【文档说明】2023年高考数学二轮复习《函数的零点问题》专项复习(教师版).doc，共(8)页，188.971 KB，由MTyang资料小铺上传

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2023年高考数学二轮复习《函数的零点问题》专项复习一、选择题1.下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是()A.y=log12xB.y=2x－1C.y=x2－12D.y=－x3【答案解析】答案为：B；解析：函数y=

log12x在定义域上单调递减，y=x2－12在(－1,1)上不是单调函数，y=－x3在定义域上单调递减，均不符合要求.对于y=2x－1，当x=0∈(－1,1)时，y=0且y=2x－1在R上单调递增，故选B.

2.函数f(x)=ln(x＋1)－1x的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案解析】答案为：B；解析：∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)=ln2－1＜0，f(2)=ln3－12＞

0，∴f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B.3.函数f(x)=x2－ax＋1在区间12，3上有零点，则实数a的取值范围是()A.(2，＋∞)B.[2，＋∞)C.2，52D.2，103【答案解析】答案为：D；解析：由题

意知方程ax=x2＋1在12，3上有解，即a=x＋1x在12，3上有解，设t=x＋1x，x∈12，3，则t的取值范围是2，103.∴实数a的取值范围是2，103.4.函数f(x)

=2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)【答案解析】答案为：C；解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)=(0－a)(3－a)＜

0，解得0＜a＜3，故选C.5.已知函数f(x)＝log2x＋3x＋b的零点在区间(0,1]上，则b的取值范围为()A.[﹣3,0]B.(﹣∞，3]C.[0,3]D.[﹣3，＋∞)【答案解析】答案为：D解析：因为函数f(x)＝log2x＋3x＋b在区间(

0,1]上单调递增，函数f(x)＝log2x＋3x＋b的零点在区间(0,1]上，当x→0时，log2x＋3x→﹣∞，此时f(x)＜0.根据零点存在定理，得f(1)＝log21＋3×1＋b≥0，解得b≥﹣3

.6.已知函数f(x)=2x＋x，g(x)=log3x＋x，h(x)=x－1x的零点依次为a，b，c，则()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c【答案解析】答案为：A；解析：选A.在同一坐标系下分别画出函数y=2x，y=log3x，y=－1x的图

象，如图，观察它们与y=－x的交点可知a＜b＜c.7.已知关于x的方程x2﹣2ax＋1＝0的两根分别在(0,1)与(1,3)内，则实数a的取值范围为()A.﹣1＜a＜53B.a＜1或a＞53C.1＜a＜53D.﹣53＜a＜﹣1【答案解析】答案为：C

.解析：设f(x)＝x2﹣2ax＋1，∵方程x2﹣2ax＋1＝0的两根分别在()0，1与()1，3内，∴f0＝1>0，f1＝2－2a<0，f3＝10－6a>0，解得1＜a＜53.8.函数f(x)=3x＋x2-2的零点个数为()A．0B．1C．2D．3【答案解析】答案

为：C；解析：函数f(x)=3x＋x2-2的零点个数即为函数y=3x与函数y=2-x2的图象的交点个数，由图象易知交点个数为2，则f(x)=3x＋x2-2的零点个数为2，故选C.9.已知y＝f(x)为定义在[﹣5,5]上周

期为2的奇函数，则函数y＝f(x)在[﹣5,5]上零点的个数为()A.5B.6C.11D.12【答案解析】答案为：C解析：因为y＝f(x)为定义在[﹣5,5]上周期为2的奇函数，所以f(0)＝0，f(x＋2)＝f(x)，所以f(2)＝0，f(﹣2)＝0，f(4)＝0，f(﹣4)＝0，所以f(x＋2

)＝f(x)＝﹣f(﹣x)，所以f(1)＝﹣f(1)，即f(1)＝0，所以f(﹣1)＝0，f(3)＝0，f(﹣3)＝0，f(5)＝0，f(﹣5)＝0.所以函数y＝f(x)在[﹣5,5]上零点的个数为11.10.已知函数f(x)=kx＋3，x≥0，12

x，x＜0，若方程f(f(x))－2=0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是()A.[0，＋∞)B.[1,3]C.－1，－13D.－1，－13【答案解析】答案为：C；解析：∵f(f(x))－2=0，∴f(f(x))=

2，∴f(x)=－1或f(x)=－1k(k≠0).(1)当k=0时，作出函数f(x)的图象如图①所示，由图象可知f(x)=－1无解，∴k=0不符合题意；(2)当k＞0时，作出函数f(x)的图象如图②所示，由图象可知f(x)=－1无解且f(x)=－1k无解，即f

(f(x))－2=0无解，不符合题意；(3)当k＜0时，作出函数f(x)的图象如图③所示，由图象可知f(x)=－1有1个实根，∵f(f(x))－2=0有3个实根，∴f(x)=－1k有2个实根，∴1＜－1k≤3，解得－1＜k≤－13.综上，k的取值范围是

－1，－13，故选C.11.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=x2＋2，x∈[0，1，2－x2，x∈[－1，0，且f(x＋1)=f(x－1)，若g(x)=3－log2x，则函数F(x)=f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为()A.3B.2C.1D.0【答

案解析】答案为：B；解析：由f(x＋1)=f(x－1)，知f(x)的周期是2，画出函数f(x)和g(x)的部分图象，如图所示，由图象可知f(x)与g(x)的图象有2个交点，故f(x)有2个零点，故选B.12.已知函数f(x)=3|x－1|，x＞0，－x2－2x＋1，x≤0，

