可知，命题“

对任意的xR，2340xax”为真命题，22316670aaa，解得17a.因此，实数a的取值范围是1,7.故答案为：1,7.一、求不等式恒成立问题中参数范围的

常见方法：1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x)＞0恒成立a＞0且Δ＜0；f(x)≥0恒成立a＞0且Δ≤0；f(x)＜0恒成立a＜0且Δ＜0；f(x)≤0恒成立a＜0且Δ≤0．注：当未说明不等式是否为一元二

次不等式时，先讨论a＝0的情况．2,。将参数分离出来，利用等价转化思想转化为求函数的最值问题（转化为f(x)＞a或f(x)≥a或f(x)＜a或f(x)≤a恒成立的问题）即：（1）存在成立若f(x)在定义域内存在最大值m，则f(x)

＜a恒成立a＞m；若f(x)在定义域内存在最大值m，则f(x)≤a恒成立a≥m；若f(x)在定义域内存在最小值m，则f(x)＞a恒成立a＜m；若f(x)在定义域内存在最小值m，则f(x)≥a恒成

立a≤m．（2）恒成立在定义域D上，不等式()fxm恒成立，则max()mfx，不等式()fxm能成立，则min()mfx，不等式()fxm恒成立，则min()mfx，不等式()fxm能成立，则max()mfx．转化时要注意是求最最小2．（2020·全国高一课时练习）不等式x

2＋ax＋4＜0的解集不为空集，则a的取值范围是（）A．［－4，4］B．（－4，4）C．（－∞，－4］∪［4，＋∞）D．（－∞，－4）∪（4，＋∞）【答案】D【解析】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>

4，故选D.3．（2019·山东济宁.高一月考）（1）若不等式20xaxb的解集是|23xx，求不等式210bxax的解集；（2）若不等式2(7)0xmxm在实数集R上恒成立，求m的范围．【答案】（1）1|2xx，或

13x；（2）242242m.【解析】（1）20xaxb的解集是|23xx，所以2，3是方程20xaxb的根，由韦达定理得2323ab，56ab不等式21

0bxax化为26510xx，解得21310xx，所以1|2xx，或13x.（2）由题意可得，，即24170mm，整理得24280mm，解得242242m．考点五实际运用题【例5】（2020·浙江

高一课时练习）某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为215(05)2Rxxx剟，其中x是产品生产并售出的数量（单位：

百台）．（1）把利润表示为年产量的函数．（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？【答案】（1）214.750.5(05,2120.25(5).xxxyxx剟；（2

）475台；（3）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．【解析】（1）设利润为y万元，得22150.50.25(05),215550.50.25(5).2xxxxyxx

剟即214.750.505,2120.25(5).xxxyxx剟（2）显然当05x时，企业会获得最大利润，此时，21(4.75)10.781252yx，4.75x，即年产量为475台时，企业所得利润最大．（3）要使企业不亏本，则0y≥．即20

5,14.750.502xxx或5,120.250,xx得0.115x或548x，即0.1148x．即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．【一隅三反】1．（2020·全国高一专题练习）国家原计划以2400元

/t的价格收购某种农产品tm按规定,农户向国家纳税为:每收入100元的税为8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策,根据市场规律税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点,试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划

的78%.【答案】{|02}xx【解析】设税率调低后的“税收总收入”为y元,则2122400(12%6)(8)%42400(08)25ymxxmxxx„.依题意,得24008%78%y

m…,即2124240024008%78%25mxxm…,整理,得242880xx,解得442x.根据x的实际意义,知08x„,所以02x为所求.故x的取值范围是{|02}xx.2．（2019·全国高一课时练习）某小企业生产某种产品，月销售量x（件）与

货价p（元/件）之间的关系为1602px，生产x件的成本50030rx元.该厂月产量多大时，月获利不少于1300元？【答案】20~45【解析】设月产量为x件.由题意可知(1602)(50030)1300xxx，即26590

00xx，得2045x.