【文档说明】新教材(辅导班)高一数学寒假讲义09《6.2.4向量的数量积》课时精讲(含解析) .doc，共(12)页，289.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.2.4向量的数量积知识点一向量的夹角知识点二向量数量积的概念知识点三投影向量如图1，设a，b是两个非零向量，AB→=a，CD→=b，我们考虑如下的变换：过AB→的起点A和终点B，分别作CD→所在直线的垂线，垂足分别为A1，

B1，得到A1B1→，我们称上述变换为向量a向向量b□01投影，A1B1→叫做向量a在向量b上的□02投影向量．如图2，我们可以在平面内任取一点O，作OM→=a，ON→=b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1→就是向量a在向量b上的投影向量．知识点四向量的数量积的性质和运算律(1

)向量的数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则①a²e=e²a=□01|a|cosθ.②a⊥b⇔□02a²b=0.③当a与b同向时，a²b=□03|a||b|.当a与b反向时，a²b=□04－|a||b|.④a²a=□05|a

|2或|a|=a²a=a2.⑤cosθ=□06a²b|a||b|.⑥|a²b|□07≤|a||b|.(2)向量数量积的运算律①□08a²b=b²a(交换律)．②(λa)²b=□09λ(a²b)=□10a²(λb)(结合律)．③□11(a＋b)²c=a²c＋b²c(分

配律)．1．对数量积的理解(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解．(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向

量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零．向量的投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似

，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作a²b，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“³”代替，写成a³b.2．要灵活掌握向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a²b=0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．(2)a²a=a2=|a|2与|a

|=|a|2=a2也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)用cosθ=a²b|a||b|求两向量的夹角，且夹角的取值与a²b的符号有关．设两个非零向量a与b的夹角为θ，则当θ=0时，cosθ=1，a²b=|a||

b|；当θ为锐角时，cosθ>0，a²b>0；当θ为钝角时，cosθ<0，a²b<0；当θ为直角时，cosθ=0，a²b=0；当θ=π时，cosθ=－1，a²b=－|a||b|.(4)|a²b|≤|a||b|可以用来通过构造向量来证明

不等式问题或解决最值问题．(5)①向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a²c=b²c，但得不到a=b.②(a²b)c≠a(b²c)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)若a²b=a²c且a≠0，

则b=c.()(2)若a²b=0，则a=0或b=0.()(3)若a⊥b，则a²b=0.()(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acosθ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量．()答案(1)³(2)³(3

)√(4)√2．做一做(1)若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为()A．60°B．30°C．120°D．150°(2)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|=2，|b|=3，则向量a和向量b的数量积a²b=__

______.(3)已知向量a，b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，设b在a上的投影向量是c，则|c|=________.(4)若向量a，b的夹角为120°，|a|=1，|b|=3，则|5a－b|=________.答案(1)B(2)3(3)1(4)7题型一平面向量数量积的

概念例1(1)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是()①|a²b|=|a||b|⇔a∥b；②a，b反向⇔a²b=－|a||b|；③a⊥b⇔|a＋b|=|a－b|；④|a|=|b|⇔|a²c|=|b²c|.A

．1B．2C．3D．4(2)已知|a|=5，|b|=2，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°.分别求a²b.[解析](1)①∵a²b=|a||b|cosθ，∴由|a²b|=|a||b|及a，b均为非零向量可得|cosθ|=1，∴θ=0或θ=π，∴a∥b，且以上各步均可

逆，故命题①是真命题；②若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a²b=|a||b|cosπ=－|a||b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形一定

为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|a＋b|=|a－b|.反过来，若|a＋b|=|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，∴a⊥b，因此命题③也是真命题；④当|a|=|b|但是a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a²c|≠|b²c|.反过来，由|a²c|

=|b²c|也推不出|a|=|b|，故命题④是假命题．故选C.(2)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，∴a²b=|a||b|cos0°=5³2³1=10；若a与b反向，则它们的夹角为180°，∴a²b=|a||b|cos180°=5³2³(－1)=－10.②当a⊥b时，则它

们的夹角为90°，∴a²b=|a||b|cos90°=5³2³0=0.③当a与b的夹角为30°时，a²b=|a||b|cos30°=5³2³32=53.[答案](1)C(2)见解析(1)求平面向量的数量积的一般步骤(2)a与b垂直当且仅当a²b=0.(3)非零向量a与b共线当且仅当a

²b=±|a||b|.(1)已知下列命题：①若a2＋b2=0，则a=b=0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b=0，则|a²c|=|b²c|；③|a||b|<a²b；④a²a²a=|a|3；⑤若向量a，b满足a²

b>0，则a与b的夹角为锐角．其中判断正确的是________．(2)给出下列命题：①在△ABC中，若AB→²BC→<0，则△ABC是锐角三角形；②在△ABC中，若AB→²BC→>0，则△ABC是钝角三角形；③△ABC是直角三角形⇔AB→²BC→=0.其中，正确命题的序号是

