【文档说明】(新教材)高中数学人教版必修第一册期末章节复习：第2单元《一元二次函数、方程与不等式》(强化篇）（解析版）.doc，共(23)页，790.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第2单元一元二次函数、方程与不等式（强化篇）基础知识讲解一．不等式定理【基础知识】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b

，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜

0，那么ac＜bc．二．不等式大小比较【技巧方法】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用

函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．三．基本不等式【基础知识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术

平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．四、基本不等式的应用【基础知识】1、求最值2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【技巧方法】技巧一：凑项需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为

定值．技巧二：凑系数遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离技巧四：换元一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错

．技巧七：取平方两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件．总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．五．二次函数的性质【基础知识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就

知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【技巧方法】①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝ab2；最值

为：f（ab2）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝ab，x1•x2＝ac；③二次函数其实也就是抛物线，所以x

2＝2py的焦点为（0，2p），准线方程为y＝2p，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；六．一元二次不

等式【基础知识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．【技巧方法】（1）当△＝b2﹣4ac＞0时，

一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）（2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．（

3）当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．二.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2

+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类

讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．七．一元二次方程根与系数的关系【基础知识】一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为

x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣ab，x1•x2＝ac．习题演练一．选择题（共12小题）1．关于x的不等

式22280(0)xaxaa的解集为12(,)xx，且：2115xx，则a=（）A．52B．72C．154D．152【答案】A【解析】因为关于x的不等式22280(0)xaxaa的解集为12(,)xx，所以212122,8xxaxxa，又2115

xx，所以2222212121()()43615xxxxxxa，解得52a，因为0a，所以52a.故选：A.2．已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是（）A．22abB．1baC．lg0abD．1122ab【答案】D【解

析】A不正确，如1a，1b，显然22ab不成立，B不正确，如1a，2b时，显然1ba不成立，C不正确，如2a，1b时，显然lg0ab不成立.∵函数12xy在定义域R上是个减函数，∴1

122ab.所以D选项正确.故选：D3．若0ab，则下列不等式中一定成立的是（）A．11abbaB．11bbaaC．11abbaD．22abaabb

【答案】A【解析】取21ab，=，排除B与D；函数1()fxxx是(0)，上的增函数，当0ab时，()()fafb必定成立，即1111abababba，所以A正确函数1()gxxx在(01]，上递减，在[

1)，上递增，当0ab时，()()gagb不一定成立，所以C不成立故选：A4．两个正实数a，b满足3a，12，b成等差数列，则不等式2134mmab恒成立时实数m的取值范围是（）A．4,3B．2,6C．6,2D．3,4【

答案】C【解析】解：两个正实数a，b满足3a，12，b成等差数列，13ab，123ab…，112ab„，112ab…．不等式2134mmab…恒成立，即234abmmab…恒成立，即214mmab…恒成立．2412mm„

，求得62m剟，故选：C．5．设0a，0b，21ab，则21ab的最小值为（）A．22B．3C．4D．9【答案】D【解析】∵，21ab．所以212122()(2)55249baabababab

当且仅当22baab即13ab时取等号，∴21ab的最小值为9．6．已知01x，则1221xx的最小值为（）.A．9B．92C．5D．52【答案】B【解析】1111225222211

21xxxxxxxx.01xQ，0x且10x，111122222211xxxxxxxx≥，当且仅当11221xxxx，即13x时，11221xxxx取得

最小值2.1221xx的最小值为59222.故选B.7．若0x，0y，21xy，则2xyxy的最大值为（）A．14B．15C．19D．112【答案】C【解析】1212xxyy，2231xyxxxyx设13+1(14)3t

xtxt原式25454541()299999819ttttt当4299ttt即11,33xy时有最大值为19故答案选C8．已知正实数,ab满足1ab，则222124abab的最小值为（）A．10B．11C．13

D．21【答案】B【解析】解：正实数,ab满足1ab，则2221241422abababab，142abab447727411babaabab，即：22212411abab

，当且仅当4baab且1ab，即21,33ba时取等号，所以222124abab的最小值为11.故选：B.9．关于x的不等式210xaxa的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（）A．2,

