【文档说明】(新教材)高中数学人教版必修第一册期末章节复习：第3单元《函数概念与性质》(基础篇）（解析版）.doc，共(23)页，610.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第3单元函数概念与性质（基础篇）基础知识讲解1．分段函数的解析式求法及其图象的作法【基础知识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的

函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，

已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数

模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．2．函数单调性的性质与判断【基础知识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1

＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【技巧方法】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用

函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次

将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求

参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论3．复合函数的单调性【基础知识】复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．【技巧

方法】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．4．奇函数、偶函数【奇函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都

有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．【技巧方法】①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇

函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x【偶函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图

象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x

轴至少有几个交点．5．函数奇偶性的性质与判断【基础知识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义

域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那

么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．6.函数解析式的求解及常用方法【基础知识

】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等．7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用【基础知识】1.幂函数定义：一般

地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．8.幂函数的性质【基础知识】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象

都过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点

，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y

轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．9.五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝21x；（5）y＝x﹣1y＝xy＝x2y＝x3y

＝21xy＝x﹣1定义域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0

，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）10.幂函数的奇偶性（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜

0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．11．函数最值的应用【基础知识】函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最

小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．【技巧方法】这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很

多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．12．根据实际问题选择函数类型【基础知识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画

．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．【技巧方法】常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特

例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y＝xk（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称

为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次

函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整

等．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数2()4,[,5]fxxxxm的值域是[5,4]，则实数m的取值范围是（）A．(,1)B．(1,2]C．[1,2]D．[2,5]【答案】C【解析

】二次函数2()4fxxx的图象是开口向下的抛物线.最大值为4，且在2x时取得，而当5x或1时，()5fx.结合函数()fx图象可知m的取值范围是[1,2]．故选:C．2．函数241xyx的图象大致为（）A．B

．C．D．【答案】A【解析】由函数的解析式可得：241xfxfxx，则函数fx为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当1x时，42011y，选项B错误.故选：A.3．若函数222,0,0xxxfxxaxx

为奇函数，则实数a的值为（）A．2B．2C．1D．1【答案】B【解析】fx为奇函数fxfx当0x时，0x2222fxfxxxxx又0x时，2fxxax2a本题正确选项：B4．已知(1)232xfx，

则(6)f的值为（）A．15B．7C．31D．17【答案】C【解析】令12xt，则22xt将22xt代入(1)232xfx，得()2(22)347fttt所以()47fxx，所以(6)46731f.故选：C5．设函

数331()fxxx,则()fx（）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数331fxxx定义域为0xx，其关于原点对

称，而fxfx，所以函数fx为奇函数．又因为函数3yx在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增，而331yxx在()0,+?上单调递减，在(),0-?上单调递减，所以函数331fxxx在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单

调递增．故选：A．6．若函数(31)4,1(),1axaxfxaxx，是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（）A．1183，B．103，C．1,8D．11,,83【答案】A【解析】因为函数()fx是定

义在R上的减函数，所以3100314aaaaa，解得1183a.故选：A.7．幂函数22121mfxmmx在0,上为增函数，则实数m的值为（）A．0B．1C．1或2D．2【答案】D【解析】因为函数fx是幂函数，所以2211

mm，解得0m或2m，因为函数fx在0,上为增函数，所以210m，即12m，2m，故选：D.8．已知函数1()3()3xxfx，则()fxA．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，

且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】函数133xxfx的定义域为R，且111333,333xxxxxxfxfx

即函数fx是奇函数，又1y3,3xxy在R都是单调递增函数，故函数fx在R上是增函数．故选A.9．下列函数fx中，满足“对

任意1x，20,1x，当12xx时，都有12fxfx”的是（）A．1fxxB．1fxxC．112xfxD．sin2fxx【答案】C【解析】根据题意可得，函数f

x在区间0,1单调递增，对A，B，函数fx在区间0,1单调递减，故A，B错误；对D，函数fx在区间0,1先增后减，故D错误；故选：C.10．已知关于x的方程21xm有两个不等实根，则实数m的取值范围是（）A．(,1]B．,1C．[1,

)D．1,【答案】D【解析】由题意,画出2xfxm的图像如下图所示:由图像可知,若方程21xm有两个不等实根则函数图像在y轴左侧的最大值大于等于1即可所以1m>即(1,)m故选:D11．一元二次方程2510xxm

的两根均大于2，则实数m的取值范围是（）A．21,4B．(,5)C．21,54D．21,54【答案】C【解析】关于x的一元二次方程2510xxm的两根均大于2，则Δ25440(2)41010522mfm

,解得2154m„.故选C.12．设奇函数fx在3,3上是减函数，且33f，若不等式21fxt对所有的3,3x都成立，则t的取值范围是（）A．1,1

B．1,C．,1D．,11,【答案】B【解析】因为奇函数fx在3,3上是减函数，且33f，所以max33fxf，若不等式21fxt对所有的3,3x都成立，则321t，解可得1t，故选：B二．

填空题（共6小题）13．设函数2121,2()1(2),2xxxfxfxx，则(3)f________.【答案】0【解析】2121,2()1(2),2xxxfxfxx当12x时，()(2)fxfx132(3)(1)(1

)fff又1122211(1)10f故答案为：0.14．已知正实数a，b满足22ab，则41abab的最小值为__________【答案】252【解析】解：正实数a，b满足2