若关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a=0有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是()A.[1,2]B.(1,2)C.(－2，－1)D.[－2，－1]【答案解析】答案为：C；解析：函数f(x)=3|x－1|，x＞0，－x2－2x＋1，

x≤0的图象如图：关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a=0有7个不等的实数根，即[f(x)＋a][f(x)－1]=0有7个不等的实数根，易知f(x)=1有3个不等的实数根，∴f(x)=－a必须有4个不相等

的实数根，由函数f(x)的图象可知－a∈(1,2)，∴a∈(－2，－1).故选C.二、填空题13.函数f(x)=cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为________．【答案解析】答案为：3；解析：∵0

≤x≤π，∴π6≤3x＋π6≤19π6.由题可知，当3x＋π6=π2，3x＋π6=3π2，或3x＋π6=5π2时，f(x)=0.解得x=π9，4π9，或7π9.故函数f(x)=cos3x＋π6在[0，π]上有3个零点．14.已知

函数f(x)=x2－ax－b两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2－ax－1零点是_______.【答案解析】答案为：－12，－13.解：由题意知，方程x2－ax－b=0的两根为2,3，∴2＋3＝a，2×3＝－b，即a=5，b=－6，∴方

程bx2－ax－1=－6x2－5x－1=0的根为－12，－13，即为函数g(x)的零点.15.函数f(x)=|x2＋2x－1|，x≤0，2x－1＋a，x>0有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．【答案解析】答案为：－∞，－12；解

析：由于当x≤0时，f(x)=|x2＋2x-1|的图象与x轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x-1＋a=0有1个正根即可，变形为2x=-2a，结合图形只需-2a>1⇒a<-12即可．16.若a＞1，设函数f(x)=ax＋x－

4的零点为m，函数g(x)=logax＋x－4的零点为n，则1m＋1n的最小值为.【答案解析】答案为：1；解析：设F(x)=ax，G(x)=logax，h(x)=4－x，则h(x)与F(x)，G(x)

的交点A，B横坐标分别为m，n(m＞0，n＞0).因为F(x)与G(x)关于直线y=x对称，所以A，B两点关于直线y=x对称.又因为y=x和h(x)=4－x交点的横坐标为2，所以m＋n=4.又m＞0，n＞0，所以1m＋1n=1m＋1n·m＋n4=14

2＋nm＋mn≥142＋2nm×mn=1.当且仅当nm=mn，即m=n=2时等号成立.所以1m＋1n的最小值为1.三、解答题17.已知函数f(log2x)＝x2＋2x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a·2x﹣4在区间(0，2)内有

两个不相等的实根，求实数a的取值范围.【答案解析】解：(1)设t＝log2x，t∈R，则x＝2t，f(t)＝22t＋2·2t＝4t＋2t＋1.∴f(x)＝4x＋2x＋1.(2)∵方程f(x)＝a·2x﹣4在区间(0，2)内有两个不相等的实根，

∴4x＋(2﹣a)2x＋4＝0在(0，2)有两个不相等实根.令2x＝m，则m∈(1，4)，h(m)＝m2＋(2﹣a)m＋4，∴h(m)＝0在(1，4)上有两个不相等的实根，∴(2－a)2－1

6>0，1<a－22<4，7－a>0，28－4a>0，解得6＜a＜7.18.已知函数f(x)=－x2－2x，g(x)=x＋14x，x＞0，x＋1，x≤0.(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a=0有4个不相等的实数根，求实

数a的取值范围.【答案解析】解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))=g(－3)=－3＋1=－2.(2)令f(x)=t，则原方程化为g(t)=a，易知方程f(x)=t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t＜1)与y=a的图象有2个不同的交点，作出函数y=g

(t)(t＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a＜54时，函数y=g(t)(t＜1)与y=a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是1，54.19.已知二次函数f(x)=x2＋(2a－1)x＋1－2a，(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)=1必有实数根”的真假，并写出判断过程

；(2)若y=f(x)在区间(－1，0)及0，12内各有一个零点，求实数a的取值范围．【答案解析】解：(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)=1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)=1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a=0有实根，因为Δ=(2a－1)2＋8a=(2a

＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a=0必有实根，从而f(x)=1必有实根．(2)依题意，要使y=f(x)在区间(－1，0)及0，12内各有一个零点，只需f（－1）＞0，f（0）＜0，f12＞0，即3－4a＞0，1－2a

＜0，34－a＞0，解得12＜a＜34.故实数a的取值范围为12，34.20.已知函数f(x)=－x2－2x，g(x)=x＋14x，x＞0，x＋1，x≤0.(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a=0有4个不同的

实数根，求实数a的取值范围．【答案解析】解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))=g(－3)=－3＋1=－2.(2)令f(x)=t，则原方程化为g(t)=a，易知方程f(x)=t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t＜1)与

y=a的图象有2个不同的交点，作出函数y=g(t)(t＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a＜54时，函数y=g(t)(t＜1)与y=a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是1，54.21.已知f(x)=3x+

m•3﹣x为奇函数.(1)求函数g(x)=f(x)﹣38的零点；(2)若对任意t∈R的都有f(t2+a2﹣a)+f(1+2at)≥0恒成立，求实数a的取值范围.【答案解析】解：