【文档说明】全国普通高等学校单招统一招生考试数学模拟试卷三（教师版）.doc，共(6)页，129.502 KB，由MTyang资料小铺上传

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全国普通高等学校单招统一招生考试数学模拟试卷三一、选择题（本大题共8小题，每小题8分，共64分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{x∈Z|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{2，3}，则(∁UA)∪B等于()A

.{-2,2,3}B.{-2,-1，2,3}C.{-2,-1，0，2,3}D.∅【答案解析】答案为：A解析：依题意知，A＝{}x∈Z|x2－3x－4≤0＝{}x∈Z|－1≤x≤4＝{}－1，0，1，2，3，4，∴∁UA＝{}－2，故(

)∁UA∪B＝{}－2，2，3.2.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是()A.y=x3B.y=-x2＋1C.y=|x|＋1D.y=2－|x|【答案解析】C3.若a＜0，则关于x的不等式x2-4ax-5a2＞0的解集是

()A．(-∞，-a)∪(5a，＋∞)B．(-∞，5a)∪(-a，＋∞)C．(5a，-a)D．(a，-5a)【答案解析】答案为：B；解析：由x2-4ax-5a2＞0，得(x-5a)(x＋a)＞0，∵a＜0，∴x＜5a或x

＞-a.4.若函数f(x)＝x－2a＋ln(b﹣x)的定义域为[2，4)，则a＋b＝()A.4B.5C.6D.7【答案解析】答案为：B解析：要使函数有意义，则x－2a≥0，b－x>0，解不等式组得x≥2a，x<b.∵函数f(x)＝x－2a＋ln

(b﹣x)的定义域为[2，4)，∴2a＝2，b＝4，∴a＝1，b＝4，∴a＋b＝1＋4＝5.故选B.5.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，BC→=3EC→，F为A

E的中点，则BF→=()A.23AB→－13AD→B.13AB→－23AD→C.－23AB→＋13AD→D.－13AB→＋23AD→【答案解析】答案为：C；解析：BF→=BA→＋AF→=BA→＋12AE→=－AB→＋

12AD→＋12AB→＋CE→=－AB→＋12AD→＋12AB→＋13CB→=－AB→＋12AD→＋14AB→＋16(CD→＋DA→＋AB→)=－23AB→＋13AD→.6.古代数学著作《九章算术》

有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为()A.7B.8C.9D.1

0【答案解析】答案为：B；解析：设该女子第一天织布x尺，则x1－251－2＝5，得x＝531，∴前n天所织布的尺数为531(2n﹣1).由531(2n﹣1)≥30，得2n≥187，则n的最小值为8.7.满足1sin(x-)42的x的集合是（）A.

++Zkkxkx,121321252|B.+−Zkkxkx,1272122|C.++Zkkxkx,65262|D.+Zkkxkx,622|

∪++Zkkxkx,)1(2652|【答案解析】答案：A8.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝23A1D，AF＝13AC，则()A.EF至多与A1D，AC之一垂直B.EF⊥A1D，EF⊥A

CC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【答案解析】答案为：B解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体棱长为1，则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(13，0，13)，F(

23，13，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A1D→＝(﹣1，0，﹣1)，AC→＝(﹣1，1，0)，EF→＝(13，13，﹣13)，BD1→＝(﹣1，﹣1，1)，EF→＝﹣13BD1→，A1D→·EF→＝AC→·EF→＝0

，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）9.曲线y=x2-3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________.【答案解析】[答案](1.5,-2.25)10.若双曲线x2a2﹣y24＝1(a＞

0)的离心率为52，则a＝________.【答案解析】答案为：4.解析：[由e＝ca＝a2＋b2a2知a2＋4a2＝（52）2＝54，∴a2＝16.∵a＞0，∴a＝4.]11.下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成

绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x+y的值为__________.【答案解析】答案为：9；12.如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为423，则该半球的