2ab，2222abab，可得12ab.则2222222414424414abababababaababababbba84abab.令abt=，10,2t

.即有8844abtabt，又函数84fttt在10,2上单调递减，12522ftf.故答案为：252.15．函数()fx为定义在R上的奇函数，且满足()(2)fxfx，若(1)3f，则(1)(2)(50)fff__

________．【答案】3【解析】()(2)fxfx，(2)()fxfx，又()fx为奇函数，(2)()(),(4)(2)()fxfxfxfxfxfx()fx是周期为4的周期函数，()fx是定义在R上的奇函数

，(0)0,(4)(0)0fff，(2)(0)0,(3)(1)(1)3fffff(1)(2)(3)(4)0ffff，12...50012123fffff.故答案为：3．16．设偶函数fx满足

240xfxx，则满足20fa的实数a的取值范围为________．【答案】,04,【解析】∵偶函数fx满足240xfxx，函数fx在0,上为增函数，且20f，∴不等式20fa等价

为22faf，22a，即22a或22a，解得4a或0a．故答案为：,04,.17．已知函数23()(1)mfxmmx是幂函数，且该函数是偶函数，则m的值是____【答案】1【解析】

∵函数23()(1)mfxmmx是幂函数，∴211mm，解得2m或1m，又∵该函数是偶函数，当2m时，函数()fxx是奇函数，当1m时，函数4()fxx是偶函数，即m的值是1，故答案为1.18．函数

222323yxxxx零点的个数为_____________.【答案】2【解析】函数222323yxxxx零点的个数，即方程2223230xxxx实数根的个数.由2223230xxxx，即2230xx或2

230xx由223310xxxx得3x或1x.由22231+20xxx无实数根.所以函数222323yxxxx的零点有2个.故答案为：2三．解析题

（共6小题）19．已知函数2(x0)()2-x?(x0)xfx，试解答下列问题：（1）求[(2)]ff的值；（2）求方程()fx=12x的解．【答案】（1）2；（2）43x或0x【解析】解：（1）函数2(0)()2(0)xxfxxx„

，所以2224f所以[(2)]4242fff（2）当0x时，即212xx，解得0x或12x（舍去）；当0x时，即122xx，解得43x；综上所述，43x或0x

．20．（1）已知()fx是一次函数，且2(21)(2)65fxfxx，求()fx的解析式；（2）已知函数2(3)46fxxx，求()fx的解析式．【答案】（1）()23fxx；（2）2()23fxxx

.【解析】解：（1）因为()fx是一次函数，所以可设()fxkxb则2(21)(2)2[(21)][(2)]3465fxfxkxbkxbkxkbx，所以3645kkb，解得23kb，所以()23fxx．（2）令

3tx，则3xt．因为2(3)46fxxx，所以2()(3)4(3)6fttt223tt．故2()23fxxx．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，换元法

求函数解析式，属于常考题型.21．函数()fx对任意的,Rmn都有()()()1fmnfmfn,并且0x时，恒有()1fx.(1).求证：()fx在R上是增函数；(2).若(3)4f解不等式2(5)2faa【答案】(1)证明见解析；(2)(3

,2)a【解析】(1).设12,Rxx,且12xx,则210xx,所以21()1fxx212111()()[()]()fxfxfxxxfx2111()()1()0fxxfxfx

即21()()fxfx,所以()fx是R上的增函数.(2).因为,Rmn,不妨设1mn,所以(11)(1)(1)1fff,即(2)2(1)1ff，(3)(21)(2)(1)1ffff2(1)1(1)13(1)24fff，所以(

1)2f.2(5)(1)faaf，因为()fx在R上为增函数，所以251aa得到32a,即(3,2)a.22．已知定义在1,1上的奇函数fx，当0,1x时，241xxfx.（1）当0,1x时，解方程25fx；（2）求fx在区间(]1

,0-上的解析式.【答案】（1）；（2）0,0()2,1041xxxfxx.【解析】（1）222122522024152xxxxx或221xx（舍）或1x（舍）；故当0,1x时，方

程25fx无解，即解集为.（2）由题意知：00f；当1,0x时，224141xxxxfxfx综上所述，0,0()2,1041xxxfxx.23．已知幂函数fxx的图像过点2,4.（1）求函数fx的解析式

；（2）设函数21hxfxkx在1,1是单调函数，求实数k的取值范围.【答案】（1）2fxx；（2）,44,.【解析】（1）因为fxx的图像过点2,4，所以24，则2，所以函数fx的解析式为：2fxx；（2）由（1）得

221hxxkx，所以函数hx的对称轴为4kx，若函数hx在1,1是单调函数，则14k或14k，即4k或4k，所以实数k的取值范围为,44,.24．暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某

基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.（1）写出夏令营每位同学需交

费用y（单位：元）与夏令营人数x之间的函数关系式；（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？【答案】（1）**600,130,10900,3070,xxNyxxxN（2）当人数为45人时，

最大收入为20250元【解析】（1）由题意可知每人需交费y关于人数x的函数：**600,130,10900,3070,xxNyxxxN（2）旅行社收入为fx，则fxxy，即*2*600,130,

()10900,3070,xxxNfxxxxxN，当*130,xxN时，fx为增函数，所以max306003018000fxf，当*3070,xxN时，fx为开口向下的二次函数，对称轴45x，所以在对称轴处取得最大值，

max4520250fxf.综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元.