【文档说明】通用版高考数学(文数)一轮复习第05单元《三角函数及其恒等变换》学案(含详解) .doc，共(84)页，998.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1第五单元三角函数及其恒等变换教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过三角函数的有关概念[过双基]1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧

长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝12lr＝12|α|²r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝

x，tanα＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．

(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．[小题速通]1．(济南模拟)已知sinθ－cosθ>1，则角θ的终边位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由已知得(sinθ－co

sθ)2>1，即1－2sinθcosθ>1，sinθcosθ<0，2所以sinθ>0>cosθ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝24x，则x＝()A.

3B．±3C．－2D．－3解析：选D依题意得cosα＝xx2＋5＝24x＜0，由此解得x＝－3，选D.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为()A.π3B.π2C

.3D．2解析：选C设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝αr，故α＝3.4．已知扇形的半径r＝10cm，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm2.解析：因为120°＝2π3，由扇形的面积公式可得S＝12αr2＝12³2π3³102＝100

3π(cm2)．答案：1003π5．在与2010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：2010°＝676π＝12π－5π6，∴与2010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为

－5π6.答案：－5π6[清易错]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终

边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．1．下列说法正确的是()A．三角形的内角必是第一、二象限角B．第一象限角必是锐角C．不相等的角终边一定不相同3D．若β＝α＋2kπ(k∈Z)，则α和β终边相同答案：D2．已知点P32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)

，则θ的值为()A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3解析：选C因为点P32，－12在角θ的终边上，所以角θ的终边在第四象限，且tanθ＝－33.又θ∈[0,2π)，所以θ＝11π6.3．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则sinα＋cosα＝________.解析：设α终边

上任一点为P(－4a,3a)，当a＞0时，r＝5a，sinα＝35，cosα＝－45；当a＜0时，r＝－5a，sinα＝－35，cosα＝45.故sinα＋cosα＝15或－15.答案：±15三角变换公式

[过双基]1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系tanα＝sinαcosα.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α4正弦sinα－sinα－sinαs

inαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限3．两角和与差的正弦、余弦和

正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.4．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αc

os_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.[小题速通]1．已知α∈π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sinα＋cosα的值是()A．±15B.15C．－15D．－75解析：选C由α∈

π2，3π2，tan(α－π)＝tanα＝－34<0，得α∈π2，π，sinα＝－34cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝35，cosα＝－45，则sinα＋

cosα＝－15.2．已知sinπ2－α＝35，则cos(π－2α)的值为()A.2425B.725C．－725D．－2425解析：选B由sinπ2－α＝35，可得cosα＝35，则cos(π－2α)＝－cos2α＝1－52cos2α＝7

25.3．已知cosπ6－α＝33，则sinπ3＋α＝________.解析：因为cosπ6－α＝33，所以sinπ3＋α＝sinπ2－π6－α＝cosπ6－α＝33.答案：334．已

知tanα＝2，则sinα＋cosα2sinα＋cosα＝________.解析：因为tanα＝2，所以原式＝sinα＋cosα2sinα＋cosα＝tanα＋12tanα＋1＝35.答案：355．计算：sin250°1＋sin10°＝________.解析：sin250°1＋sin10°＝1－c

os100°＋＝1－＋＋＝1＋sin10°＋＝12.答案：12[清易错]1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定．2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．1．已知α∈π2，π，sinα＋cosα＝3

3，则cos(2018π－2α)＝()A．±63B．－53C．－63D．±53解析：选B将sinα＋cosα＝33两边平方，化简可得sin2α＝－23，因为α∈π2，π，sinα＋cosα＝33>0，所以α∈π2，3π4，2α∈

π，3π2，所以cos2α<0，6则cos(2018π－2α)＝cos2α＝－1－sin22α＝－53.2．若cosα＋π4＝13，α∈0，π2，则sinα的值为()A.4－26B

.4＋26C.718D.23解析：选A由cosα＋π4＝13，α∈0，π2，可得sinα＋π4＝223，则sinα＝sinα＋π4－π4＝223³22－1

3³22＝4－26.正弦、余弦、正切函数的图象与性质[过双基]正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRx≠kπ＋π2，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)递减区间：

2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)递增区间：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)递减区间：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)递增区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ，0

)(k∈Z)对称中心kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心kπ2，0(k∈Z)7对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ[小题速通]1．函数y＝1－2sin22x的最

小正周期是()A.π4B.π2C.2π3D．π解析：选B因为函数y＝1－2sin22x＝cos4x，所以函数的最小正周期T＝π2.2．若函数f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间0，π3上的最大值为1，则ω＝()A.14B.13C.12D.32解析：选C

因为x∈0，π3，所以ωx∈0，ωπ3，又因为函数f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间0，π3上的最大值为1，所以ωπ3＝π6，则ω＝12.3．已知函数f(x)＝sinωx＋π4(

ω>0)的最小正周期为π，则fπ8＝()A．1B.12C．－1D．－12解析：选A由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin2x＋π4，所以fπ8＝sin2³π8＋π4＝sinπ2＝1.4．(杭州模拟)若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0

,2π])是偶函数，则φ＝()A.π2B.2π3C.3π2D.5π38解析：选C由已知f(x)＝sinx＋φ3是偶函数，可得φ3＝kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝3kπ＋3π2(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2.5．若函数f(x)＝

sinωx(ω>0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω等于()A.23B.32C．2D．3解析：选B∵f(x)＝sinωx(ω>0)过原点，∴当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sinωx是增函数；当π2

≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sinωx是减函数．由f(x)＝sinωx(ω>0)在0，π3上单调递增，在π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.[清易错]1．正切函数的图象是由直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是

－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z，不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tanπ4>tan3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这

一条件．1．(石家庄一模)函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间是()A.kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)B.kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)C.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)D.

kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)9解析：选B由kπ－π2＜2x－π3＜kπ＋π2(k∈Z)得，kπ2－π12＜x＜kπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间为kπ2－π12，k

π2＋5π12(k∈Z)．2．函数f(x)＝sin(－2x)，x∈[0,2π]的单调递增区间是________________．解析：f(x)＝sin(－2x)＝－sin2x，令2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π4≤x≤kπ＋3π4，k∈Z，所以函数f(x)在[0,2π

]上的单调递增区间是π4，3π4，5π4，7π4.答案：π4，3π4，5π4，7π4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用[过双基]1．用五点法画y＝Asin(ωx

＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02．函数y＝sinx的

图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤法一法二[小题速通]101．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是()解析：选A令x＝0，得y＝sin－π3＝－32，排除B、D.由f－π3＝0

，fπ6＝0，排除C，故选A.2．将函数y＝sin2x的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是()A．y＝sin2x－π6＋1B．y＝sin2x＋π3＋1C．y

＝sin2x＋π6＋1D．y＝sin2x－π3＋1解析：选B由题意可得函数的解析式为y＝sin2x＋π6＋1＝sin2x＋π3＋1.3.函数f(

x)＝33sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，点A，B是图象的最高点，点C是图象的最低点，且△ABC是正三角形，则f(1)＋f(2)＋f(3)的值为()A.92B.932C．93＋1D.3＋2解析：选D因为△ABC是正三角形，所以△ABC的高是63，则△ABC的边长是12，即函数f

(x)＝33sinωx(ω>0)的周期为12，所以ω＝π6，f(x)＝33sinπ6x，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝33sinπ6＋33sinπ3＋33sinπ2＝3＋2.114.如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)x∈R，A>0，ω>0，0<φ<π

2在区间－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点()A．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C．向左平移π3

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变解析：选D由图象可知，A＝1，周期T＝π，所以ω＝2，又sin2³π3＋φ＝0

且0<φ<π2，所以φ＝π3，则y＝sin2x＋π3，由图象变换可知选D.[清易错]1．由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为φω，而不是|φ|.2．要注意平移前后

两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平

移12个单位解析：选C∵y＝cos(2x＋1)＝cos2x＋12，∴只要将函数y＝cos2x的图象向左平移12个单位即可．2．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y＝sin2x＋π3的图象重合，则φ＝________.解

析：将y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y＝cos2x－π2＋φ的图12象，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin2x＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝5π6＋

2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝5π6.答案：5π6一、选择题1.(杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是()A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)解

析：选A由三角函数的定义知xP＝cosθ，yP＝sinθ，故选A.2．若α＝k²360°＋θ，β＝m²360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是()A．重合B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称解析：选C角α与θ终

边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x轴对称．∴角α与β的终边关于x轴对称．3．已知sinπ2＋α＝12，α∈－π2，0，则cosα－π3的值是()A.12B.23C．－12D．1解析：选C由已知得cosα＝12

，sinα＝－32，∴cosα－π3＝12cosα＋32sinα＝－12.4．(淄博调研)已知tanα＝2，则sin2α－sinαcosα的值是()A.25B．－25C．－2D．2解析：选Asin2α－sinαcos

α＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1，把tanα13＝2代入，原式＝25.5．设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数解析：选B∵f(x)＝sin2x－π2＝－cos2x，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．6．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A．关于直线x＝π3对称B．关于

点π3，0对称C．关于直线x＝－π6对称D．关于点π6，0对称解析：选B∵f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝sin2x＋π3.经验证可知fπ

3＝sin2π3＋π3＝sinπ＝0，即π3，0是函数f(x)的一个对称点．7．将函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间π12，

7π12上单调递减B．在区间π12，7π12上单调递增C．在区间－π6，π3上单调递减D．在区间－π6，π3上单调递增解析：选B平移后的函数为y＝3sin2x－π2＋π3＝3sin

2x－2π3，增区间：－π2＋142kπ≤2x－2π3≤π2＋2kπ，k∈Z，即π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ，k∈Z，令k＝0时，π12≤x≤7π12，故所得图象对应的函数在π12，7π12上单调递增

，在－π6，π3上不单调，故选B.8.(河北衡水中学调研)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为2π3B．函数f(x)的图象可由g(x)＝

Acosωx的图象向右平移π12个单位长度得到C．函数f(x)的图象关于直线x＝π12对称D．函数f(x)在区间π4，π2上单调递增解析：选D函数的最小正周期T＝211π12－7π12＝2π

3，选项A正确；由T＝2π3得ω＝3.又f7π12＝Acos7π4＋φ＝0，所以φ＝kπ－5π4(k∈Z)．又fπ2＝Acos3π2＋φ＝Asinφ＝－2

3，所以sinφ<0，φ＝－π4＋2kπ(k∈Z)，即f(x)＝Acos3x－π4，函数g(x)＝Acos3x的图象向右平移π12个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y＝gx－π12＝Acos3x－π12＝Ac

os3x－π4＝f(x)，选项B正确；当x＝π12时，f(x)＝A，因此函数f(x)的图象关于直线x＝π12对称，选项C正确；当x∈π4，π2时，3x－π4∈π2，5π4，故函数f(x)在π4，π2上不是单调递增的，选项D错误．二、填空题9．函数

f(x)＝sinx－4sin3x2cosx2的最小正周期为________．解析：f(x)＝sinx－2sin2x2sinx＝sinxcosx＝12sin2x，所以函数的最小正周期T＝π.答案：π10．在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A，且点A

的横坐标为513，则tanπ－α2的值为________．15解析：由题意知cosα＝513，因为α为锐角，所以cosα2＝1＋cosα2＝313，sinα2＝1－cos2α2＝213，所以tanπ－α2＝－tanα2＝－sin

α2cosα2＝－23.答案：－2311．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A＝1，T＝47π12－π3＝π

，故ω＝2，再由2³π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.答案：－π612．函数f(x)＝log21＋sin2xsinx＋cosx的最大值为________．解析：因为1＋sin2xsinx＋cosx＝x＋cosx2sinx＋cosx＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4∈(0，2]，又因为

函数y＝log2x是增函数，所以，当1＋sin2xsinx＋cosx＝2时，函数f(x)＝log21＋sin2xsinx＋cosx取得最大值为12.答案：12三、解答题13．设函数f(x)＝3sinωx＋π6()ω>0，x∈R的最小正周期为π2.(1)求f(x)的解析式；16(2)利

用“五点作图法”，画出f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(3)已知fα4＋π12＝95，求cosα的值．解：(1)∵T＝2πω＝π2⇒ω＝4，∴f(x)＝3sin4x＋π6.(2)列表：4x＋π60π2π3π22πx－π24π125π24π311π

24f(x)030－30图象如图所示：(3)∵fα4＋π12＝3sin4α4＋π12＋π6＝3sinα＋π2＝3cosα＝95，∴cosα＝35.14．已知向量m＝3sin

x4，1，n＝cosx4，cos2x4，记f(x)＝m²n.(1)若f(x)＝1，求cosx＋π3的值；(2)在锐角△ABC中，(2a－c)cosB＝bcosC，求f(2A)的取值范围．解：(1)f(x)＝m

