【文档说明】(新高考)高考数学二轮精品复习专题29《定义法或几何法求空间角》(解析版).doc，共(49)页，2.697 MB，由MTyang资料小铺上传

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专题29定义法或几何法求空间角一、单选题1．在长方形ABCD中，AB=2AD，过AD，BC分别作异于平面ABCD的平面，，若l，则l与BD所成角的正切值是（）A．12B．1C．2D．4【答案】C【分析】将异面直线平移到同一平面ABCD中即有l与BD所成角为AD

B，即可求其正切值.【详解】由//ADBC及线面平行的判定定理，得//AD，再由线面平行的性质定理，得//ADl．所以l与BD所成角是ADB，从而tan2ADB．故选：C．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面

直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条到同一平面内；（2）认定：确定异面直线所成的平面角；（3）取舍：由异面直线所成

的角的取值范围是(0,]2，当角为钝角时，应取补角作为两条异面直线所成的角．2．在正方体1111ABCDABCD，E为棱1AA的中点，则异面直线1EC与AD所成角的正切值为（）A．22B．32C．52D．72【答案】

C【分析】利用正方体1111ABCDABCD中，11BC//AD，将问题转化为求共面直线1EC与11BC所成角的正切值，在11CBEV中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCDABCD中，11BC//AD，所以异面直线1EC与AD所成角为11ECB，如图设正方体边长为2

a，则由E为棱1AA的中点，可得1AEa，所以15BEa，则1111155tan22BEaECBCBa.故选:C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例

关系，用余弦定理求角.向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.3．已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三

角形，若P为底面111ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．512B．3C．4D．6【答案】B【分析】根据三棱柱111ABCABC的体积公式，求得3OP，结合线面角的定义，即可求解.【详解】如图所示，底面是边长为3的正三角形，可得133S33sin6024A

BC△，设O点是ABC的中心，所以11133944ABCABCABCVSOPOP△，解得3OP，又由323123OA，在直角OAP△中，可得3tan31OPOAPOA，又02OAP，所以3OAP

.故选：B.4．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，PR=7，那么异面直线AC和BD所成的角是（）A．30B．60C．120D．150【答案】B【分析】由异面直线所成角的定义确定异面直线所成的角，

然后在三角形中由余弦定理计算．【详解】∵AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，∴//,//PQACQRBD，∴异面直线AC和BD所成的角是PQR（或其补角），PQR中2222223571cos22352PQQRPRPQRPQ

QR，120PQR，∴异面直线AC和BD所成的角为60．故选：B．5．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是BC和11AC的中点，则MN与1AB所成角的余弦值

为（）A．105B．1010C．105D．1010【答案】D【分析】取11AB的中点P，连接PN、PB，设1PBABQ，证明出四边形BMNP为平行四边形，可知异面直线MN与1AB所成的角为AQB∠或其补角，设2AB，计算出ABQ△三边边长，利用余弦定理计算

出cosAQB，即可得解.【详解】取11AB的中点P，连接PN、PB，设1PBABQ，设2AB，P、N分别为11AB、11AC的中点，则11//PNBC且1112PNBC，在正三棱柱111ABCABC中，1

1//BCBC且11BCBC，M为BC的中点，所以，//BMPN且BMPN，则四边形BMNP为平行四边形，所以，//MNPB，所以，异面直线MN与1AB所成的角为AQB∠或其补角，221122ABABBB

，22115PBPBBB，11//ABAB，则1112BQPBPQBQAQAB，124233AQAB，22533BQPB，由余弦定理可得22210cos210AQBQABAQBAQBQ.

因此，MN与1AB所成角的余弦值为1010.故选：D.【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证

明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．6．如

图在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么直线AP和CB所成角的余弦值（）A．24B．22C．12D．24【答案】A【分析】设2ABBCCAPC，分别取,,ABACPC的中点,,DEF，连接,,,DEEFDFCD，则//,//DEBCEF

AP，所以DEF（或其补角）就是直线AP和CB所成的角，根据三角形的余弦定理可求得选项.【详解】设2ABBCCAPC，分别取,,ABACPC的中点,,DEF，连接,,,DEEFDFCD，则//,//DEBCEFAP，所以DEF（或其补角）就是直线AP和CB所成的角，又PC

平面ABC，DC平面ABC，所以PCDC，所以2222132DFFCDC，又112DEBC，122FEAP，所以在DEF中，2222221222cos24212DEEFDFDEFD

EEF，所以直线AP和CB所成角的余弦值为24.【点睛】本题考查求异面直角所成的角，平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的

一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．7．如图所示，点P是

二面角AB棱上的一点，分别在、平面内引射线PM、PN，若45BPMBPN，60MPN，那么二面角AB的大小为（）A．60B．70C．80D．90【答案】D【分析】过AB上一点Q分别在、内做

AB的垂线，交PM、PN于点M、N，则MQN即为二面角AB的平面角，设PQa，通过解三角形即可求出答案．【详解】解：过AB上一点Q分别在、内做AB的垂线，交PM、PN于点M、N，则MQN即为二面角AB的平面角，如下图所示：设

