【文档说明】全国普通高等学校单招统一招生考试数学模拟试卷一（教师版）.doc，共(7)页，99.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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全国普通高等学校单招统一招生考试数学模拟试卷一一、选择题（本大题共8小题，每小题8分，共64分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.(8分)已知集合M＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，N＝{y|y=﹣12x2＋1，x∈R}，则M∩N等于()A.{x|﹣2≤x＜1}B.{

x|1＜x＜2}C.{x|﹣1＜x≤1}D.{x|1≤x＜2}【答案解析】答案为：C.解析：M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{y|y≤1}，则M∩N＝{x|﹣1＜x≤1}，故选C.2.(8分)定义在R上

的奇函数f(x)满足f(x＋2)=－f(x)，且在[0，2)上单调递减，则下列结论正确的是()A.0＜f(1)＜f(3)B.f(3)＜0＜f(1)C.f(1)＜0＜f(3)D.f(3)＜f(1)＜0【答案解析】答案为：C；解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得

f(0)=0.由f(x＋2)=－f(x)，得f(x＋4)=－f(x＋2)=f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)=f(－1).又f(x)在[0，2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)

＞f(0)＞f(1)，即f(1)＜0＜f(3)，故选C.3.(8分)不等式1x－1<x＋1的解集为()A.{x|x>－3}B.{x|43<x<22}C.{x|x>1}D.{x|x>2或－2<x<1}【答案解析】答案为：D解析

：原不等式可以变形为1－(x2－1)x－1<0，即x2－2x－1>0，故原不等式的解集为{x|x>2或－2<x<1}.4.(8分)若函数f(x)满足f(1﹣lnx)＝1x，则f(2)等于()A.12B.eC.1eD.﹣1【答案解析】答案为：B；解析：解法

一：令1﹣lnx＝t，则x＝e1﹣t，于是f(t)＝1e1－t，即f(x)＝1e1－x，故f(2)＝e.解法二：由1﹣lnx＝2，得x＝1e，这时1x＝11e＝e，即f(2)＝e.5.(8分)已知向量a=(m,2)，b=(2，－1)，且a⊥b，则|2a－b|a·

a＋b等于()A.－53B.1C.2D.54【答案解析】答案为：B解析：∵a⊥b，∴2m－2=0，∴m=1，则2a－b=(0,5)，a＋b=(3,1)，∴a·(a＋b)=1×3＋2×1=5，|2a－b|=5，∴|2a－b|a·a＋b=55=1.故选B.6.(8分)《九章算术》“竹九节”问题：现

有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A.1升B.6766升C.4744升D.3733升【答案解析】答案为：B；解析：设该等差数列为{an}，公差为d，由题意得a1＋a2＋a

3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4，解得a1＝1322，d＝766.∴a5＝1322＋4×766＝6766.故选B.7.(8分)函数f(x)＝2cos(ωx＋π4)(ω＞0)的图象关于直线x＝π2对称，且在(π2,π)上

单调递增，则函数f(x)在区间[﹣π2,π3]上的最小值为()A.﹣2B.﹣2C.﹣1D.﹣22【答案解析】答案为：B.解析：由题意得π2ω＋π4＝2kπ＋π(k∈Z)，解得ω＝4k＋32(k∈Z).又∵f(x)在(π2,π)上单调递增，∴πω≥π2

，∴0＜ω≤2，∴ω＝32，则f(x)＝2cos(32x＋π4)，∵﹣π2≤x≤π3，∴﹣π2≤32x＋π4≤3π4，∴﹣22≤cos(32x＋π4)≤1，故f(x)在区间[﹣π2,π3]上的最小值为﹣2.8.(8分)已知底面是边长为2的正方形的四棱

锥P­ABCD中，四棱锥的侧棱长都为4，E是PB的中点，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为()A.64B.33C.12D.22【答案解析】答案为：A.解析：解法一：选A.如图，取PC的中点F，连接EF，则EF＝1，且∠ECB为异面直线AD与CE所成的角.在△PEF中，由余弦定

理，得cos∠EPF＝22＋22－122×2×2＝78.在△PEC中，由余弦定理，得CE2＝PE2＋PC2﹣2PE×PC×cos∠EPC＝22＋42﹣2×2×4×78＝6，所以cos∠ECB＝EC2＋BC2－EB22×EC×BC＝6＋4－4

2×6×2＝64，故选A.解法二：设O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，﹣1，0)，D(﹣1，﹣1，0)，C(﹣1，1，0)，E(12，12，142)，所以AD→＝(﹣2，0，0)，CE

→＝(32，﹣12，142)，所以|cos〈AD→，CE→〉|＝AD→·CE→|AD→||CE→|＝－32×322＋－122＋1422＝64，故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）9.(8