²n＝3sinx4cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋12cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12，由f(x)＝1，得sinx2＋π6＝12，所以cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12.(2)因为(

2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，所以2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，所以2sinAcosB＝sin(B＋C)，因为A＋B＋C＝

π，所以sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，所以cosB＝12，17又0<B<π2，所以B＝π3.则A＋C＝2π3，A＝2π3－C，又0<C<π2，0<A<π2，则π6<A<π2，得π3<A＋π6<2π3，所以32<sinA＋π6≤1，又因为f(2A)＝sin

A＋π6＋12，故函数f(2A)的取值范围是3＋12，32.15．(青岛模拟)已知函数f(x)＝4cosωx²sinωx＋π6＋a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a和ω的值；(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．解：(

1)f(x)＝4cosωx²sinωx＋π6＋a＝4cosωx²32sinωx＋12cosωx＋a＝23sinωxcosωx＋2cos2ωx－1＋1＋a＝3sin2ωx＋cos2ωx＋1＋

a＝2sin2ωx＋π6＋1＋a.当sin2ωx＋π6＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a，又f(x)图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，∴a＝－1.又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f(x)的最小正周期T＝π，∴2ω＝2πT＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f

(x)＝2sin2x＋π6，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z.18令k＝0，得π6≤x≤2π3，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为π6，2π3.高考研究课(一)三角函数的3个基本考点——定义、公式

和关系[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度三角函数的定义5年2考用三角函数的定义求值同角三角函数基本关系式5年2考求值诱导公式5年1考变角求值三角函数的定义[典例](1)点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针

方向运动8π3弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．(2)已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．[解析](1)设点A(－1,0)，点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针

方向运动8π3弧长到达点Q，则∠AOQ＝8π3－2π＝2π3(O为坐标原点)，所以∠xOQ＝π3，cosπ3＝12，sinπ3＝32，所以点Q的坐标为12，32.答案：12，32(2)由题设知x＝－3，y＝m，∴r2＝|OP|2＝()－32＋m2(O为原

点)，r＝3＋m2.∴sinα＝mr＝2m4＝m22，∴r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5.当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，19∴cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m＝－5时，r＝22，

x＝－3，y＝－5，∴cosα＝－322＝－64，tanα＝153.[方法技巧](1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角

函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[即时演练]1．已知角α终边与单位圆x2＋y2＝1的交点为P12，y，则sinπ2＋2α＝()A．－12B.12C．－32D．1解析：选A因为角α终边与单

位圆x2＋y2＝1的交点为P12，y，所以cosα＝12，所以sinπ2＋2α＝cos2α＝2cos2α－1＝－12.2．在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2

m，4)在角α＋π4的终边上，则m＝()A．－6或1B．－1或6C．6D．1解析：选A由题意得，tanα＝m3，tanα＋π4＝42m＝2m，∴2m＝1＋m31－m3，∴m＝－6或1.诱导公式[典例](1)(淄博模拟)已知sin7π12＋α＝

23，则cosα－11π12＝________；(2)化简：1－2sin40°cos40°cos40°－1－sin250°＝________.[解析](1)cosα－11π12＝cos11π12－α20＝cosπ－π12＋α＝－co

sπ12＋α，而sin7π12＋α＝sinπ2＋π12＋α＝cosπ12＋α＝23，所以cosα－11π12＝－23.(2)原式＝sin240°＋

cos240°－2sin40°cos40°cos40°－cos250°＝|sin40°－cos40°|cos40°－cos50°＝cos40°－sin40°cos40°－sin40°＝1.[答案](1)－23(2)1[方法

技巧]利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：(1)分析结构特点，选择恰当公式；(2)利用公式化成单角三角函数；(3)整理得最简形式．化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[即时演练]1．已知

函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2017)的值为()A．－1B．1C．3D．－3解析：选D∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2017)＝asi

n(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－(asinα＋bcosβ)＝－3.即f(2017)＝－3.2．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则21sin－α－3π2cos

3π2－αcosπ2－αsinπ2＋α²tan2(π－α)＝________.解析：∵方程5x2－7x－6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴cosα＝－1－sin2α＝－45，∴tanα＝sinαcosα＝

34，∴原式＝cosα－sinαsinαcosα²tan2α＝－tan2α＝－916.答案：－916同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点，难度不大，属低档题.,常见的命题角度有：知

弦求弦、切问题；知切求弦问题；α±cosα，sinαcosα的关系应用问题；已知tanα，求fα，cosα值问题.角度一：知弦求弦、切问题1．已知cosα＝k，α∈π2，π，则sin(π＋α)＝()A．－1－k2B.1－k2C．±1－k2D．

－k解析：选A由cosα＝k，α∈π2，π，得sinα＝1－k2，∴sin(π＋α)＝－sinα＝－1－k2，故选A.2．已知sinα＋π3＝－12，α∈(0，π)，则cosα＝()A.12B．－12C.32D．－3222解析：

选D因为α∈(0，π)，所以α＋π3∈π3，4π3，又因为sinα＋π3＝－12，所以α＋π3＝7π6，即α＝5π6，则cosα＝－32.角度二：知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝34，且α∈π2，3π2，则sinα＋π2＝()

A.45B．－45C.35D．－35解析：选B由tan(α－π)＝34，得tanα＝34，又因为α∈π2，3π2，所以α为第三象限角，所以sinα＝－35，cosα＝－45.所以sinα＋π2＝cosα＝－45

.角度三：sinα±cosα，sinαcosα的关系应用问题4．(揭阳模拟)已知sinαcosα＝18，且5π4＜α＜3π2，则cosα－sinα的值为()A．－32B.32C．－34D.34解析：选B∵5π4＜α＜3π2，∴cosα＜0

，sinα＜0且|cosα|＜|sinα|，∴cosα－sinα＞0，又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2³18＝34，∴cosα－sinα＝32.5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23π2＜α＜π，则sinα－cosα＝________.解析：由

sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，23得sinα＋cosα＝23，将式子两边平方得1＋2sinαcosα＝29，故2sinαcosα＝－79.∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－－79＝169.又∵π2＜α＜π

，∴sinα＞0，cosα＜0.∴sinα－cosα＝43.答案：43角度四：已知tanα，求f(sinα，cosα)值问题6．已知α是三角形的内角，且tanα＝－13，则sinα＋cosα＝________.解析：由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，将其代入sin

2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1，∴cos2α＝910，易知cosα＜0，∴cosα＝－31010，sinα＝1010，故sinα＋cosα＝－105.答案：－1057．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin2αcos2β的值为________

