【文档说明】(新教材)高中数学人教版必修第一册期末章节复习：第2单元《一元二次函数、方程与不等式》(基础篇）（解析版）.doc，共(19)页，532.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第2单元一元二次函数、方程与不等式（基础篇）基础知识讲解一．不等式定理【基础知识】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b

，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．

二．不等式大小比较【技巧方法】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数

的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．三．基本不等式【基础知识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均

数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．四、基本不等式的应用【基础知识】1、求最值2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【技巧方法】技巧一：凑项需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：

凑系数遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离技巧四：换元一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技

巧七：取平方两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件．总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．五．二次函数的性质【基础知识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随

着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【技巧方法】①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝ab2；最值为：f（ab2）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞

0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝ab，x1•x2＝ac；③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，2

p），准线方程为y＝2p，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；六．一元二次不等式【基础知识】含有一个未知数且未知

数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．【技巧方法】（1）当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1

）（x﹣x2）（2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．（3）当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没

有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．二.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分

式不等式的解法：先移项通分标准化，．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想

等价转化．七．一元二次方程根与系数的关系【基础知识】一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•

x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣ab，x1•x2＝ac．习题演练一．选择题（共12小题）1．若a，b，c是是实数，则下列选项正确的是（）A．若22acbc，则abB．若abcc，则abC．若22ab，则abD．若ab，则ab【答案】A【解析

】对于A，若22acbc，则20c，ab，故A正确；对于B，若abcc，0c，则ab，故B错误；对于C，若1a，0b，则满足22ab，但此时ab，故C错误；对于D，若1a，0b，则满足

ab，但此时ab，故D错误.故选：A.2．下列不等式中，正确的是A．若,abcd，则acbdB．若ab，则acbcC．若,abcd，则acbdD．若,abcd，则abcd【

答案】A【解析】若ab，则acbc,故B错，设a3,b1,c1,d2,则acbd，abcd所以C、D错，故选A3．如果实数,ab满足：0ab，则下列不等式中不成立的是（）A．

0abB．11abC．330abD．11aba【答案】D【解析】0ab，则0ab，0abab，A正确；由0ab两边同除以ab得11ab，B正确；由ab得33ab，C正确；0ab，则0aab

，11aab，D错误．故选：D．4．下列结论正确的是（）A．若ab，则11baB．若22ab，则abC．若ab，cd则adbcD．若ab，则22acbc【答案】C【解析】当1,2ab时，满足ab，但11ba不成立，所以A错；当1,2ab

时，满足22ab，但ab不成立，所以B错；当1,2,0abc时，满足ab，但22acbc不成立，所以D错；因为cd所以dc，又ab，因此同向不等式相加得adbc，即C对；故选：C5．函数2222yxxx的最

小值是（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解析】因为22(2)2yxxx，所以222222422148221yxxxxxx，取等号时2222xx，即3x，所以min8y.故

选：C.6．函数2222yxxx的最小值是（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解析】解：因为2222yxxx，所以222222422248222yxxxxxx，取等号时2222xx

，即3x，所以min8y.故选：C7．已知0x，0y，93xy，则11xy的最小值为（）A．16B．4C．163D．203【答案】C【解析】因为0x，0y，93xy，则111

11191169101063333yxxyxyxyxy，当且仅当9yxxy且93xy即14y，34x时取等号．故选：C．8．不等式01xx的解集是（）A．,0B．0,1C．,01,D．1,【答案

】B【解析】解：不等式01xx，即(1)0xx，求得01x，所以原不等式的解集为0,1故选：B．9．已知不等式240xax的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A．[4,4]B．(4,4)C．(,4][4,)D．(,4)(4,)【答案】

A【解析】欲使不等式240xax的解集为空集，即函数24yxax的图像与x轴无交点或只有一个交点，则2160a„，解得44a剟，故选A项.10．若不等式222424axaxxx对任意实数x均成立，则实数a

的取值范围是（）A．2,2B．,22,C．2,2D．,2【答案】C【解析】由题意，不等式222424axaxxx，可化为2(2)2(2)40axax，当20a，

即2a时，不等式恒成立，符合题意；当20a时，要使不等式恒成立，需2204244(2)0aaa，解得22a，综上所述，所以a的取值范围为2,2，故选：C.11．已知集合3Mxx，23100Nxxx，则MN（

）A．35MxxB．3MxxC．2xxD．5xx【答案】C【解析】集合3Mxx，2310052025Nxxxxxxxx则MN2xx故选：C12．已知集合

2|230,|10AxZxxBxx，则集合AB（）A．{2,3}B．{1,1}C．{1,2,3}D．【答案】A【解析】由223310xxxx，解得13x，所以1,0,1,2,3A