13,4B．2,13,4C．2,13,4D．2,13,4【答案】C【解析】不等式210xaxa，即10xxa，若1a，不等式解集为,1a；若1a，不等式解集为1,a，要保证恰含有两个整数，则21a

或34a，所以正确选项为C．10．已知0<b<1+a，若关于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（）A．－1<a<0B．0<a<1C．1<a<3D．3<a<6【答案】C【解析】由22()()xbax，整理可得（1－2a）2x－2bx+2b>0，由于该不

等式的解集中的整数恰有3个，则有1－2a<0，此时2a>1，而0<b<1+a，故a>1，由不等式222(1)2axbxb<0解得222222,2(1)2(1)babbabxaa即111bbxaa要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<1ba<－2，

由1ba<－2得－b<－2（a－1），则有a<2b+1，即a<2b+1<12a+1，解得a<3，由－3<1ba得3a－3>b>0，解得a>1，则1<a<3．11．若存在正实数y，使得154xyyxxy，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．4

【答案】A【解析】∵154xyyxxy，∴4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0，∴y1•y214＞0，∴y1+y22514xx0，∴25100xx＜，或25100xx＞，∴0＜x55或x55①，△＝（5x2﹣

1）2﹣16x2≥0，∴5x2﹣1≥4x或5x2﹣1≤﹣4x，解得：﹣1≤x15②，综上x的取值范围是：0＜x15；x的最大值是15，故选：A．12．若a、b、c均大于0，且26abc，则aabcbc的最大值为（）A．34B．3C．32D．2

【答案】C【解析】解：a、b、c均大于0,2aabcbcaabacbc2aacabbcaacbac22abacabac22263222ab

c当且仅当62abac时取“=”,aabcbc的最大值为32.故选:C二．填空题（共6小题）13．已知正数ab，满足：1910abab，则ab的最小值是_____________．【答案】2.【

解析】因为1910abab，所以2910ababababab，所以291010baababab，所以291010baababab，所以

291010216baababab，取等号时3ba，所以280abab，所以28ab，当2ab时，1232ab符合条件，所以min2ab.故答案为：2.14对于实数x，y，

若，，则的最大值为.【答案】5【解析】此题，看似很难，但其实不难，首先解出x的范围，，再解出y的范围，，最后综合解出x-2y+1的范围，那么绝对值最大，就去515．设a，b，c是三个正实数，且2bcabca，则393abc的最大值

为______.【答案】3【解析】因为2bcabca，所以2,202aabcbaba，所以23939393933132232aababbaabbcbbabaababaa，令2bxa，所以

1333327232713222xfxxxxxxx，当且仅当3322xx，即3x时，取等号，所以39393313abc所以393abc的最大值为3故答案为：31

6．已知正实数a，b满足21ab，则222122abab的最小值是______.【答案】53【解析】由正实数a，b满足21ab，所以223ab，则2222121(2)4(2)2222abbbaabab121222

4122ababab112[2(2)]()132abab124(4)132baab1245(42)1323baab，当且仅当242baab且23ab，即51,42ab时等号成立，即222122abab

的最小值是53.故答案为：53.17．设,0,5abab,则1++3ab+的最大值为________．【答案】32【解析】由222abab两边同时加上22ab得222()2()abab两边同时开方即得

：222()abab（0,0ab且当且仅当ab时取“=”），从而有1++3ab+2(13)2932ab（当且仅当13ab,即73,22ab时，“=”成立）故填：.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式22

2abab转化为222()abab（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.18．已知实数x，y满足0x，0y，且1353yxxy，则3xy的最小值为______

__．【答案】3【解析】因为13313533yxyxxyxy，所以2223)93)3)5(3=662912333xyyxxyxyxyxy（（（），当且仅当3362yx或时，取等号.上式可化为23)153)360xyxy（（，解得3)12x

y3（，所以3xy的最小值为3.故答案为：3三．解析题（共6小题）19．已知()|3|fxax，不等式()6fx„的解集是{|13}xx剟．（1）求a的值；（2）若()()3fxfxk存在实数解，求实数k的取值范围．【答案】（

1）3a；（2）2,【解析】解：（1）由|3|6ax„，得636ax剟，即39ax剟，当0a时，xR，不合题意，当0a时，39xaa剟，则3193aa，解得3a，符合题意，当0a时，93xaa剟，则9133aa，无解，