．解析：sin2αcos2β＝sin[α＋β＋α－β]cos[α＋β－α－β]＝sinα＋βcosα－β＋cosα＋βsinα－βcosα＋βcosα－β＋sinα＋βsinα－β＝tanα＋β＋tanα－β1＋tanα＋βtanα－

β＝2＋31＋2³3＝57.24答案：57[方法技巧]同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝sinθcosθ化成正弦、余弦，或者利用公式sinθcosθ＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tan

θ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tanπ4＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化表达式中含有s

inθ±cosθ或sinθcosθ1．(全国卷Ⅲ)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C．1D.1625解析：选A因为tanα＝34，所以cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαco

sαsin2α＋cos2α＝1＋4tanαtan2α＋1＝1＋4³34342＋1＝6425.2．(2014²大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝()A.45B.35C．－35D．－45解析：选D记P(－4,3)，则

x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝－2＋32＝5，故cosα＝xr＝－45＝－45.253．(2014²全国卷Ⅰ)若tanα>0，则()A．sin2α>0B．cosα>0C．sinα>0D．cos2α>0解析：选A由tanα>0，可得α的终边在第一象限

或第三象限，此时sinα与cosα同号，sin2α＝2sinαcosα>0，故选A.4．(全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.解析：由题意知sin

θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cosθ＋π4＞0，所以cosθ＋π4＝1－sin2θ＋π4＝45.tanθ－π4＝tanθ＋π4－π2＝－sinπ2－

θ＋π4cosπ2－θ＋π4＝－cosθ＋π4sinθ＋π4＝－45³53＝－43.答案：－43一、选择题1.如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且B45，

－35，点C在第一象限，∠AOC＝α，BC＝1，则cos5π6－α＝()A．－45B．－35C.35D.45解析：选B由已知可得OB＝1，即圆O的半径为1，26又因为BC＝1，所以△OBC是等边三角形，所以cos5π6－α＝cos

π2＋π3－α＝－sinπ3－α＝－sin∠BOA＝－35.2．(江西六校联考)点A(sin2018°，cos2018°)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C因为sin2018°＝sin(11³180°＋38°)＝－sin38°

＜0，cos2018°＝cos(11³180°＋38°)＝－cos38°＜0，所以点A(sin2018°，cos2018°)位于第三象限．3．若sinθcosθ＝12，则tanθ＋cosθsinθ的值是()A．－2B．2C．±2D.12解析：选Bt

anθ＋cosθsinθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1cosθsinθ＝2.4．(江西五校联考)cos350°－2sin160°－＝()A．－3B．－32C.32D.3解析：选D原式＝－－－－＋＝cos10°－－－－＝cos10°－212cos10°－32si

n10°sin10°＝3sin10°sin10°＝3.5．已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是()A．[－2,2]B．[－2，2]C．[－1,1]D.－

12，1227解析：选C设沿x轴正方向逆时针旋转到射线OA的角为α，根据三角函数的定义得xA＝cosα，yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝cosα－sin(α＋30°)＝－32sinα＋12cosα＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．6．(日照模拟

)已知－π2＜α＜0，sinα＋cosα＝15，则1cos2α－sin2α的值为()A.75B.725C.257D.2425解析：选C∵sinα＋cosα＝15，∴1＋sin2α＝125，即sin2α＝－2425，又∵－π2<α<0，∴cosα－sinα>0.∴cosα－sinα＝1－

sin2α＝75，∴1cos2α－sin2α＝1α＋sinαα－sinα＝257.二、填空题7．若tanα＝3，则α－＋－αsinπ2－α＋cosπ2＋α＝________.解析：因为tanα＝3，所以α－

＋－αsinπ2－α＋cosπ2＋α＝－sinα－cosαcosα－sinα＝tanα＋1tanα－1＝2.答案：28．(枣庄模拟)已知cosπ6－θ＝a(|a|≤1)

，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a.sin2π3－θ＝sin

π2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，∴cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝0.答案：0289．(成都一诊)在直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P(

x0，y0)，且OP＝r(r＞0)，定义：sicosθ＝y0－x0r，称“sicosθ”为“θ的正余弦函数”，若sicosθ＝0，则sin2θ－π3＝________.解析：因为sicosθ＝0，所以y0＝x0，所以θ的终边在直线y＝x上，所以当θ＝2kπ＋π4，k∈

Z时，sin2θ－π3＝sin4kπ＋π2－π3＝cosπ3＝12；当θ＝2kπ＋5π4，k∈Z时，sin2θ－π3＝sin4kπ＋5π2－π3＝cosπ3＝12.综上得sin2θ－π3＝12.答案：12三、解答题10．已知角α的终边在

直线y＝－3x上，求10sinα＋3cosα的值．解：设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝k2＋－3k2＝10|k|.当k＞0时，r＝10k，∴sinα＝－3k10k＝－310，1cosα＝10kk＝10，∴10sinα＋3

cosα＝－310＋310＝0；当k＜0时，r＝－10k，∴sinα＝－3k－10k＝310，1cosα＝－10kk＝－10，∴10sinα＋3cosα＝310－310＝0.综上，10sinα＋3cosα＝0.11．已知cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)²tanα

－7π2的值．解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－35，∴cosα＝35.∴sin(3π＋α)²tanα－7π229＝sin(π＋α)²－tan

7π2－α＝sinα²tanπ2－α＝sinα²sinπ2－αcosπ2－α＝sinα²cosαsinα＝cosα＝35.12．已知α为第三象限角，f(α)＝sinα－π2²cos

3π2＋α－α－α－－α－.(1)化简f(α)；(2)若cosα－3π2＝15，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝sinα－π2²cos3π2＋α－α－α－－α－＝－cosαα－tanα－ta

nαα＝－cosα.(2)∵cosα－3π2＝15，∴－sinα＝15，从而sinα＝－15.又α为第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－265，∴f(α)＝－cosα＝265.1．

若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ的值为()A.1－m2B．－1－m2C.m2－1D．－m2－1解析：选B因为m＝sin(α－β)cosα－cos(α－β

)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)，所以sinβ＝－m.因为β为第三象限角，所以cosβ＝－1－sin2β＝－1－m2.2．化简cos2nπ＋x2nπ－xcos2n＋－x](n∈Z)的结果为________．30解析：当n为偶数，即n＝2k(k∈

