【文档说明】2021年高中数学人教版必修第一册：2.2《基本不等式》精品练习卷(含解析).doc，共(11)页，560.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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2.2基本不等式【题组一公式直接运用】1．（2020·全国高一课时练习）已知3x，求43fxxx的最大值.【答案】1【解析】3x，则30x，由基本不等式可得44433332331333fxxxxxxx

，当且仅当433xx时，即当1x时，等号成立，因此，当3x时，求43fxxx的最大值为1.2．（2020·广西兴宁.南宁三中高一期末）已知0a，0b，1ab，且1mba，1nab，则mn的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解

析】由1ab知，12mbba，12naab，244mnabab，当且仅当1ab时取等号.故mn的最小值为4故选：B4．（2020·浙江省平阳中学高三一模）若0ab，则2221abab的最小值为________.【答案】2【

解析】由题意，222222222()()2()222≥abababababab，当且仅当ab时等号成立，所以222221()1122()2()2≥≥abababab，当且仅当22()12()abab时取等号，所以当3

42ab时，2221()abab取得最小值2．5．（2020·全国高一课时练习）（1）已知0x，求123fxxx的最小值；（2）已知3x，求43fxxx的最大值.【答案】（1）12；（2）1.【解析】（1）0x>，121232312fx

xxxx，当且仅当1232xxx时取等号；所以fx的最小值为12；（2）330xx，44433332331333fxxxxxxx，当且仅当4313xxx时取等号，所以

fx的最大值为1.5．（2020·全国高三课时练习（理））设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为______.【答案】43【解析】(1)(21)221,xyxyxyxyxy0,0,25,0,xyxyxy2

232643xyxyxyxy，当且仅当3xy，即3,1xy时成立，故所求的最小值为43．【题组二条件型】1．（2019·云南弥勒市一中高一期末）若0,0ab，且1ab，则11ab的最小值为()A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】因为1ab

，所以11112baabababab.因为0,0ab，所以0ba，0ab.所以22babaabab≥，当且仅当baab，即12ab时等号成立.所以11222=4baabab≥，即11ab的最小值为4.2．（2020·上海高一

开学考试）正实数,xy满足：21xy，则21xy的最小值为_____.【答案】9【解析】2121222225525249yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当13xy时取等号．故答案为：9．3．（20

20·全国高一）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】不等式对任意的正实数x，y恒成立，则对任意的正实数x，y恒成立，又，，解得或不合题意，舍

去，，即正实数m的最小值是4．故选：B．4．（2020·全国高三课时练习（理））已知0,0ab，且1ab，则11822abab的最小值为_________．【答案】4【解析】0,0,0abab，1ab,11882222ab

ababababab882422abababab，当且仅当ab=4时取等号，结合1ab,解得23,23ab，或23,23ab时，等号成立.故答案为：45．（2020·甘肃城关.兰州一中高三二模（文））设m，n为正数，且2mn，则1312

nmn的最小值为__________.【答案】95【解析】令1,2ambn，则5ab，且13a，24b，又1311112nmnab，而114222551151115

baabababab，当且仅当52ab时等号成立，故1312nmn的最小值为95.故答案为：95.【题组三配凑型】1．（2019·湖南高新技术产业

园区衡阳市一中高二开学考试）已知x≥52，则f（x）＝24524xxx有（）A．最小值1B．最大值54C．最小值54D．最大值1【答案】A【解析】222145111122112422222xxxfxxxxx，当且仅

当122xx即3x时等号成立2．（2020·天津和平.高三三模（理））已知0x，1y，且1xy，则2231xyxy最小值为__________．【答案】23【解析】22331111xyxyxyx

y，结合1xy可知原式311xy，且13131311411221xyyxxyxyxy311422321yxxy，当且仅当33,23

xy时等号成立.即2231xyxy最小值为23.3．（2020·上海高一开学考试）函数2436xxfxx的值域为__________．【答案】,16671667,【解析】设21663636,6,()16ttxtxtgtttt

，当0t时，()6716gt，当且仅当37,376tx时等号成立；同理当0t时，()6716gt，当且仅当37,376tx时等号成立；所以函数的值域为,16671667,.故答案为:,16671667,.

4（2019·江苏东海.高二期中）函数2411xxfxxx的最小值为______.【答案】5【解析】221144411111xxxxfxxxxx.1xQ，10x，44121411xxxx

（当且仅当411xx，即3x时取等号），min415fx.故答案为：5.【题组四换元法】1．（2020·荆州市北门中学高一期末）若实数,xy满足0xy，则的最大值为（）A．22B．22C．422D．422【答案】D【解析】由实数,xy满足0xy，

，设{2mxynxy，解得2{xmnynm，则2222224()424222xymnnmnmnmxyxymnmnmn，当且仅当2nmmn，及2nm时等号成立，所以的最大

