【文档说明】(新教材)高中数学人教版必修第一册期末章节复习：第3单元《函数概念与性质》(强化篇）（解析版）.doc，共(25)页，669.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第3单元函数概念与性质（基础篇）基础知识讲解1．分段函数的解析式求法及其图象的作法【基础知识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，

这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）

]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住

在不同的段内研究问题．2．函数单调性的性质与判断【基础知识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2）

，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【技巧方法】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第

一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四

步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范

地表述结论3．复合函数的单调性【基础知识】复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．【技巧方法】求复合函数y＝f（g（x））的单

调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．4．奇函数、偶函数【奇函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意

一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．【技巧方法】①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③已知奇函数大于0的部分的函

数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x【偶函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝

f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周

期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．5．函数奇偶性的性质与判断【基础知识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关

于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝

﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．6.函数解析式的求解及常用方法【基础知识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．【

技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等．7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用【基础知识】1.幂函数定义：一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数

式前的系数都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．8.幂函数的性质【基础知识】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的

增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一

象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性

质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．9.五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝21x；（5）y＝x﹣1y＝xy＝x2y＝x3y＝21xy＝x﹣1定义域RRR[0，

+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）

（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）10.幂函数的奇偶性（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增

函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．11．函数最值的应用【基础知识】函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和

最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．【技巧方法】这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在

很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．12．根据实际问题选择函数类型【基础知识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实

际问题，是学习函数的重要内容．【技巧方法】常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反

比例函数模型：y＝xk（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax

+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几

种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．习题演练一．选择题（共12小题）1．若函数2,1()(1)1,1xxxfxfxx，则

(0)f（）A．-1B．0C．1D．2【答案】B【解析】由题意，函数2,1()(1)1,1xxxfxfxx，可得2(0)(01)1(1)1[(11)1]1(221)10ffff.故选：

B.2．设函数fx为一次函数，且43ffxx，则1f（）A．3或1B．1C．1或1D．3或1【答案】B【解析】设一次函数0fxaxba，则2ffxaaxbbaxabb，43ffxx，2

43aabb，解得21ab或23ab，21fxx或23fxx，12111f或12131f.故选：B.3．若函数22

fxxxaxa|在区间[3,0]上不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．3,00,9B．(9,0)(0,3)C．9,3D．3,9【答案】B【解析】222232,2,xaxaxafxxaxaxa,分0,0,0aa

a三种情况讨论.当0a时，3a，所以0<<3a；当0a时，223,0,0xxfxxx，fx在[3,0]上显然单调；当0a时，33a，所以90a.综上：90a或0<<3a.故选B.4．若函数

63377xaxxfxax，，单调递增，则实数a的取值范围是（）A．934，B．934，C．13，D．23，【答案】B【解析】当7x时，函数33yax

单调递增所以30a，解得3a当7x时，6xya是单调递增函数，所以1a，当7x时，一次函数取值要小于或等于指数式的值，所以733aa，解之得：94a≥，综上所述：实数a的取值范围是9

34，故选：B5．定义在R上的奇函数()fx在(0)，上单调递减，若(1)1f，则满足1(2)1fx的x的取值范围是（）.A．[22]，B．[11]，C．[0]4，D．[1]3，【答案】D【解析】由题意，

函数fx为奇函数且在R单调递减，因为(1)1f，可得(1)11ff，要使不等式1(2)1fx成立，即(1)(2)(1)ffxf成立，则实数x满足121x，解得13x，所以实数x的取值

范围为[1]3，.故选：D.6．若函数()12fxxxa的最小值3，则实数a的值为（）A．5或8B．1或5C．1或4D．4或8【答案】D【解析】由题意，①当12a时，即2a，3(1),2(){1,123(1),1axaxafxxaxxax

，则当2ax时，min()()1322aafxfaa，解得8a或4a（舍）；②当12a时，即2a，3(1),1(){1,123(1),2xaxafxxaxaxax，则当2ax时，min()()1322

aafxfaa，解得8a（舍）或4a；③当12a时，即2a，()31fxx，此时min()0fx，不满足题意，所以8a或4a，故选D.7．已知定义在R上的奇函数fx，对任意实数x，恒有3fxfx，且当3

0,2x时，268fxxx，则0122020ffff（）A．6B．3C．0D．3【答案】B【解析】由题得6[(3)3]3[()]()fxfxfxfxfx，所以函数的周期为6.由题得