Z)时，原式＝cos2kπ＋x2kπ－xcos2k＋－x]＝cos2x²sin2－xcos2－x＝cos2x－sinx2－cosx2＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝cos2k＋＋x]²

sin2k＋－x]cos2k＋＋1]π－x}＝cos2[2kπ＋＋x2[2kπ＋－xcos2k＋＋－x＝cos2π＋x2－xcos2－x＝－cosx2sin2x－cosx2＝sin2x，故化简的结果为sin2x.答案：sin2x高考研究课(二)三角函数的1个常考点——图象与性质[全国卷

5年命题分析]考点考查频度考查角度三角函数的图象与性质5年4考由单调性求参数、求单调区间与周期、对称性问题，三角函数性质的综合问题三角函数的定义域、值域[典例](1)函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域是______

__．(2)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．(3)函数f(x)＝cos2x＋sinxx∈－π4，π4的值域为________．[解析](1)要使函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2

cosx有意义，则2sinx－1＞0，1－2cosx≥0，即sinx＞12，cosx≤12.解得2kπ＋π3≤x<2kπ＋5π6，k∈Z.31即函数的定义域为2kπ＋π3，2kπ＋5π6，k∈Z.(2)∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6

，∴－32≤sinπ6x－π3≤1，故－3≤2sinπ6x－π3≤2.即函数y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－3.所以最大值与最小值的和为

2－3.(3)f(x)＝cos2x＋sinx＝－sin2x＋sinx＋1＝－sinx－122＋54，又∵x∈－π4，π4，∴sinx∈－22，22，∴f(x)∈1－22，54.[答案](1)

2kπ＋π3，2kπ＋5π6，k∈Z(2)2－3(3)1－22，54[方法技巧]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．2．三角函数最值或值域的求法(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．(2)化一法：把

所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx、cosx、sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数求值域．[即时演练]321．函数y＝|sinx|＋sin

x的值域为()A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－2,0]D．[0,2]解析：选D∵y＝|sinx|＋sinx＝2sinx，sinx≥0，0，sinx＜0.又∵－1≤sinx≤1，∴y∈[0,

2]，即函数的值域为[0,2]．2．在△ABC中，sinAcosB＝－(2sinC＋sinB)cosA，则函数f(x)＝2sin2x＋sin(2x－A)在区间0，π4上的最大值为________．解析：由sinAcosB＝－(2sinC＋sinB)cosA，可得sin(A

＋B)＝－2sinCcosA，即sinC＝－2sinCcosA.因为sinC≠0，所以cosA＝－12，则A＝2π3，所以f(x)＝2sin2x＋sin2x－2π3＝32sin2x－32cos2x＝3sin

2x－π6.因为x∈0，π4，所以2x－π6∈－π6，π3，所以f(x)max＝fπ4＝32.答案：323．求函数y＝sinx＋cosx＋3cosxsinx的最值．解：令t＝sinx＋cosx，则t∈[－2，2]．∵(sinx＋cosx)2－2sin

xcosx＝1，∴sinxcosx＝t2－12，∴y＝32t2＋t－32，t∈[－2，2]，∵对称轴t＝－13∈[－2，2]，∴ymin＝f－13＝32³19－13－32＝－53，ymax＝f(2)＝32＋2.33三角函数的单调性[

典例](浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．[思路点拨](1)欲求f2π3的值，把x＝2π3直接代入f(x)的解析式求解；(2)欲求函数f

(x)的性质问题，应把f(x)的解析式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其最小正周期及单调增区间．[解](1)由sin2π3＝32，cos2π3＝－12，得f2π3＝322－－122－23³32³－12＝2.(2)由

cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx，得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质，令π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，所以

f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．[方法技巧]1．求三角函数单调区间的2种方法代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单

调区间2．已知三角函数的单调区间求参数取值范围的3种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不

等式(组)求解周期性由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等34式(组)求解[即时演练]1．已知ω>0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________．解析：由π2＜x＜π，

得π2ω＋π4＜ωx＋π4＜πω＋π4，由题意知π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)且2πω≥2³π－π2，则π2ω＋π4≥π2＋2kπ，k∈Z，πω＋π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，且0＜ω≤2，故12≤ω

≤54.答案：12，542．函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的递减区间是________．解析：f(x)＝sinxcosx＋cos2x＝12sin2x＋12(cos2x＋1)＝22sin2x＋π4＋12，由2kπ＋π2≤2x＋π4≤2

kπ＋3π2，k∈Z，可得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8，k∈Z，所以函数f(x)的递减区间是kπ＋π8，kπ＋5π8，k∈Z.答案：kπ＋π8，kπ＋5π8，k∈Z三角函数的周期性、奇偶性及对称性正、余弦函数的图象即是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图象只

是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.常见的考查角度有：三角函数的周期性；三角函数的奇偶性；三角函数的对称性；三角函数性质的综合应用.角度一：三角函数的周期性351．(山东高考)函数f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)

的最小正周期是()A.π2B．πC.3π2D．2π解析：选B法一：∵f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)＝432sinx＋12cosx32cosx－12sinx＝4sinx＋π6cos

x＋π6＝2sin2x＋π3，∴T＝2π2＝π.法二：∵f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)＝3sinxcosx＋3cos2x－3sin2x－sinxcosx＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3，∴T

＝2π2＝π.故选B.2．已知函数f(x)＝3sinωxcosωx－4cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π，且f(θ)＝12，则fθ＋π2＝()A．－52B．－92C．－112D．－132解析：选B

f(x)＝32sin2ωx－2cos2ωx－2，因为函数f(x)的最小正周期为π，所以ω＝1，又f(θ)＝32sin2θ－2cos2θ－2＝12，即32sin2θ－2cos2θ＝52，则fθ＋π2＝32sin(2θ＋π)－2cos(2θ＋π)－2＝－32sin2θ＋2cos

2θ－2＝－92.角度二：三角函数的奇偶性3．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)θ∈－π2，π2是偶函数，则θ的36值为()A．0B.π6C.π4D.π3解析：选B据已知可得f(x)＝2sinx＋θ＋π3

，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，又由于θ∈－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．[方法技巧]若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)，同时，当

x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，同时，当x＝0时，f(x)＝0.角度三：三角函数的对称性4．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于

π2，0对称，则函数f(x)在－π4，π6上的最小值是()A．－1B．－3C．－12D．－32解析：选Bf(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin2x＋θ＋π6，则由题意，知fπ2＝2sinπ＋θ＋π6＝0，又0<θ<π