综上，3a；（2）因为()()|33||33||1||1||1(1)|233fxfxxxxxxx…，要使()()3fxfxk存在实数解，只需2k，实数k的取值范围为(2,)．20．已知,xyR，且1xy．（1）求证：22334xy；（2

）当0xy时，不等式11|2||1|aaxy恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）见证明；（2）35[,]22.【解析】解：（1）由柯西不等式得2222211(3)1()1333xyxy．∴22243()3xy

xy，当且仅当3xy时取等号．∴22334xy；（2）1111()2224yxyxxyxyxyxyxy，要使得不等式11|2||1|aaxy恒成立，即可转化为|2||1|4aa，当2a时，421a≤，可得522a

，当1a2时，34，可得1a2，当1a时，214a，可得312a，∴a的取值范围为：35[,]22．21．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若存在实数x0，使得f（x0）≤5+m﹣m2成

立的m的最大值为M，且实数a，b满足a3+b3＝M，证明：0＜a+b≤2．【答案】(1)3,12;(2)证明见解析.【解析】(1)解：122152fxxx，则15122xx，由绝对值的几何意义可得32x和1x时使得等号成立，所以5fx解集为

3,12(2)证明：由绝对值的几何意义已知1212fxxx的最小值为3，所以235mm，解得12m，所以2M，所以332ab，因为33222ababaabb，222213024aabbabb

，所以0ab，由24abab得，23221234abaabbabababab，则2ab，综上所述，02ab.22．设函数2()(2)3(0)fxaxbxa

,（1）若不等式0fx的解集为1,3，求2ab的值；（2）若(1)4,1fb，求11aab的最小值．（3）若3,ba求不等式42fxx的解集.【答案】（1）2；（2）34；（3）分类讨论，详见解析.【解析】（1）

由不等式0fx的解集为1,3可得：方程2230axbx的两根为1，3且0a,由根与系数的关系可得：1,4ab，所以22ab（2）由已知得14,14fab,则1111211414414414aaaaabababaaba

baabaaba，当0a时，1aa，所以1514aab（当且仅当45,33ab时等号成立）；当0a时，1aa，所以1314aab（当且仅当4,7ab时等号成立）；所以11aab的最小值为3

4；（3）由()42fxx得22342axbxx，又因为3,ba所以不等式()42fxx化为2(1)10axax，即110xax，当0a时，11a，原不

等式11()(1)0xxxaa或1.x若0a，原不等式1()(1)0.xxa此时原不等式的解的情况应由1a与1的大小关系决定，故（1）当1a时，不等式1()(1)0xxa的解集为；（2）当1a时，11a，不等式1()(1)0xxa11xa

；（3）当01a时，11a，不等式1()(1)0xxa11xa.综上所述，不等式的解集为：①当0a时，1xxa或1x；②当01a时，11xxa；③当1a时，；④当1a时，11xxa.故得

解.23．已知函数．(1)若，解不等式；(2)若对于，函数值恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)或；(2).【解析】(1)，则，即，对应抛物线开口向上，不等式解集为“两根之外（含两根）”，所以的解集为或；(2)，恒成立，将左边代数式整理成关于的式子，即，则左边

是关于的一次函数，记作，题意变为对，函数的函数值恒成立由于一次函数图象为一条直线，要使函数值恒成立，则和时都有函数值，得，化简，解得，得，所以实数的取值范围.24．已知函数24fxxmx．(1)求函数在区

间1,2上的最大值maxy；(2)当1,2x时，0y恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)当3m时,82maxym；当3m时,5maxym；(2)5m.【解析】(1)函数24yxmx的图象开口向上，对称轴为2mx，在区间

1,2上的最大值，分两种情况：①322m（3m）时，根据图象知，当2x时，函数取得最大值82maxym；②322m（3m）时，当1x时，函数取得最大值5maxym.所以，当3m时

,82maxym；当3m时,5maxym.(2)1,20xy，恒成立，只需在区间1,2上的最大值0maxy即可，所以(1)0(2)0ff，得45mm，所以实数m的取值范围是5m.