PQa，∵45QPNQPM，∴QNQMa，2PNPMa，又∵60MPN，∴MPN△为等边三角形，则2MNa，∴222QNQMMN，∴90MQN，故选：D．8．如图，1111ABCDABCD是正方体，11111114BEDFAB，则1BE与1DF所成角的

余弦值是（）A．1517B．12C．817D．32【答案】A【分析】通过平移直线求得异面直线所成的角，再由余弦定理即可得解.【详解】过点A在平面11ABBA内作1//AFDF，再过点1E在平面11AB

BA内作1//EEAF，如图，则1BEE或其补角即为1BE与1DF所成的角，因为1111ABCDABCD是正方体，不妨设111111141BEDFAB，则122BEAB，1124117BEEE，所以在1EBE△中，222111111717415co

s21721717BEEEBEBEEBEEE.故选：A.9．在长方体1111ABCDABCD中，11AAAD，2AB，P、Q分别为上底面的边AD、CD的中点，过P、Q的平面与底面1111DCBA交于R、S两点，R、S分别在下底面的边11BC、1

1AB上，112BS，平面PSRQ与棱1AA交于点T，则直线TS与侧面11ADDA所成角的正切值为（）.A．52B．2C．3D．52【答案】A【分析】根据题意画出图形，通过分析可知，直线TS与侧面11ADDA所成角为1AT

S，则111tanASATSAT，然后根据图形中的几何条件分析计算出1AT及1AS的长度即可解得答案.【详解】延长PT和SR交于点E，连接QR，11AC，∵PQ平面ABCD，平面ABCD//平面1111DCBA，∴PQ//平面1111DCBA，又P

Q平面PQRS，且1111PQRSABCDRS，∴PQ//RS，又PQ//11AC∴RS//11AC，∴1111111224BSBRABBC，又111BCAD，∴114BR，∵1AES∽1BRS，∴111112214ASBSAEBR，且111

32ASABBS，∴134AE，∵APT∽1AET，∴11AEAPATAT，且1122APAD，∴11334122ATAEATAP，又111ATATAA，∴135AT，根据线面夹角的概念可知，直线TS与侧面11ADDA所

成角为1ATS，则111352tan325ASATSAT.故选：A.【点睛】本题考查直线与平面夹角的计算问题，利用定义法求解线面夹角时，一般步骤如下：（1）找出斜线在平面内的投影，或根据题目条件通过作辅助线找到投影，找到所求角；（2）根据几何条件计算所求角所在三角形的各边长；（3）根

据解三角形的方法计算所求角的三角函数值.10．如图，在正四棱锥PABCD中，设直线PB与直线DC、平面ABCD所成的角分别为、，二面角PCDB的大小为，则（）A．,B．,C．,D．,【答

案】A【分析】连接AC、BD交于O，连PO，取CD的中点E，连,OEPE，根据正棱锥的性质可知，PCE，PCO，PEO，再比较三个角的正弦值可得结果.【详解】连接AC、BD交于O，连PO，取CD的中点E，连,OEPE，如图：因为//ABCD，所以PBA

，又因为四棱锥PABCD为正四棱锥，所以PCE，由正四棱锥的性质可知，PO平面ABCD，所以PCO，易得OECD，PECD，所以PEO，因为sinPEPC，sinPOPC，且PEPO，所以sinsin

，又,都是锐角，所以，因为sinPOPE，sinPOPC，且PCPE，所以sinsin，因为,都是锐角，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.11

．已知在正方体1111ABCDABCD中，M，N分别为1AD，AC上的点，且满足13ADMD，2ANNC，则异面直线MN与11CD所成角的余弦值为（）A．255B．55C．33D．24【答案】A【分析】取线段AD上一点E，使2AEED，

连接ME，NE，证明MNE（或其补角）为异面直线MN与11CD所成的角，在MNE中求出此角的余弦即可．【详解】取线段AD上一点E，使2AEED，连接ME，NE，如图所示，因为13ADMD，2ANN

C，所以113MDCNDEADACAD，所以//NECD，1//MEAA，又11//CDCD，所以易知MNE（或其补角）为异面直线MN与11CD所成的角.正方体中1AA平面ABCD，NE平面ABCD，所以

1AANE，所以MENE设该正方体的棱长为3a，则223ENCDa，113MEAAa，所以在RtMNE△中，2222(2)5MNMEENaaa，所以225cos55ENaMNEMNa.故选：A．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所的角

，并证明，然后再计算．12．如图所示，已知正方体1111ABCDABCD，则直线11CD与平面1ABC所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【分析】把11CD与平面1ABC所成的角转化为11AB与平面1ABC所成的角，根据线面垂直的判定定理，证得

1AB平面1ABC，得到11BAO为11AB与平面1ABC所成的角，在直角11ABO中，即可求解.【详解】由题意，在正方体1111ABCDABCD中，可得1111//ABCD，所以直线11CD与平面1

ABC所成的角，即为11AB与平面1ABC所成的角，连接1AB交1AB于点O，可得11ABAB，又由BC⊥平面11ABBA，因为1AB平面11ABBA，可得1BCAB由线面垂直判定定理，可得1AB平面1A