________．答案(1)①②(2)②解析(1)对于①，∵a2＋b2=0，∴|a|2＋|b|2=0，∴|a|=|b|=0，∴a=b=0，故①正确；对于②，∵a＋b=0，∴a与b互为相反向量，设a与c的夹角为θ，则b与c的夹角为π－θ，则a²c=|a||c|cosθ，b²c=|b

||c|cos(π－θ)=－|b||c|cosθ，∴|a²c|=|b²c|，故②正确；对于③，由于|a²b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|，故③错误；对于④，由于a²a²a=|a|2a，其结果为向量，故④错误；对于

⑤，当a与b为同向的非零向量时，a²b=|a||b|cos0=|a||b|>0，但夹角不是锐角，故⑤错误．(2)利用向量数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角．①∵AB→²BC→<0，∴BA→²BC→=－AB→²BC→>0，∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个

角也是锐角．所以推不出△ABC是锐角三角形．故命题①是假命题．②∵AB→²BC→>0，∴BA→²BC→=－AB→²BC→<0，∠B是钝角，因而△ABC是钝角三角形．故命题②是真命题．③若△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B，∠C.而AB→²BC

→=0仅能保证∠B是直角．故命题③是假命题.题型二投影向量例2如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2，∠ABC=30°，D为BC的中点．(1)求BA→在CD→上的投影向量；(2)求CD→在BA→上的投影向量．[解]

(1)如图，连接AD.∵D为BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC.设与CD→同方向的单位向量为e.又BD=DC=3，且BA→与CD→的夹角为150°，∴BA→在CD→上的投影向量为|BA→|cos150°e=－3e=－3CD→|CD→|=－CD→=BD→.(2)如图，延长C

B至点M，使BM=CD，过点M作AB延长线的垂线MN，并交AB的延长线于点N.易知BM→=CD→，BN=32.CD→在BA→上的投影向量即为BM→在BA→上的投影向量．又MN⊥BN，BN=32，BM→与BA→的夹角为150°，故BM→在BA→上

的投影向量为BN→=－34BA→，即CD→在BA→上的投影向量为－34BA→.求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角．在△ABC中，已知|AB→|=|AC→|=6，且AB→²AC→=18，则BA→在BC→上的投影向量为________(

用BC→表示)．答案12BC→解析设∠A=θ，∵AB→²AC→=|AB→||AC→|cosθ=18，∴cosθ=12，∴θ=60°.又∵|AB→|=|AC→|，∴△ABC为等边三角形．过点A作AD⊥BC交BC于点D.则BD=DC.故BA→在B

C→上的投影向量为BD→，即为12BC→.题型三平面向量数量积的运算例3(1)已知|a|=4，|b|=5，且向量a与b的夹角为60°，求(2a＋3b)²(3a－2b)；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求AB→²

AC→.[解](1)(2a＋3b)²(3a－2b)=6a2－4a²b＋9a²b－6b2=6³42＋5³4³5³cos60°－6³52=－4.(2)AB→²AC→=|AB→||AC→|cos∠BAC=5³4³45=16.[综合探

究]将本例改为：(1)已知|a|=4，|b|=5，且向量a，b的夹角为30°，求(2a＋3b)²(3a－2b)；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求AB→²BC→.解(1)(2a＋3b)²(3a－2b)=6a2＋

5a²b－6b2=6³42＋5³5³4³cos30°－6³52=503－54.(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos∠ABC=35，AB→与BC→的夹角θ=180°－∠ABC，

故AB→²BC→=－|AB→||BC→|cos∠ABC=－5³3³35=－9.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合

运算类似于多项式的乘法运算．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→²CA→=4，BF→²CF→=－1，则BE→²CE→的值是________．答案78解析解法一：设BD→=a，DF→=b，则BA→²CA→=(a＋3

b)²(－a＋3b)=9|b|2－|a|2=4，BF→²CF→=(a＋b)²(－a＋b)=|b|2－|a|2=－1，解得|a|2=138，|b|2=58，则BE→²CE→=(a＋2b)²(－a＋2b)

=4|b|2－|a|2=78.解法二：设AB→=a，AC→=b，根据题意有BA→²CA→＝a²b＝4，BF→²CF→＝13b－23a²13a－23b＝－1，BE→²CE→＝16b－5

6a²16a－56b，整理得a²b＝4，－2a2＋b2＋5a²b＝－9，BE→²CE→＝－5a2＋b2＋26a²b36，于是BE→²CE→=52³－9＋272³436=78.题型四与向量模有关的计算例4已知向量a