(0)0,(1)1683,ff(2)(2)(23)(1)3ffff，(3)(3)(33)(0)ffff，(4)(4)(43)(1)(1)3fffff，(5)(

5)(53)(2)(2)3fffff所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)0ffffff，所以0122020ffff336[(0)(1)(2)(3)(4)(5)](0)(1)(2)(3)(4

)3fffffffffff.故选：B.8．满足1133(1)(32)mm的实数m的取值范围是（）.A．23,32B．23,1,32C．2,3

D．23(,1),32【答案】D【解析】幂函数13yx在(0,)为减函数，且函数值为正，在(,0)为减函数，且函数值为负，1133(1)(32)mm等价于，320132

mmm或10132mmm或32010mm，解得2332m或m或1m，所以不等式的解集为23(,1),32.故选：D.9．已知函数253()1mfxmmx是幂函数且是(0,)

上的增函数，则m的值为()A．2B．－1C．－1或2D．0【答案】B【解析】由题意得211,530,1mmmm，故选：B.10．已知2(3)240yyxa，若x为负数，则a的取值范围是（）A．3aB．4aC．5aD．6a【答案】D【解析

】22330(3)240,,240240yyyyxayxayxa，64,0,6axxa.故选：D.11．若定义在R的奇函数f(x)在(,0)

单调递减，且f(2)=0，则满足(10)xfx的x的取值范围是（）A．[)1,1][3,B．3,1][,[01]C．[1,0][1,)D．[1,0][1,3]【答案】D【解析】因为定义在R上的奇函数()fx在(,0

)上单调递减，且(2)0f，所以()fx在(0,)上也是单调递减，且(2)0f，(0)0f，所以当(,2)(0,2)x时，()0fx，当(2,0)(2,)x时，()0fx，所以由(10)xfx可得：0210xx或00

12xx或0x解得10x≤≤或13x，所以满足(10)xfx的x的取值范围是[1,0][1,3]，故选：D.12．已知函数fx是定义在R上的奇函数，且11fxf

x，当01x时，223xxxf，则132f（）A．74B．74C．94D．94【答案】C【解析】由题意，函数fx是定义在R上的奇函数，且11fxfx，可得(1)(1)fxfx，所以()(4)fxfx，所以函数fx是

周期为4的周期函数，又由当01x时，223xxxf，则13331119232222424ffff.故选：C.二．填空题（共6小题）13．函数21,13()(4),3xxfxfxx

，则(9)f______．【答案】1【解析】根据题意，21,13()(4),3xxfxfxx，则(9)(5)(1)2111fff；故答案为1．14．已知定义在0,上的函数fx的导函数为fx，若对于任意0x都有3fxf

xx，且44f，则不等式31016fxx的解集为________.【答案】4,【解析】3fxfxx即为30xfxfx，设函数3fxgxx，则3264330fxxfxxxfxfxgxxx

，所以gx在0,上单调递减，又因为44f，所以3414416fg，不等式31016fxx可化为3116fxx，即4gxg，所以4x，故解集为4,.故答案为：4,.15．已知函数

122xxfx，函数,0,0fxxgxfxx，则函数gx的最小值是_______.【答案】0【解析】解：当0x时，122xxgxfx为单调增函数，则00g

xg；当0x时，122xxgxfx为单调减函数，所以00gxg，所以函数gx的最小值是0.故答案为:0.16．已知奇函数fx在定义域1,1上递减，且2110fafa，

则实数a的取值范围是______.【答案】1,2【解析】由于fx是定义在1,1上单调递减的奇函数，所以由2110fafa，得22111fafafa，所以2211111111aaaa，解得12

a，所以实数a的取值范围是1,2.故答案为：1,2.17．已知函数11212xfx，则不等式22(1)(2)230fxxfxxx的解集是______.【答案】{|13}xx

【解析】112111212212221xxxxfxfx，故fx为奇函数，且单调递减，则令gxfxx，故gxfxx为奇函数且单调递减，故22(1)(2)230fxxfxxx等价于22(1)1(2)

2fxxxxfxx，即()()212gxxgx+-<--，即212xxx+->--，解得{|13}xx故答案为{|13}xx18．已知函数fx()xR满足(-)8-(4)fxfx，函数43()2xgxx，若函数fx与gx的图象共有12个

交点，记作,(1,2,,12)iiiPxyi，则11221212xyxyxy的值为______.【答案】72【解析】因为48fxfx，所以fx关于点2,4成中心对称，又因为

824319448222xxxgxgxxxx，所以gx也关于点2,4成中心对称，所以fx与gx的图象的交点也关于点2,4成中心对称，不妨认为1212...xxx，所