BC，所以11BAO为11AB与平面1ABC所成的角，设正方体1111ABCDABCD的棱长为1，可得122BO,在直角11ABO中，111112sin2BOBAOAB，因为11(0,90)BAO，所以1145

BAO.故选：B.13．如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，Q是线段PC上的点(不含端点).设AQ与BC所成的角为，AQ与平面ABCD所成的角为，二面角QABC的平面角为，则（）A．B．

C．D．【答案】D【分析】根据空间角的定义作出异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，归结在直角三角形中计算正弦值、余弦值，然后可得角大小．【详解】如图，取AD中点E，连接PE，∵PAPD，∴PEAD，而平面PAD平面ABCD，平面P

AD平面ABCDAD，∴PE平面ABCD，连接EC，作//QOPE交EC于O，则QO平面ABCD，∵//ADBC，∴DAQ为直线AQ与BC所成的角，即DAQ，作QNAD于E，∴sinQNQA，连接A

O，则QAO是直线AQ与平面ABCD所成的角，即QAO，显然QOOA，∴sinQOAO，作//OMBC交AB于M，则OMAB，连接QM，由OQ平面ABCD得QOAB，QOOMO，∴AB平面AOM，∴ABQM，∴

QMO是二面角QABC的平面角，即QMO，同样QOOM，sinQOOM，由图可知OQQN，∴sinsin，（,都是锐角），OMAO，∴sinsin，（也是锐角），又cosNAQA，cosOMQM，根据上面作图过程知OMAN是矩形，OMA

N，∴coscos，∴>，综上．故选：D．【点睛】本题考查空间角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题关键是根据它们的定义作出这些角（平面上的角），然后利用三角函数值比较它们的大小．14．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直

角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A．12B．14C．32D．33【答案】A【分析】如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G

，O，则//EFBD，//EGAC，FOOG，FEG为异面直线AC与BD所成角．【详解】解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则//EFBD，//EGAC，FOOG，FEG为异面直线

AC与BD所成角．设2ABa，则2EGEFa，222FGaaa，60FEG，异面直线AC与BD所成角的余弦值为12，故选：A．【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题

来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为

两条异面直线所成的角．15．已知长方体1111ABCDABCD的高12,26,AAAC11,ABxADy，则当xy最大时，二面角111ABDC的余弦值为（）A．155B．155C．55D．55【答案】B【分析】先由基本不等式得确定当且仅当4xy时，

xy取得最大值8，接着求出23ab，114ABAD，1126BDAC，再取11BD的中点T，连接AT，1CT，1AC，并确定1ATC就是二面角111ABDC的平面角，最后在三角形1

ACT中由余弦定理求得1cosATC解题.【详解】解：设ABa=，BCb，则由题意得：222(26)ab，2222ax，2222by，所以2232xy，由基本不等式得：222()2()64xyxy，当且仅

当4xy时，xy取得最大值8，此时23ab，114ABAD，所以1126BDAC，取11BD的中点T，连接AT，1CT，1AC，如图，则11ATBD，111CTBD，则1ATC就是二面角111ABDC的平面角，在等腰

三角形11ABD中，因为114ABAD，1126BD，所以10AT，在等腰三角形111CBD中，因为111123CBCD，1126BD，所以16CT，在长方体1111ABCDABCD，求得127AC，故在三角形1ACT中，由余弦定理得

222111115cos25ATTCACATCATTC，故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查二面角的余弦值的求解，是中档题.求二面角的常用方法：（1）找（确定二面角的平面角）①点（定

义法）：再二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直与棱的射线；②线（三垂线定理）：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角；③面（垂面法）：过棱上一点作棱的垂直平面，该

平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即是二面角的平面角.（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）①在三角形中，利用余弦定理求值；②射影面积公式求值；③利用公式法求值.还可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值.二、多选题16．在正方体A

BCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．D1D⊥AFB．A1G∥平面AEFC．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为1010D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的

距离的2倍【答案】BCD【分析】利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D1D、AF是否垂直及求直线A1G与EF所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G到平面AEF的距离与点C到平面AEF的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A1

G、平面AEF是否平行.【详解】A选项，由11//DDCC，即1CC与AF并不垂直，所以D1D⊥AF错误.B选项，如下图，延长FE、GB交于G’连接AG’、GF，有GF//BE又E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，所以11GGBBAA

，而1//AAGG，即1//AGAG；又因为面11ABBA面AEF=AG，且1AG面AEF，1AG面11ABBA，所以A1G∥平面AEF，故正确.C选项，取11BC中点H，连接GH，由题意知GH与EF平行且相等，所以异面直线A1G与EF所成角的平面角为1AGH

，若正方体棱长为2，则有112,5GHAGAH，即在1AGH中有110cos10AGH，故正确.D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为1h、2h，则由11133AGEFGEFGAEFAEFVABSVhS且21133ACEF

CEFCAEFAEFVABSVhS，知122GEFCEFShhS，故正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.1、平移：将异面直线置于同