，所以θ＝5π6，所以f(x)＝－2sin2x，f(x)在－π4，π6上是减函数，所以函数f(x)在－π4，π6上的最小值为fπ6＝－2sinπ3＝－3，故选B.5．设函数f(x)＝sinωx＋π6－1(ω>0)的

导数f′(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是()A．x＝π9B．x＝π637C．x＝π3D．x＝π2解析：选Af′(x)＝ωcosωx＋π6，因为导数f′(x)的最大值为3，所以ω＝3，则f(x)＝sin3x＋π6－1

，令3x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ3＋π9，k∈Z，令k＝0，可得x＝π9，故选A.[方法技巧]对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时

，可通过检验f(x0)的值进行判断．角度四：三角函数性质的综合应用6．已知函数f(x)＝3cos2x－π3(x∈R)，下列结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)图象关于点5π12，0对称C．函数f(x)在区间0，π2上是减函数D．函

数f(x)的图象关于直线x＝π6对称解析：选C函数f(x)＝3cos2x－π3的最小正周期为π，且f5π12＝0，fπ6＝3，则函数f(x)图象关于点5π12，0对称，函数f(x)的图象关于直线x＝π6对称，因此A、B、D正确，令2kπ≤2x－π

3≤π＋2kπ，k∈Z，得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，所以f(x)在区间0，π2上不单调，故C错误．7．(福建连城模拟)已知函数f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若当x∈π4，π2时，关于x的方程f(x)－m＝2有解，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x＝1－cosπ2＋2x－3cos2x＝2sin2x－π3＋1，

38则函数f(x)的最小正周期为π.令2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．(2)当x∈

π4，π2时，2x－π3∈π6，2π3，sin2x－π3∈12，1，所以f(x)∈[2,3]，而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．1．(全国卷Ⅲ)设函数f(x)

＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在π2，π单调递减解析：选D根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2

π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝8π3时，x＋π3＝3π，所以cosx＋π3＝－1，所以B正确；f(x＋π)＝cosx＋π＋π3＝cosx＋4π3，当x＝π6时，x＋4π3＝3π2，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)＝cos

x＋π3在π2，2π3上单调递减，在2π3，π上单调递增，故D不正确．2．(全国卷Ⅲ)函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为()A.65B．1C.35D.15解析：选A因

为cosx－π6＝cosx＋π3－π2＝sinx＋π3，所以f(x)＝6539sinx＋π3，于是f(x)的最大值为65.3．(全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周

期为()A．4πB．2πC．πD.π2解析：选C函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期T＝2π2＝π.4．(全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤π2，x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)

图象的对称轴，且f(x)在π18，5π36上单调，则ω的最大值为()A．11B．9C．7D．5解析：选B由题意得－π4ω＋φ＝k1π，k1∈Z，π4ω＋φ＝k2π＋π2，k2∈Z，则ω＝2k＋1，

k∈Z，φ＝π4或φ＝－π4.若ω＝11，则φ＝－π4，此时f(x)＝sin11x－π4，f(x)在区间π18，3π44上单调递增，在区间3π44，5π36上单调递减

，不满足f(x)在区间π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f(x)＝sin9x＋π4，满足f(x)在区间π18，5π36上单调递减，故选B.5．(20

14²全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为()40A．②④B．①③④C．①②③D．①③解析：选C对①，∵y＝cos|2x|＝cos2x，T＝2π2＝π，∴y＝cos|2x|的最小

正周期为π；对于②，∵y＝cosx的最小正周期为2π，∴y＝|cosx|的最小正周期为π；对于③，y＝cos2x＋π6的最小正周期为T＝2π2＝π；对于④，y＝tan2x－π4的最小正周期为T＝π2.综上，①②③

的最小正周期为π，故选C.一、选择题1．函数f(x)＝(1－cos2x)cos2x，x∈R，设f(x)的最大值是A，最小正周期为T，则f(AT)的值为()A.14B.12C．1D．0解析：选Bf(x)＝(1－cos2x)cos2x＝(1－cos2x)²

1＋cos2x2＝1－cos22x2＝1－cos4x4，则A＝12，T＝π2，则f(AT)＝1－cosπ4＝12.2．(广东七校联考)已知函数y＝sin(2x＋φ)在x＝π6处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图象()

A．关于点π6，0对称B．关于点π3，0对称C．关于直线x＝π6对称D．关于直线x＝π3对称解析：选A因为函数y＝sin(2x＋φ)在x＝π6处取得最大值，所以sinπ3＋φ＝1，则

φ＝2kπ＋π6，k∈Z，则y＝cos2x＋2kπ＋π6＝cos2x＋π6，当x＝π6时，y＝0，故A正确．3．下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝π6对称；(3)在π6，π3上是减函数”的是()41

A．y＝sinx2＋5π12B．y＝sin2x－π3C．y＝cos2x＋2π3D．y＝sin2x＋π6解析：选D易知函数y＝sinx2＋5π12的最小正周期为4π，故排除A；当x＝π6时，y＝sin2

x－π3＝0，故排除B；当x∈π6，π3时，2x＋2π3∈π，4π3，函数y＝cos2x＋2π3在x∈π，4π3上单调递增，故排除C；对于函数y＝sin2x＋π6，可知其最小正周期T＝2π2＝π，将x＝π

6代入得，y＝sin2³π6＋π6＝1，是最大值，可知该函数的图象关于直线x＝π6对称，令π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，化简整理可得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ(k∈Z)，可知函数y＝sin2x＋π6在π6，π3上是减函数，故选D.4．若函

数f(x)＝cosωx＋π6(ω>0)在[0，π]内的值域为－1，32，则ω的取值范围是()A.32，53B.56，32C.56，＋∞D.56，53解析：选D因为0≤x≤π，所以π6≤ωx＋π6

≤ωπ＋π6，又因为函数f(x)＝cosωx＋π6(ω>0)在[0，π]内的值域为－1，32，所以π≤ωπ＋π6≤11π6，即56≤ω≤53，则ω的取值范围是56，53.5．已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1A>0，ω>0，0<φ<π2的最大值为

3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋„＋f(2017)＋f(2018)＝()A．4033B．4034C．4035D．4036解析：选C∵函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋

1＝A²1＋ωx＋2φ2＋1＝A242cos(2ωx＋2φ)＋1＋A2A>0，ω>0,0<φ<π2的最大值为3，∴A2＋1＋A2＝3，∴A＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，可得cos

2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f(x)的解析式为f(x)＝cosπ2x＋π2＋2＝－sinπ2x＋2，∴f(1)＋f(2)＋„＋f(2017)＋f(2018