体积为________.【答案解析】答案为：423π.解析：设所给半球的半径为R，则棱锥的高h=R，底面正方形中有AB=BC=CD=DA=2R，∴其体积为23R3=423，则R3=22，于是所求半球的体积为V=23πR3=423π.三、解答题（本大题共3小题，共54

分）13.已知a，b∈R，a≠0，函数f(x)=－2(sinx＋cosx)＋b，g(x)=asinxcosx＋a2＋1a＋2.(1)若x∈(0，π)，f(x)=－255＋b，求sinx－cosx的值；(2)若不等式f(x)≤g(x)对任意的x∈R恒成立，求b

的取值范围.【答案解析】解：(1)依题意得sinx＋cosx=105，∴sin2x＋cos2x＋2sinxcosx=25，即2sinxcosx=－35，∴1－2sinxcosx=85，即sin2x＋cos2x－2sinxcosx=(sinx－cosx)2=85，由2sinxc

osx=－35<0，x∈(0，π)，得x∈π2，π，∴sinx>0，cosx<0，∴sinx－cosx>0，∴sinx－cosx=2105.(2)不等式f(x)≤g(x)对任意的x∈R恒成立，即不等式b≤asinx·cosx＋2(si

nx＋cosx)＋a2＋1a＋2对任意的x∈R恒成立，即b≤[asinx·cosx＋2(sinx＋cosx)＋a2＋1a＋2]min.设y=asinxcosx＋2(sinx＋cosx)＋a2＋1a＋2，令t=sinx＋cosx，则t=2sin(x+π4)

∈[－2，2]，且sinxcosx=t2－12.令m(t)=at2－12＋2t＋a2＋1a＋2=a2t2＋2t＋1a＋2=a2(t2+2at)＋1a＋2=a2(t+2a)2＋2.1°当－2a<－2，即0<a<1时，m(t)在区间[－2，2]上单

调递增，∴m(t)min=m(－2)=a＋1a.2°当－2≤－2a<0，即a≥1时，m(t)min=m(－2a)=2.3°当0<－2a≤2，即a≤－1时，m(t)min=m()－2=a＋1a.4°当－2

a>2，即－1<a<0时，m(t)min=m(－2)=a＋1a.∴ymin=2，a≥1，a＋1a，a<1且a≠0，∴当a≥1时，b≤2；当a<0或0<a<1时，b≤a＋1a.14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－

(b－c)2=(2－3)bc，sinAsinB=cos2C2，BC边上的中线AM的长为7.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积.【答案解析】解：(1)由a2－(b－c)2=(2－3)bc，得a2－b

2－c2=－3bc，∴cosA=b2＋c2－a22bc=32，又0＜A＜π，∴A=π6.由sinAsinB=cos2C2，得12sinB=1＋cosC2，即sinB=1＋cosC，则cosC＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C=5π6，则sin5

π6－C=1＋cosC，化简得cosC＋π3=－1，解得C=2π3，∴B=π6.(2)由(1)知，a=b，在△ACM中，由余弦定理得AM2=b2＋a22－2b·a2·cosC=b2＋b

24＋b22=(7)2，解得b=2，故S△ABC=12absinC=12×2×2×32=3.15.已知点A(0，﹣2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为23

3，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案解析】解：(1)设F(c,0)，由条件知，2c＝233，得c＝3.又ca＝32，所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝1.故E的方程为x24＋y2＝

1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx﹣2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y＝kx﹣2代入x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2﹣16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2﹣3)＞0，即k2＞3

4时，x1,2＝8k±24k2－34k2＋1.从而|PQ|＝k2＋1|x1﹣x2|＝4k2＋1·4k2－34k2＋1.又点O到直线PQ的距离d＝2k2＋1，所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d·|PQ|＝4

4k2－34k2＋1.设4k2－3＝t，则t＞0，S△OPQ＝4tt2＋4＝4t＋4t.因为t＋4t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±72时等号成立，且满足Δ＞0，所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝72x﹣2或y＝﹣72x﹣2.