分)已知函数y=f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y=12x＋2，则f(1)＋f′(1)=________.【答案解析】答案为：3；解析：由导数的几何意义得f′(1)=12，由点M在切线上得f(1)=12×1

＋2=52，所以f(1)＋f′(1)=3.10.(8分)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝4|FB|，O为坐标原点，若△AOB的面积为58，则p＝________.【答案解析】答案为：1.解析：易知抛物

线y2＝2px的焦点F的坐标为(p2,0)，准线为x＝﹣p2，不妨设点A在x轴上方，如图，过A，B作准线的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′，过点B作BH⊥AA′，交AA′于H，则|BB′|＝|A′H|，设|FB|＝t，则|AF|＝|AA′|＝4t，∴|AH|＝|AA′|﹣

|A′H|＝3t，又|AB|＝5t，∴在Rt△ABH中，cos∠HAB＝35，∴tan∠HAB＝43，则可得直线AB的方程为y＝43(x﹣p2).由y＝43x－p2，y2＝2px，得8x2﹣17p

x＋2p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝178p＋p＝258p，易知点O到直线AB的距离为d＝|OF|·sin∠A′AB＝p2×45＝25p.∴S△AOB＝12×258p×25p＝5p28＝58，∴p2＝1，又p＞0，∴p＝1.11.(8分)向圆(x

﹣2)2＋(y﹣3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________.【答案解析】答案为：16﹣34π.解析：如图所示，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为3，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为12×23π×2﹣

12×2×3＝23π﹣3，所以向圆(x﹣2)2＋(y﹣3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P＝16﹣34π.12.(8分)已知A，B，C，D是半径为5的球面上的点，且BC=CD=DB=33，当四面体AB

CD的体积最大时，AB=________.【答案解析】答案为：310.解析：由已知可得，△BCD是边长为33的等边三角形，设△BCD的中心为O1，则BO1=23×33×sin60°=3，要使四面体ABCD的体积最大，则有四面体ABCD的高为5＋52－3

2=9，此时AB=92＋32=310.三、解答题（本大题共3小题，共54分）13.(18分)已知函数f(x)=(2cos2x－1)·sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若α

∈(0，π)，且fα4－π8=22，求tanα＋π3的值.【答案解析】解：(1)f(x)=(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x=cos2xsin2x＋12cos4x=12(sin4x＋cos4x

)=22sin4x＋π4，∴f(x)的最小正周期T=π2.令2kπ＋π2≤4x＋π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ2＋π16≤x≤kπ2＋5π16，k∈Z.∴f(x)的单调递减区间为

kπ2＋π16，kπ2＋5π16，k∈Z.(2)∵fα4－π8=22，∴sinα－π4=1.∵α∈(0，π)，－π4＜α－π4＜3π4，∴α－π4=π2，故α=3π4.因此tanα＋π3=tan3π4＋tanπ31－tan3π4tanπ3=－1＋31＋

3=2－3.14.(18分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角.(1)证明：B－A=π2；(2)求sinA＋sinC的取值范围.【答案解析】解：(1)证明：由a=b

tanA及正弦定理，得sinAcosA=ab=sinAsinB，所以sinB=cosA，即sinB=sinπ2＋A.又B为钝角，因此π2＋A∈π2，π，故B=π2＋A，即B－A=π2.(2)由(1)知，C=π－(A＋

B)=π－2A＋π2=π2－2A＞0，所以A∈0，π4.于是sinA＋sinC=sinA＋sinπ2－2A=sinA＋cos2A=－2sin2A＋sinA＋1=－2sinA－142＋98.因为0＜A＜π4，所以0＜sinA＜

22，因此22＜－2sinA－142＋98≤98.由此可知sinA＋sinC的取值范围是22，98.15.(18分)已知双曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx﹣1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交

于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是2，求实数k的值.【答案解析】解：(1)由y＝kx－1，x2－y2＝1消去y，得(1﹣k2)x2＋2kx﹣2＝0.①由直线l与双曲线C有两个不同的交点，得1－k2≠0，Δ＝4k2

＋81－k2>0，解得﹣2＜k＜2且k≠±1.即k的取值范围为(﹣2，﹣1)∪(﹣1,1)∪(1，2).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程①，得x1＋x2＝－2k1－k2，x1x2＝－21－k2.因为直线l：y＝kx﹣1恒过定点D(0，﹣1)，则当x1x2＜0时，S△AOB＝S△O

AD＋S△OBD＝12|x1﹣x2|＝2；当x1x2＞0时，S△AOB＝|S△OAD﹣S△OBD|＝12|x1﹣x2|＝2.综上可知，|x1﹣x2|＝22，所以(x1﹣x2)2＝(x1＋x2)2﹣4x

1x2＝(22)2，即（－2k1－k2）2＋81－k2＝8，解得k＝0或k＝±62.由(1)，可知﹣2＜k＜2且k≠±1，故k＝0或k＝±62都符合题意.