.|1Bxx.，所以{2,3}AB.故选：A二．填空题（共6小题）13．不等式2320xx的解集为____________．【答案】2,13【解析】由2320xx得2321

320xxxx，所以不等式2320xx的解集为2,13．故答案为：2,13.14．已知0x，0y，且182xy，则2xy的最小值为_____.【答案】9【解析】1816162(2)(2)2810218xy

xyxyxyxyyxyx…，29xy，等号成立时32x，6y.故答案为：9.15．已知21,32ab，则ab的取值范围是________．【答案】(0,2)【解析】因为32b，则23b，又由

21a，根据不等式的基本性质，可得02ab，所以ab的取值范围是(0,2).16．已知正数a，b满足2ab，则2238ab的最小值为__________．【答案】49【解析】因

为正数a，b满足2ab，所以229438493749babaababab…，当且仅当64,55ab时，等号成立．故答案为：4917．已知0a，0b，且24aba

b，则ab的最小值为______.【答案】4【解析】0a，0b，，可得224abab，当且仅当ab时取等号．120abab，2ab或1ab（舍去），4ab．故ab的最小值为4.故答案为：4．18．关于x的不等式20xbxc的解集是1

,2,2，则bc______．【答案】72【解析】因为关于x的不等式20xbxc的解集是1,2,2，所以关于x的方程20xbxc的解是12,2xx，由根与系数的关系得122122bc

，解得521bc，所以72bc.三．解析题（共6小题）19．已知不等式2520axx的解集是M．（1）若2M，求a的取值范围；（2）若1|22Mxx

，求不等式22510axxa的解集．【答案】（1）2a；（2）1|32xx．【解析】试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得a的取值范围；（2）结合三个二次

关系可得到a值，代入不等式22510axxa可求解其解集试题解析：（1）∵2M，∴225220a，∴2a（2）∵1|22Mxx，∴1,22是方程2520axx的两个根，∴由韦达定理得1

522{1222aa解得2a∴不等式22510axxa即为：22530xx其解集为1|32xx．20．已知函数2()()fxxabxa．（1）若关于x的不等式()0fx的解集为{12}xx∣，求,

ab的值；（2）当1b时，解关于x的不等式()0fx．【答案】（1）21ab；（2）当1a时，不等式的解集为(,)(1,)a；当1a时，不等式的解集为(,1)(,)a．【解析】（1）由条件知，关于x的方程2()0xabxa的两个根为1和2，所以121

2aba，解得21ab．（2）当1b时，2()(1)0fxxaxa，即()(1)0xax，当1a时，解得xa或1x；当1a时，解得1x；当1a时，解得1x或xa．综上可知，当1a时，不等式的解集为(,)(1,)a

；当1a时，不等式的解集为(,1)(,)a．21．已知关于x的不等式：2230kxkx（1）若不等式的解集为3,12，求k的值；（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围．【答案】（1）1k

；（2）24,0.【解析】（1）因为关于x的不等式：2230kxkx的解集为3,12，所以32和1是方程2230kxkx的两个实数根，由韦达定理可得:33122k，得1k．（2）因为关于x的不等式2230kxkx的解集为R．当0k时，-3<0

恒成立.当0k时，由220,240kkk，解得：240k故k的取值范围为24,0．22．设函数2230fxaxbxa．（1）若不等式0fx的解

集为1,3，求,ab的值;（2）若12f，0a，0b，求14ab的最小值．【答案】（1）14ab，（2）9．【解析】（1）因为不等式0fx的解集为1,3，所以1x和3x是方程0fx的两实根，从而有

1230393230fabfab，即50310abab，解得14ab．（2）由12f，得1ab．因为0a，0b，所以1414445529babaa

babababab，当且仅当4baab，即223ba时等号成立．所以14ab的最小值为9．23．已知233fxxaxa．（1）当1a时，求不等式0fx的解集；（2）解关于x的不等式0fx．【答案】（1）1,3；（2）答

案见解析.【解析】（1）1a时，不等式0fx化为130xx，解得13x，不等式的解集为1,3（2）关于x的不等式0fx，即30xax；当3a时，不等式化为230x

，解得R；当3a时，解不等式30xax，得3x或xa≥；当3a时，解不等式30xax，得xa或3x；综上所述，当3a时，不等式解集为R；当3a时，不等式的解集为,3,a；当3a时，不等式的解集

为,3,a．24．已知函数()()fxxxm，其中0m．（1）若12m，求不等式()0fx的解集；（2）求2(2)fm的最小值．【答案】（1）1|02xx

；（2）最小值为8.【解析】（1）当12m时，1()02fxxx，解得102x，不等式()0fx的解集为1|02xx（2）2222242422822fmmmmmmm

(0)m当且仅当22mm，即1m时取等号.故22+fm的最小值为8.