，b的夹角为60°，且|a|=2，|b|=1，若c=2a－b，d=a＋2b，求：(1)c²d；(2)|c＋2d|.[解]因为向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，所以a²b=|a||b|cos60°=1，因为c=2a－b，d=a＋2b.(1)c²d=(2a－b)²(a＋2b

)=2a2＋3a²b－2b2=2|a|2＋3³1－2|b|2=2³22＋3－2³12=9.(2)因为c＋2d=(2a－b)＋2(a＋2b)=4a＋3b，(c＋2d)2=(4a＋3b)2=16a2＋24a

²b＋9b2=16|a|2＋24³1＋9|b|2=16³22＋24³1＋9³1=97，所以|c＋2d|2=97，所以|c＋2d|=97.求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，勿忘记开方．(2

)a²a=a2=|a|2或|a|=a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角为π3，求|a＋b|，|a－b|.解a²b=|a||b|cosπ3=5³5³12=2

52.|a＋b|=a＋b2=|a|2＋2a²b＋|b|2=25＋2³252＋25=53.|a－b|=a－b2=|a|2－2a²b＋|b|2=25－2³252＋25=5.题型五两向量的夹角问题例5已知|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为

60°，求向量m=2a＋b与向量n=a－4b的夹角的余弦值．[解]a²b=2³1³cos60°=1，|m|2=|2a＋b|2=4|a|2＋4a²b＋|b|2=4³22＋4³1＋1=21，|n|2=|a－4b|2=

|a|2－8a²b＋16|b|2=22－8³1＋16³1=12，∴|m|=21，|n|=23，m²n=(2a＋b)²(a－4b)=2|a|2－7a²b－4|b|2=2³22－7³1－4³1=－3.设m，n的夹角为θ，

∵m²n=|m||n|cosθ，∴－3=21³23³cosθ，即cosθ=－714.求向量a与b夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算a²b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ=a²b|a|

|b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．(2)在个别含有|a|，|b|与a²b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．已知向量a，b满足(a＋2b)²(a－b)=－6，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为________．答案π3解析设a与b的夹角为θ，依

题意有(a＋2b)²(a－b)=a2＋a²b－2b2=－7＋2cosθ=－6，所以cosθ=12，因为0≤θ≤π，故θ=π3.题型六两向量的垂直问题例6已知向量a，b不共线，且|2a＋b|=|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．[证明]∵|2a

＋b|=|a＋2b|，∴(2a＋b)2=(a＋2b)2，即4a2＋4a²b＋b2=a2＋4a²b＋4b2，∴a2=b2.∴(a＋b)²(a－b)=a2－b2=0.又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，∴(a＋b)⊥(a－b)．求(证明)两向量垂直的基本步骤(1)计

算a²b的值；(2)若为零，则a⊥b，否则不垂直．已知|a|=1，|b|=2，a－b与a垂直，求当k为何值时，(ka－b)⊥(a＋2b)?解因为a－b与a垂直，所以(a－b)²a=0，所以a2－a²b=0，所以a²b=|a

|2=1，要使得(ka－b)⊥(a＋2b)，只要(ka－b)²(a＋2b)=0，即k|a|2＋(2k－1)a²b－2|b|2=0，所以k＋(2k－1)－2³22=0，所以k=3.1．已知非零向量a，b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则|a||b|=

()A.14B．4C.12D．2答案D解析∵(a＋2b)²(a－2b)=a2－4b2=0，∴|a|=2|b|，∴|a||b|=2.2．在△ABC中，若AB→²BC→＋AB→2=0，则BC→在BA→上的投影向量为()A.BA→B.

12AB→C.AC→D.12CA→答案A解析∵0=AB→²BC→＋AB→2=AB→²(BC→＋AB→)=AB→²AC→，∴AB→⊥AC→，又BC→与BA→的夹角为锐角，∴BC→在BA→上的投影向量为BA→.故选A.

3．已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，(a－b)²b=0，那么向量a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析由题意可得a²b－b2=0，设a与b的夹角为θ，则2cosθ=1，cosθ=12

，又∵θ∈[0，π]，∴θ为60°.4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，则BC→²CA→＋AB→²BC→=________.答案－2解析注意到BC→与CA→，AB→与BC→所成的角都是等边三角形的外角，为1

20°，故BC→²CA→＋AB→²BC→=2³(2³2³cos120°)=－2.5．已知|a|=1，a²b=14，(a＋b)²(a－b)=12.(1)求|b|的值；(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．解(1)(a＋b)²(a－b)=a2－b2=12.∵|a|

=1，∴1－|b|2=12，∴|b|=22.(2)∵|a＋b|2=a2＋2a²b＋b2=1＋2³14＋12=2，|a－b|2=a2－2a²b＋b2=1－2³14＋12=1，∴|a＋b|=2，|a－b|=1.令a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ=

a＋b²a－b|a＋b||a－b|=122³1=24，即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是24.