)＝－sinπ2＋sin2π2＋sin3π2＋„＋sin2017π2＋sin2018π2＋2³2018＝－504³0－sinπ2－sinπ＋4036＝－1＋4036＝4035.6．(洛阳统考)已知f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab

≠0.若f(x)≤fπ6对一切x∈R恒成立，且fπ2＞0，则f(x)的单调递增区间是()A.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)B.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)C.kπ，kπ＋π2(k∈Z)

D.kπ－π2，kπ(k∈Z)解析：选Bf(x)＝asin2x＋bcos2x＝a2＋b2sin(2x＋φ)，其中tanφ＝ba.∵f(x)≤fπ6，∴x＝π6是函数f(x)的图

象的一条对称轴，即π3＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，φ＝π6＋kπ(k∈Z)．又fπ2＞0，∴φ的取值可以是－5π6，∴f(x)＝a2＋b2sin2x－5π6，由2kπ－π2≤2x－5

π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)，故选B.二、填空题7．函数f(x)＝1＋log12x＋tanx＋π4的定义域是________．解析：依题意得1＋lo

g12x≥0，x＋π4≠kπ＋π2k∈43∴0<x≤2，且x≠kπ＋π4(k∈Z)，∴函数f(x)的定义域是x0<x≤2，且x≠π4.答案：x0<x≤2，且x≠π48．函数y＝tan2x＋π4的图象与x轴交点的坐标是_____

___________．解析：由2x＋π4＝kπ(k∈Z)得，x＝kπ2－π8(k∈Z)．∴函数y＝tan2x＋π4的图象与x轴交点的坐标是kπ2－π8，0(k∈Z)．答案：kπ2－π8，0(k∈Z)9．已知函数f(x

)＝|cosx|sinx，给出下列五个说法：①f82π3＝－34；②若|f(x1)|＝|f(x2)|，则x1＝x2＋kπ(k∈Z)；③f(x)在区间－π4，π4上单调递增；④函数f(x)的周期为π；⑤f(x)的图象

关于点π2，0成中心对称．其中正确说法的序号是________．解析：①f82π3＝cos82π3sin82π3＝－cosπ3sinπ3＝－34，①正确；②令x1＝0，x2＝π2，则|f(x

1)|＝|f(x2)|＝0，而x1＝x2＋kπ(k∈Z)不成立，故②错误；③在区间－π4，π4上，f(x)＝|cosx|sinx＝cosxsinx＝12sin2x是增函数，故③正确；④因为f(x＋π)＝|cos(x＋π)|sin(x＋π)＝－|co

sx|sinx≠f(x)，故④错误；⑤设(x，y)在函数f(x)的图象上，则关于π2，0对称的点为(π－x，－y)，因为f(π－x)＝|cos(π－x)|sin(π－x)＝|cosx|sinx＝y≠－y，即点(π－x，－y)不在函数f(x)的图象上，故⑤错误．因

此正确的序号是①③.44答案：①③三、解答题10．设函数f(x)＝sinπx3－π6－2cos2πx6＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈0，32时，y＝g(x)的最大值．解：(

1)f(x)＝32sinπx3－12cosπx3－cosπx3＝32sinπx3－32cosπx3＝3sinπx3－π3，所以函数f(x)的最小正周期为T＝2ππ3＝6.(2)因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(x)＝f(2－x)＝3sin

π3－πx3.因为x∈0，32，所以π3－πx3∈－π6，π3，所以sinπ3－πx3∈－12，32，g(x)∈－32，32.故当x＝0时，函数g(x)取得最大值32.11．已知函数f(x)＝a2c

os2x2＋sinx＋b.(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．解：f(x)＝a(1＋cosx＋sinx)＋b＝2asin

x＋π4＋a＋b.(1)当a＝－1时，f(x)＝－2sinx＋π4＋b－1，由2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，45∴f(x)的单调增区间为

2kπ＋π4，2kπ＋5π4，k∈Z.(2)∵0≤x≤π，∴π4≤x＋π4≤5π4，∴－22≤sinx＋π4≤1，依题意知a≠0.①当a>0时，2a＋a＋b＝8，b＝5，∴a＝32－3，b＝5.②当a<0时，b＝8，2a＋a＋b＝5.∴a＝3－32

，b＝8.综上所述，a＝32－3，b＝5或a＝3－32，b＝8.12．(江苏高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a²b，

求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．解：(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cosx＝3sinx.则tanx＝－33.又x∈[0，π]，所以x＝5π6.(2)f(x)＝a²b＝(cosx，sinx)²(3

，－3)＝3cosx－3sinx＝23cosx＋π6.因为x∈[0，π]，所以x＋π6∈π6，7π6，从而－1≤cosx＋π6≤32.于是，当x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋π6＝π，即x＝5π6时，f(x)

取到最小值－23.1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2的图象过点B(0，－1)，且在π18，π346上单调，同时f(x)的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合．当x1，x2∈－17π12，－2

π3，且x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝()A．－3B．－1C．1D.2解析：选B由题意知，2sinφ＝－1，∴sinφ＝－12，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f(x)＝2sinωx－π6，平移后的函数解析式为g(x)＝2sinωx＋－π6＝2

sinωx＋ωπ－π6，∴ωπ＝2kπ，k∈Z，∴ω＝2k，k∈Z.又π3－π18≤T2＝πω，∴ω≤185，故ω＝2，∴f(x)＝2sin2x－π6，故其图象的对称轴为x＝kπ2＋π3，k∈Z，借助题设可知x1＋x2

＝2³－7π6＝－7π3，从而可求得f(x1＋x2)＝f－7π3＝－1.2．已知函数f(x)＝4cosωxsinωx－π6(ω>0)的最小正周期是π.(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；(2)求f(x)在π8，3π8上的

最大值和最小值．解：(1)f(x)＝4cosωxsinωx－π6＝4cosωx32sinωx－12cosωx＝23sinωxcosωx－2cos2ωx＋1－1＝3sin2ωx－cos2ωx－1＝2sin2ωx－π6－1.且f(x)的最小正

周期是2π2ω＝π，所以ω＝1，从而f(x)＝2sin2x－π6－1.47令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)在(

0，π)上的单调递增区间为0，π3和5π6，π.(2)当x∈π8，3π8时，2x－π6∈π12，7π12，所以2sin2x－π6∈6－22，2.所以当2x－π6＝π12，即x