值为422，故选D.2．（2020·浙江高三月考）已知x、y为正实数，满足427xyxy，则2xy的最小值为______.【答案】3【解析】由427xyxy可得出92217492212121xxyxxx，由于x、y为正实数，则07402

1xxyx，可得704x，99922221322133212121xyxxxxxx，当且仅当92121xx时，即当1x时，等号成立，因此

，2xy的最小值为3.故答案为：3.3．（2019·浙江衢州.高二期中）若正实数x，y满足2210yxy，则2xy的最小值为______.【答案】3【解析】由2210yxy可得212yxy21111313222322222222yyyyyyyyyxy

y当且仅当33y时，等号成立.则2xy的最小值为3故答案为：3【题组五求参数】1．（2019·山东济宁.高一月考）设11,,xyRxyaxy恒成立，则实数a的最大值为（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【

解析】由于112224xyxyxyxyyxyx，当且仅当1xy时等号成立，而11,,xyRxyaxy恒成立，故4a，也即a的最大值为4.故选B.2．（2020·全国高一）已知0,0ab，若不等式212nabab

恒成立，则n的最大值为（）A．9B．12C．16D．20【答案】A【解析】因为0,0ab，所以20ab，22121((2))abnnababab，222122()5522)(9bbabbaaab

aba（当且仅当ab时，取等号），要想不等式212nabab恒成立，只需9n，即n的最大值为9，故本题选A.3（2020·黑龙江建华.齐齐哈尔市实验中学高一期中）若两个正实数,xy满足211xy,且222xymm

恒成立，则实数m的取值范围是（）A．,24,B．,42,C．2,4D．4,2【答案】D【解析】由基本不等式得2144224248yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当4yxxy，由于0x，0y，即当

2xy时，等号成立，所以，2xy的最小值为8，由题意可得228mm，即2280mm，解得42m，因此，实数m的取值范围是4,2，故选D.4．（2020·全国高三课时练习（理））已知关于x的不等式227xxa在(,)xa上恒成立，则实数a的最小值为（）

A．1B．52C．2D．32【答案】D【解析】设2()2fxxxa，,0xaxa，227xxa在(,)xa上恒成立，需min()7fx，22()22()222242fxxxaaaaxaxa

，当且仅当11xaxa，即1xa时等号成立，3427,2aa.故选：D.5．（2020·全国高三课时练习（理））设a、b、c都是正实数，且a、b满足191ab，则使abc恒成立的c的范围是（）A．(0，8

]B．(0，10]C．(0，12]D．(0，16]【答案】D【解析】∵a、b为正实数，191ab，∴1999()10102=16babaababababab，当且仅当9baab，即4,12ab时等号成立，∴min6()1ab

，要使cab恒成立，∵c为正实数，∴016c.故选：D.【题组六实际应用题】1．（2020·全国高一课时练习）（1）用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，

当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，最短篱笆的长度为40m；（2）当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，最大面积是281m.【解析】设矩形菜园

的相邻两条边的长分别为xm、ym，篱笆的长度为2xym.（1）由已知得100xy，由2xyxy，可得220xyxy，所以240xy，当且仅当10xy时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最

短篱笆的长度为40m；（2）由已知得236xy，则18xy，矩形菜园的面积为2xym.由18922xyxy，可得81xy，当且仅当9xy时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是281m.2．

（2019·南昌.江西师大附中高一期中）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足421kxt(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品

的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2019年的年促销费用投入多

少万元时厂家利润最大？【答案】（1）1827021ytt；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大【解析】（1）由题意有141k，得3k故34.21xt∴18912727.5[()]27.52921

.512122ytttt1827021ttt（2）由（1）知：1891272752752921512122ytttt当且仅当91,122tt即25t时，y有最大值.答:2019年的

年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.3．（2020·淄博市临淄中学高二期末（文））某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底

长方形的长为x米．（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）池底设计为边长米的正方形时，总造价最低，其值为元.【解析】（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有(平方

米)．池底长方形宽为米，则S2＝8x＋8×＝8(x＋)．（Ⅱ）设总造价为y，则y＝120×1600＋100×8≥192000＋64000＝256000．当且仅当x＝，即x＝40时取等号．所以x＝40时，总造价最低为256000元．答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为2

56000元．4．（2020·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？【答案】矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.【解析】设

矩形菜园的长为mx，宽为my，则100xy，篱笆的长为2xym.由基本不等式可得22240xyxy，当且仅当10xy时，等号成立，因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.5．（2020·山东济宁.高一月

考）经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：2920031600vyvvv．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精

确到0.01)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【答案】（1）平均速度40v时，y最大为11.08；（2）平均速度应控制在25/kmh到64/kmh范围内.【解析】（1）292031600vyvv9

2016003vv，16001600280vvvv，92092011.0816008033yvv当且仅当1600vv，即40v时，等号成立，平均速度40v时，y最大，最大为11.08．（2）由2920103160

0vvv，28916000vv，64250vv．2564v，平均速度应控制在25/kmh到64/kmh范围内．