一平面且有一个公共点，结合其角度范围为(0,]2.2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行.3、由AGEFGAEFVV、ACEFCAEFVV即可求G、C到平面AEF的距离比.17．在棱长为1的正方体中1111ABCDABCD中，点P在线段1

AD上运动，则下列命题正确的是（）A．异面直线1CP和1CB所成的角为定值B．直线CD和平面1BPC平行C．三棱锥1DBPC的体积为定值D．直线CP和平面11ABCD所成的角为定值【答案】ABC【分析】A：由正方体的性质判断1BC平面

11ABCD，得出11BCCP，异面直线1CP与1CB所成的角为90°；B：由//CDAB，证明//CD平面11ABCD，即得//CD平面1BPC；C：三棱锥1DBPC的体积等于三棱锥的体积1PDBC的体积，判断三棱锥1DBPC的体积为定值；D：找出直线CP和平面

11ABCD所成的角，可知其不是定值.【详解】解：对于A，因为在正方体1111ABCDABCD中，11BCBC，111BCCD，又1111BCCDC，1BC，11CD平面11ABCD，所以1BC

平面11ABCD，而1CP平面11ABCD，所以11BCCP，故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以A正确；对于B，因为平面1BPC与面11ABCD是同一平面，//DCAB，ABÌ面11ABCD，CD平面11ABCD，故//CD平面11ABCD，即//CD平面1BPC，故B

正确；对于C，三棱锥1DBPC的体积等于三棱锥1PDBC的体积，而平面1DBC为固定平面，且1DBC大小一定，又因为1PAD，因为11//ADBC，1AD平面1BDC，1BC平面1BDC，所以1//AD平面1DBC，所以点A到

平面1DBC的距离即为点P到该平面的距离，为定值，所以三棱锥1DBPC的体积为定值，故C正确；对于D，由线面夹角的定义，令1BC与1BC的交点为O，所以1BC平面11ABCD，可得CPO即为直线CP与平面11ABCD所成的角，当P移动时这个角是变化的，故D错误.故选：

ABC.【分析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及性质，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，空间中的距离，属于较难题.18．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以

人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态.其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为1，则（）A．它的所有顶

点均在同一个球面上，且该球的直径为2B．它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直C．它的体积为523D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等【答案】ACD【分析】利用立方八面体与正方体之间的关系计算出正方体的棱长，可判断A、C选项的正误；计算出不共面的棱所成角的大小可

判断B选项的正误，计算相邻的两个面所成二面角的大小可判断D选项的正误.【详解】如下图所示，由题意可知，立方八面体的顶点为正方体1111ABCDABCD各棱的中点，故立方八面体的棱为正方体1111ABCDABCD相邻两条棱的中点的连线，故正方体的棱长为221

12，由对称性可知，立方八面体的外接球球心为正方体1111ABCDABCD的中心，外接球的直径为正方体1111ABCDABCD的面对角线长2，该球的半径为1，A选项正确；设MN、PQ为立方八面体的两条不共面的棱，如下图所示，则11//MNBD，在正方体1111ABCDABCD中，11//

BBDD且11BBDD，则四边形11BBDD为平行四边形，11//BDBD，//MNBD，由于1//PQBC，易知1BCD为等边三角形，则160CBD，所以，MN与PQ所成角为60，B选项错误；立方八面体的体积为3311252283223V

，C选项正确；设正方体1111ABCDABCD底面的中心为点O，连接OC交立方八面体的棱PF于点E，连接EQ，则E为PF的中点，且PFQ△为等边三角形，所以，EQPF，CDBC，O为BD的中点，OC

BD，P、F分别为BC、CD的中点，则//PFBD，OCPF，所以，OEQ为立方八面体的底面与由平面PFQ所成二面角的平面角，立方八面体的棱长为1，12OEEC，11222CQCC，3sin602EQPQ，1CC

平面ABCD，CE平面ABCD，1CCCE，在RtCEQ中，3cos3CECEQEQ，所以，3coscos180cos3OEQCEQCEQ，同理可知，立方八面体的相邻两个面所成二面角的

余弦值为33，D选项正确.故选：ACD.【点睛】作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角

的平面角．三、解答题19．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.∠BDC=90°，BC=1，BP=3，PC=2.（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）若BD与底面PBC所成的角为4，求二面角B-P

C-D的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）233．【分析】（1）由已知求解三角形证明BCPB，再由平面与平面垂直的性质可得PB平面ABCD，则PBCD，又由已知可得BDCD，利用直线与平面垂直的判定可得CD平面PBD；（2）证明BDC为等腰直角三角形，得DBDC，取BC中点

O，连接DO，则DOBC，可得DO平面PBC，过O作OHPC，垂足为H，连接DH，可得DHPC⊥，则DHO为二面角BPCD的平面角，求解三角形可得二面角BPCD的正切值．【详解】（1）证明：在PBC中，由1BC，3BP，2PC，可得222BCPBPC，BCPB

，又平面PBC平面ABCD，且平面PBC平面ABCDBC，PB平面PBC，PB平面ABCD，则PBCD，又90BDC，BDCD，且PBDBD，CD\^平面PBD；（2）平面PBC平面ABCD，BD