以有1122116711221167...4...8xxxxxxyyyyyy，所以11221212468672xyxyxy.三．解析题（共6小

题）19．已知定义在R上的函数||1()22xxfx.（1）若32fx，求x的值；（2）若2(2)()0tftmft对于[1,2]t恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)1x,(2)[5,).【解析】（1）当0x时，()

0fx；当0x时，1()22xxfx,由3()2fx可知：13222xx，即2223220xx，所以有2202+12xx，因为20x，解得22x，故1x；（2）当[1,2]

t时，2211222022tttttm，即242121ttm，因为2210t，故221tm，因为[1,2]t，所以221[17,5]t，则m的取值范围是[5,).20．根据下列条件，求f(x)的解析

式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）12()(0)ffxxxx.【答案】（1）f(x)＝x＋3；（2）f(x)＝x2＋2x－2；（3）2()(0)33xfxxx【解析】（

1）解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得22{329aab∴a＝1，b＝3∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.（2）设x＋1＝

t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.（3）解1()2fxfxx，将原式中的x与1x互换，得112()ffxxx.于是得

关于f(x)的方程组12{112fxfxxffxxx解得2()(0)33xfxxx.21．已知定义在R上的函数fx对任意实数,ab都满足fabfafb，且10f，当0x时，01

fx.（1）证明：fx在,上是减函数；（2）解不等式211fxfx【答案】（1）证明见解析；（2）1515,22.【解析】（1）因为任意实数ab，都满足fabfafb，令1,0ab，则(1)(1)(0)fff，∵(1

)0f，∴(0)1f当0x时，则0x，∴()()()(0)1fxfxfxxf，∵()0fx，∴()0fx，即xR时，()0fx恒成立，设任意的12,xxR，且12xx，则210xx，∴210()1fxx，221211()0()1()()()fx

fxxfxfxfx即fx在，上是减函数，（2）21()(1)fxfx，()0fx22()(1)(1)1(0)fxfxfxxf，由（1）知()fx在R上为减函数，210xx得：151522x

，故不等式的解集为1515,22.22．已知定义域为R的函数12()22xxbfx是奇函数.（1）求b的值；（2）判断函数()fx的单调性；（3）若对任意的tR，不等式22220fttftk

恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）1；（2）减函数；（3）13k.【解析】（1）因为()fx是奇函数，所以(0)0f，即10122bb，∴112()22xxfx（2）由（1）知11211()22221xxxfx，设12xx则21

121212112221212121xxxxxxfxfx因为函数2xy在R上是增函数且12xx，∴21220xx又1221210xx，∴120fxfx即12fx

fx∴()fx在(,)上为减函数.（3）因()fx是奇函数，从而不等式：22220fttftk等价于222222fttftkfkt，因()fx为减函数，由上式推得：2222ttkt.即对一切tR有：2320ttk，从而判

别式141203kk.23．已知幂函数223()()mmfxxmz为偶函数，且在区间(0,)上是单调增函数（1）求函数()fx的解析式；（2）设函数3219()()()42gxfxaxxbxR，其中,abR.若函数()g

x仅在0x处有极值，求a的取值范围.【答案】（1）4fxx；（2）[2,2]a【解析】（1）()fx在区间(0,)上是单调增函数，2230mm即2230mm13,m又

,0,1,2mzm而0,2m时，3()fxx不是偶函数，1m时，4()fxx是偶函数，4()fxx．（2）2'()(39),gxxxax显然0x不是方程2390xax的根.为使()gx仅在0x处有极值，必须2390

xax恒成立，即有29360a，解不等式，得2,2a.这时，(0)gb是唯一极值．2,2a．24．已知函数11()1(0)2fxxx．（1）若0mn时，()()fmfn，求11mn的

值；（2）若0mn时，函数()fx的定义域与值域均为,nm，求所有,mn值．【答案】（1）112mn（2）32m，12n【解析】（1）因为()()fmfn,所以11111122mn所以1111mn,所以1111mn或1111mn,因为0mn,所

以112mn．（2）1当01nm时,11()2fxx在,nm上单调递减,因为函数()fx的定义域与值域均为,nm,所以()()fnmfmn,两式相减得1mn不合,舍去．2当1mn时,31()2fxx在,nm上单调递增,因为函数()fx的定义域与值域

均为,nm,所以()()fmmfnn,无实数解.3当01nm时,11,[,1],2()31,(1,],2xnxfxxmx所以函数()fx在[,1]n上单调递减,在1,]m（上单调递增．因为函数()fx的定义域与值域均

为,nm,所以1(1)2nf,13()22mf．综合所述,32m,12n．