平面ABCD，DB在底面PBC上的射影在BC上，则BD与底面PBC所成的角为4DBC，由已知得，BDC为直角三角形，BDC为等腰直角三角形，且DBDC，取BC中点O，连接DO，则DOBC，又平面PBC平面ABCD，且平面PBC平面ABCDBC，DO

平面ABCD，DO平面PBC，过O作OHPC，垂足为H，连接DH，可得DHPC⊥，则DHO为二面角BPCD的平面角，在等腰直角三角形BDC中，由1BC，可得12DOCO，由RtPBCRtOHC∽，可得OCOHPCPB

，得133224OCPBOHPC，在RtDOH△中，可得1232tan334DODHOOH．二面角BPCD的正切值为233．【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，定义法找二面角归纳如下：设平面与平面的交线为l，空间中一点P，1.点P在

平面内，但不在交线上：过P作平面的垂线，垂足为H，过H作l的垂线，垂足为A，连接AP，角PAH为二面角的平面角；2.点P在交线上：过P在平面与平面内分别作垂直于交线的射线,PAPB，角APB为二面角的平面角；3.点P在两平面外：过P作平面的垂线，垂足为H，过H作l

的垂线，垂足为A，过A在平面内作交线的垂线AB，则角BAH为二面角的平面角．20．如图所示，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝23，△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3.（

1）证明：AC⊥BF；（2）求直线BC与平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）77.【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，利用题中的垂直关系，易证明AC平面ABEF；（2）由题中所给的长度，证明BP平面PAC，即∠

BCP为直线BC与平面PAC所成的角，在Rt△BCP中，求线面角的正切值.【详解】(1)证明：因为△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，所以AC⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面A

BC＝AB，所以AC⊥平面ABEF.因为BF⊂平面ABEF，所以AC⊥BF.(2)在矩形ABEF中，AB＝2，AF＝23，则BF＝4，又PF＝3，所以FA2＝PF·BF，所以BF⊥AP，由(1)知AC⊥BF，又AC∩AP＝A，所以BF⊥平面PAC，则∠BCP为直线

BC与平面PAC所成的角.如图，过点P作PM∥AB交BE于点M，过点P作PN⊥AB于点N，连接NC，因为BF＝4，PF＝3，所以PB＝1，则14PMBMPBEFBEBF，所以PM＝BN＝12，BM＝PN＝32，A

N＝AB－BN＝2－12＝32，所以CN＝22ANAC＝2235()222，PC＝22PNNC＝2235()()722.在Rt△BCP中，tan∠BCP＝77BPPC.故直线BC与平面PAC所成角的正切值为77.【点睛】方法点睛：本题考查计算线面角，注意包含

以下方法：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h，而不必画出线面角，利用sinh/斜线段

长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a是直线l的方向向量，n是平面的法向量，利用公式sincos,an求解.21．如图BC⊥BD，AB＝BD，∠ABD＝60°，平面BCD⊥平面ABD，E、F、G分别为棱

AC、CD、AD中点.（1）证明：EF⊥平面BCG；（2）若BC＝4，且二面角A—BF—D的正切值为6，求三棱锥G—BEF体积.（注意：本题用向量法求解不得分）【答案】（1）证明见解析（2）433【分析】（1）由平面BCD⊥平面ABD，可得BC⊥平面AB

D，从而可证AD平面BCG，又//EFAD，可证.（2）过A作AMBD于点M，M为BD的中点,过M作MNBF于点N，连接AN,可得AM平面BCD,则AMBF,从而BF平面AMN.从而ANM为二面角A—B

F—D的平面角，再求三角形边长进行计算得出答案.【详解】（1）由平面BCD⊥平面ABD，且平面BCD平面ABDBD又BC⊥BD，BC平面BCD，所以BC⊥平面ABD又AD平面ABD，则BCAD又ABBD,G为AD中点，则BGAD而BGBCB,则AD平面BCG又

E、F分别为棱AC、CD中点，则//EFAD所以EF⊥平面BCG；（2）由AB＝BD，∠ABD＝60°，则ABD△为正三角形.过A作AMBD于点M，M为BD的中点,过M作MNBF于点N，连接AN由平面BCD⊥平面ABD，且平面BCD平面ABDBD，可得AM平面BCD.所以AM

BF,从而BF平面AMN.所以ANM为二面角A—BF—D的平面角.设ABa=，在RTAMN中，311,,sin222AMaBMaMNaDBF所以32tan61sin2aAMANMMNaDBF则2sin2DBF，则4DBF

所以RTBCD为等腰直角RT，4BDBC由//EFAD，EF平面BEF,AD平面BEF,则//EF平面BEF则21111143423244323GBEFDBEFEBDFABDFABCDVVVVV

所以三棱锥G—BEF体积为433.【点睛】关键点睛：本题考查线面垂直的证明和根据二面角的大小解决体积问题，解答本题的关键是利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，由平面BCD⊥平面ABD，过A作AM

BD于点M，可得AM平面BCD，从而得出ANM为二面角A—BF—D的平面角，属于中档题.22．ABC中，5ABAC，2BC，E，F分别是边AB，AC上的点，且//EFBC，AHBC于H，∩AH

EFO，将AEF沿EF折起，点A到达A，此时满足面AEF面BCFE．（1）若53AEEB，求直线AB与面BCFE所成角大小；（2）若E，F分别为AB，AC中点，求锐二面角ABEC的余弦值；（3

）在（2）的条件下，求点B到面ACF的距离．【答案】（1）45；（2）66；（3）263．【分析】（1）折叠过程中,AOOH与EF保持垂直，由面面垂直的性质定理得AO平面BCFE，从而可得ABO为直线AB与面BCFE所成角，

解ABO即可得；（2）由（1）分别以,,OHOFOA为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出点的坐标，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角的余弦得二面角的余弦（注意锐二面角）；（3）同样求出平面ACF的

一个法向量，由CB在法向量方向上的投影的绝对值即为点B到面ACF的距离可得结论．【详解】（1）因为5ABAC，2BC，//EFBC，AHBC，所以H为BC中点，1CHBH，222AHACCH，AHEF，所以AOEF

，又平面AEF平面BCFE，所以AO平面BCFE，所以ABO为直线AB与面BCFE所成角若53AEEB，由//EFBC得53AOAEOHEB，所以55284AO，34OH，54AOAO，又

222235144OBOHHB，tan1AOABOOB，ABO是锐角，所以45ABO；（2）分别以,,OHOFOA为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为E，F分别为AB，AC中点，则112E

FBC，1AOOH，10,,02E，(1,1,0)B，(0,0,1)A，11,,02EB，(1,1,1)BA，设平面ABE的一个法向量为(,,)mxyz，则1020mEBxymBAxyz

，取2y，则1,1xz，即(1,2,1)m，平面BCE的一个法向量为(0,0,1)n，16cos,661mnmnmn，所以锐二面角ABEC的余弦值为66．（3）由（2）(1,1,0)

C，10,,02F，11,,02FC，(1,1,1)CA，设平面ACF的一个法向量为111(,,)pxyz，则111111020pFCxypCAxyz，取11x

，则12y，11z，即(1,2,1)p，(0,2,0)CB，所以点B到面ACF的距离为426cos,36CBpCBCBpp．【点睛】本题考查求直线与平面所成的角，考查用空间向量法求二面

角，求点到平面的距离，解题关键是建立空间直角坐标系，求出平面的法向量．然后只要计算即可得．23．在四棱锥PABCD中，//ADBC，BCCD，120ABC，4AD，3BC，=2AB，3CDCE，APED．（1）求证：DE面PE

A；（2）已知点F为AB中点，点P在底面ABCD上的射影为点Q，直线AP与平面ABCD所成角的余弦值为33，当三棱锥PQDE的体积最大时，求异面直线PB与QF所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）714

．【分析】（1）在直角梯形ABCD中先求出,,CDCEBE，然后可求得,DEAE，从而可证明DEAE，由线面垂直判定定理证明线面垂直；（2）由（1）得面面垂直，知Q在AE上，PAQ为直线AP与平面ABCD所成的角，3cos3AQPAQAP，设AQx（

023x），求出三棱锥PQDE的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时x的值，得Q为AE中点，从而有//FQBE，PBE为异面直线PB与QF所成角（或补角），由余弦定理可得．【详解】（1）证明：//ADBC，BCCD，120ABC

，4AD，3BC，=2AB，∴222(43)3CD，又3CDCE，∴1CE，3CD，2BE，由余弦定理得222cos120AEBEABBEB22122222232，又22

22(3)12DECDCE，∴222DEAEAD+=，∴ADDE，∵APDE，又APAEA，APAE、平面APE，∴DE平面APE．（2）由（1）DE平面APE．DE平面ABCD，∴平面ABCD平面P

AE，∴Q点在AE上，PAQ为直线AP与平面ABCD所成的角，3cos3AQPAQAP，设AQx（023x），则2PQx，23QEx，12(23)232QDESxx△，212(23)33PQDEQDEVPQSxx△22(3)223x

，当且仅当3x时等号成立，则当PQDEV最大时，3AQ，∴Q为AE中点，∵F为AB中点，∴//FQBC，∴PBE为异面直线PB与QF所成角（或补角），1,3QBQE，则由PQ平面ABCD得3,7PEPB

，又2BE，则2227cos214PBBEPEPBEPBBE，∴异面直线PB与QF所成角的余弦值为714．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力

．属于中档题．24．如图，已知四棱锥ABCDE中，BC⊥平面ADC，45ACD，//DEBC，2ACBCDE，EAEB，F是AB的中点.（Ⅰ）求证：//EF平面ACD；（Ⅱ）求直线AB与平面BCDE所成角的正弦值

.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）12.【分析】（Ⅰ）要证明线面平行，需转化为证明线线平行，取AC中点G，连,DGFG，可证明四边形DEFG为平行四边形，从而证明//EFDG；（Ⅱ）法一，连结BD，证明AD平

面BCDE，ABD即为所求；法二：M是BC中点，连,//,MGMGAB则转化为求MG与平面BCDE的线面角.【详解】（Ⅰ）取AC中点G，连,DGFG.易知//DEBC，且12DEBC，//FGBC，且12FGBC,所以//

DEFG，且DEFG，所以四边形DEFG为平行四边形，所以//EFDG.又因为EFADC面，DGADC面，所以//EFACD面（Ⅱ）(一)连BD.由BCADC面，//DEBC，所以面DEADC，22EAAD

DE.在直角梯形上，2222EBCDBCDECDDE.,EAEBDADC.又45ACD，所以ADDC又ADBC.ADBCDE面，所以ABD为直线AB与平面BCDE

所成角212sin22ACADABDABAC…(二)设M是BC中点，连,//,MGMGAB则因为BCADC平面，则BCDEADC平面平面，作GHDCHGHBCDE于，则面，所以GMH为MG，也即直线AB与平面BCDE所成角1sin2GHGMHGM【点睛】方法点睛：1

.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h，而不必画出线面角，利用sinh/斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，

设a是直线l的方向向量，n是平面的法向量，利用公式sincos,an求解.25．如图，在矩形ABCD中，33AB，3BC，沿对角线BD把BCD△折起，使点C移到点C，且C在平面ABD内的射影O恰好落在AB上．（1）求证：ADBC；（2）求证：平面DBC平

面ADC；（3）求二面角CADB的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）63．【分析】（1）证明：由面面垂直的判定可证得平面ABC平面ABD．再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；（2）由线面垂直的判定可证

得BC平面ADC．再由面面垂直的判定可得证；（3）由（2）知BCAC，由二面角的定义可得二面角CADB的平面角是CAB，解三角形可得答案．【详解】解：（1）证明：由题意得CO平面ABD．∵CO平面ABC．∴平面ABC平面A

BD．又ADAB，平面ABC平面ABDAB，∴AD平面ABC，∴ADBC；（2）证明：∵BCCD，BCAD，CDADD，∴BC平面ADC．又BC平面DBC，∴平面DBC

平面ADC．（3）由（2）知BCAC，在RtACB中，∴32AC，∵CAAD，ABAD，∴二面角CADB的平面角是CAB，∴6cos3ACCABAB，∴二面角CADB的余弦值是63

．【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的判定和性质，二面角的计算，属于中档题.关键在于作出二面角的平面角，常常有以下的方法，A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；B：利用面的垂线(三垂线定理或其逆定理)作平面角；C：利用与

棱垂直的直线,通过作棱的垂面作平面角；D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角.26．如图，已知三棱锥PABC中，2,22ABACPAPBBC，D为BC的中点.（1）求证：PDAB；（2）若2PD，求PD与平面PAC所成角的正

弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33.【分析】（1）取AB的中点E，连接,PEED，利用已知条件得到EDAB，PEAB，再利用线面垂直的判定定理证明AB平面PED，即可得证；（2）取AC的中点F，连接PF，过D作DHPF于H；先利用已知条

件以及线面垂直的判定定理得到AC平面PFD，进而得到ACDH，再利用线面垂直的判定定理得到DH平面PAC，所以DPH就是PD与平面PAC所成角，利用已知条件求解即可.【详解】（1）取AB的中点E，连接,PEED.∵2

,22ABACBC，∴ABAC，∵D，E分别是,BCAB的中点，∴//EDAB，∴EDAB，∵PAPB，∴PEAB，∵EBEDE，∴AB平面PED，∴PDAB.（2）取AC的中点F，连接PF，过D作DHPF于H.∵22BC，∴2BD，∵2,2PBPD，∴PD

BC，∴2PC.∵D，F分别是,BCAC的中点，∴//FDAB，∴FDAC，∵2APACPC，∴PFAC，∵PFFDF，∴AC平面PFD，∴ACDH，∵PFACF，∴DH平面PAC，∴DP

H就是PD与平面PAC所成角，∵1,2,3DFPDPF，∴13sin33DFDPHPF，∴PD与平面PAC所成角的正弦值为33.【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积

法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.27．如图，三棱柱111ABCABC中，11AB平面11ACCA，1160,1,2CAAAB

AAAC．（Ⅰ）证明：11AABC；（Ⅱ）求直线1AB与平面ABC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）64.【分析】（1）在1AAC△中，根据勾股定理，证得11AAAC，进而证得111AAAB，结合线面垂直的判定定理，证得1AA平面1AB

C，即可得到11AABC；（2）过点1A作1AEAC，证得1AE平面ABC，在直角1AAE△中，求得132AE，进而得到点1B到平面ABC的距离等于点B到平面ABC的距离，结合线面角的定义，即可求解.【

详解】（1）连接1AC，在1AAC△中，因为111,2,60AAACAAC，由余弦定理，可得2211112cos601421232ACAAACAAAC，可得22211AAACAC，所以11AAAC，又因为11AB平面11

ACCA，11AA平面11ACCA，所以111AAAB，又由1111ABACA，且111,ABAC平面1ABC，所以1AA平面1ABC，又因为1BC平面1ABC，所以11AABC；（2）过点1A作1AEAC于点E，在三棱柱111ABCABC

中，11//ABAB，因为11AB平面11ACCA，可得AB平面11ACCA，根据面面垂直的性质定理，可得1AE平面ABC，在直角1AAE△中，11601,CAAAA，可得113sin602AEAA，又由11//ABA

B，ABÌ平面ABC，所以11//AB平面ABC，所以点1B到平面ABC的距离等于点B到平面ABC的距离，其距离32d，又在矩形11ABBA中，11ABAA，可得12AB，设直线1AB与平面ABC所成角，可得16sin4AEAB所以直线1AB与平面ABC所成角的正弦值为64

．【点睛】求解直线与平面所成角的方法：1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；3、法向

量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.28．如图，在平面四边形AABC中，90CABCAA，,AAACABAMMC，AAC绕AC旋转．（1）若AAC所在平面与ABC所在平面垂直，求证：AC平面AA

B．（2）若二面角AACB大小为60，求直线AB与平面ABC所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）155【分析】（1）证明AC平面AAB内的两条相交直线,AAAB．（2）先作出二面角AACB

的平面角，再找出直线AB与平面ABC所成角的平面角，通过解三角形，即可得答案；【详解】（1）90CABCAA，ABAC，平面AAC平面ABC，平面AAC平面ABCAC，ABÌ平面ABC，AB平面AAC，AC平面AAC，ABAC，ACAA

，ABÌ平面AAB，'AA平面AAB，AAABA，AC平面AAB．（2）取BC的中点N，连结,,AMANMN，设1AB，则2ACAA，点M为中点，AMAC，//MNAB，MNAC，AMN为二面角AACB的平面角，60AMN，11

22MNAB，1AM，21113124224AN，222ANAMMN，AMMN，ANAC，MNACM，AN平面ABC，ABN为直线AB与平面ABC所成角，3152tan552

ANABNNB.【点睛】利用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而证明线面垂直；利用传统法求角时，要求按照一作、二证、三求的步骤.29．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，060ABC，FA平面ABCD，//,22.FAEDABFAED（1）求二面角FBC

A的大小的正切值；（2）求点E到平面AFC的距离；（3）求直线FC与平面ABF所成的角的正弦值.【答案】（1）233；（2）3；（3）64.【分析】（1）过A作AGBC于点G，则AGF为二面角FBCA的平面角，求其正切值即可；（2）设点E到平面AFC的距离为h，

利用等体积法计算即得结果；（3）作CHAB于点H，则CFH为直线FC与平面ABF所成的角，求其正弦值即可.【详解】解：（1）过A作AGBC于点G，连接FG，四边形ABCD是菱形，60,2ABCA

B，ABC为等边三角形，1BGGC,3AG.FA平面ABCD，BC平面ABCD，FABC，又AGBC，AGFAA，BC平面AFG，BCFG-AGF为二面角FBCA的平面角，223tan33AFAGFAG；2连接AE，设点E到平面AFC的距离为

h，则EACFCAEFVV，即11333ACFAEFshS，也就是111133232AFAChAFAD，解得：3h；(3)作CHAB于点H，连接FH，ABC为等边三角形，H为AB的

中点，221,3,5AHCHFHFAAH，FA平面ABCD，CH平面ABCD，FACH，又,CHABABAFA，CH平面ABF，CFH为直线FC与平面ABF所成的角，36sin422CHCFHCF．【点睛】求空间中二面角的常见

方法为：（1）定义法：过一个平面上的一点作另一个平面的垂线，再往交线上作垂线，找到二面角的平面角，计算即可；（2）向量法：利用两个平面的法向量，计算其夹角的余弦值，再判断求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，

找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.30．如图，三棱台ABCDEF中，90ABC，22ACABD

F，四边形ACFD为等腰梯形，45ACF，平面ABED平面ACFD．（Ⅰ）求证：ABCF；（Ⅱ）求直线BD与平面ABC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）33.【分析】（Ⅰ）延长AD、BE、CF交于点P，由平面ABED平面ACFD推导出CP平面

ABED，进而可得出ABCF；（Ⅱ）设DFa，可得出2PAa，PBa，3CBa，过点P作PMBC，垂足为M，计算出点D到平面ABC的距离h，以及BD的长，即可求得直线BD与平面ABC所成角的正弦值.【详解】（I）延长AD、BE、CF交于点P，四边形ACFD为

等腰梯形，45ACF，90APC，则CPAP，平面ABED平面ACFD，平面ABED平面ACFDAD，CP平面ACFD，CP平面ABED，由ABÌ平面ABED，可得CPAB，即ABCF；（II）22ACABDF，可知D为PA的中点.=设DFa，则2PA

a，PBa，3CBa，由CFAB，90ABC，可得ABBC，CFBCC，AB平面PBC，PB平面PBC，ABPB，1222BDPAa，过点P作PMBC，垂足为M，ABQ平面PBC，PM

平面PBC，ABPM，PMBC，ABBCB，所以PM平面ABC，CPPB，23CPPBPMaBC，则D到平面ABC的距离1626hPMa，所以直线BD与平面ABC所成角的正弦值为636322ahBDa.【点睛】本题考

查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了线面角正弦值的求解，考查计算能力，属于中等题.