＝π8时，f(x)取得最小值6－22－1.当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值1.故f(x)在π8，3π8上的最大值和最小值分别为1，6－22－1.高考研究课(三)三角函数的1个必考点——函数y＝Asin(ωx＋

φ)的图象和性质[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度y＝Asin(ωx＋φ)图象变换5年3考图象变换及求平移单位由图象求解析式5年1考已知图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)的性质5年3考已知图象或图象变

换后研究单调性、对称性函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换[典例](1)要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位B．向右平移π1

2个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位(2)(景德镇测试)已知函数f(x)＝4cosx²sinx＋π6＋a的最大值为2.48①求a的值及f(x)的最小正周期；②在坐标系上作出f(x)在[0，π]上的

图象．[解析](1)∵y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，∴要得到y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移π12个单位．答案：B(2)①f(x)＝4cosxsin

x＋π6＋a＝4cosx²32sinx＋12cosx＋a＝3sin2x＋2cos2x＋a＝3sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sin2x＋π6＋1＋a，∵f(x)的最大值为2.

∴a＝－1，最小正周期T＝2π2＝π.②由①知f(x)＝2sin2x＋π6，列表：x0π65π122π311π12π2x＋π6π6π2π3π22π13π6f(x)＝2sin2x＋π6120－201画出函数图象如图所示：49[方法技巧]1．三角函数图象变换的2要点(1)

常规方法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向．(2)方程思想可以把判断的两函数变为同名的函数，且x的系

数变为一致，通过列方程求解，如y＝sin2x变为y＝sin2x＋π3，可设平移φ个单位长度，即2(x＋φ)＝2x＋π3⇒φ＝π6，向左平移π6，若φ＜0说明向右平移|φ|个单位长度．2．用“五点法

”作图的注意点(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式．(2)求出周期T＝2πω.(3)求出振幅A.(4)列出一个周期内的五个特殊

点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点．[即时演练]1．(湖南常德质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象如图，为了得到f(x)的图象，则只需将

g(x)＝sin2x的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度50C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度解析：选C由图象知A＝1，T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝π＝2πω，ω＝2，此时函数f(x)＝sin()2

x＋φ，代入7π12，－1得sin7π6＋φ＝－1，∴sinπ6＋φ＝1，∴π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.解得φ＝π3＋2kπ，k∈Z，又因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，f(x)＝sin

2x＋π3＝sin2x＋π6，∴g(x)＝sin2x向左平移π6个单位长度得到f(x)的图象．2．要得到函数y＝sinx＋cosx的图象，可以由函数y＝sinx－cosx的图象向左平移得

到，则平移的最短长度为________．解析：易知y＝f(x)＝sinx＋cosx＝222sinx＋22cosx＝2sinx＋π4，同理可得y＝g(x)＝sinx－cosx＝2sinx－π4，根据“左加右减”的方法

知，g(x)的图象向左至少平移π2个单位与f(x)的图象重合，所以由函数y＝sinx－cosx的图象向左平移得到y＝sinx＋cosx的图象，则平移的最短长度为π2.答案：π2由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式[典例](1)函数f(x)＝A

sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(2018)＝()A．0B.2C.2＋2D．1(2)如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω＞0,0≤φ＜2

π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．51[解析](1)由图象可知，A＝2，周期T＝8，故ω＝π4，又三角函数的图象过原点，所以φ＝0，所以f(x)＝2sinπ4x，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(8)＝0，即每一个周期内的三角函数值之和为0，因此

，f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＝2＋2.(2)由图象可知b＝20，A＝30－102＝10，T2＝14－6＝8，T＝16＝2πω，解得ω＝π8.将(6,10)代入y＝10sinπ8x＋φ＋20，可得sin

3π4＋φ＝－1，由0≤φ＜2π可得φ＝3π4，∴y＝10sinπ8x＋3π4＋20.[答案](1)C(2)y＝10sinπ8x＋3π4＋20[方法技巧]求函数y＝As

in(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法(1)求A，b先确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω先确定函数的周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ常用方法有：①代入法．把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代

入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．52②五点法．确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，具体如下：选“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时，令ωx＋φ＝0；选“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx＋φ＝π2；选“第三点”(即图

象下降时与x轴的交点)时，令ωx＋φ＝π；选“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx＋φ＝3π2；选“第五点”时，令ωx＋φ＝2π.[即时演练]1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x1，x2

∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝()A．1B.12C.22D.32解析：选D观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．将－π6，0代入上式得sin－π3＋φ＝0，由|φ|＜π2，

得φ＝π3，则f(x)＝sin2x＋π3.函数f(x)图象的对称轴为x＝－π6＋π32＝π12.又x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，∴x1＋x22＝π12，∴x1＋x2＝π6，∴f(x1＋

x2)＝sin2³π6＋π3＝32.2．(天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f5π8＝2，f11π8＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则()A．ω＝23，φ＝π12B．ω＝23，φ＝－11π1253C．ω＝1

3，φ＝－11π24D．ω＝13，φ＝7π24解析：选A法一：由f5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，①由f11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，②由①②得ω＝－23＋43(k′－2k)．又最小

正周期T＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝23.又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A符合．法二：∵f5π8＝2，f11π8＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，∴11π8－5π8＝T4(2m＋1)，m∈N，∴T＝3π2m＋1，m∈N，∵f(x)的最小

正周期大于2π，∴T＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f(x)＝2sin23x＋φ.由2sin23³5π8＋φ＝2，得φ＝2kπ＋π12，k∈Z.又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝π12.故

选A.y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质函数y＝Aωx＋φ的图象与性质是命题的热点，多将图象变换、解析式求法与性质综合一起考查，属中低档题.常见的命题角度有：图象变换与性质的综合；解析式的求法与性质的综合；图象与性

质的综合问题.角度一：图象变换与性质的综合1．定义行列式运算a1a2b1b2＝a1b2－a2b1，将函数f(x)＝3sinx1cosx的图象向左平移t(t>0)个单位，所得图象对应的函数为

偶函数，则t的最小值为()54A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析：选C由题意可得f(x)＝3cosx－sinx＝2cosx＋π6，则平移后所得图象对应函数的解析式g(x)＝2cosx＋t＋π6，因为g(x)是偶函数，所以t＋π6＝kπ，

k∈Z，t＝kπ－π6，k∈Z，由题意可知，当k＝1时，t取得最小值为5π6.角度二：解析式的求法与性质的综合2．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，A，B两点之间的距离为10，且f(2)＝0，若将函数

f(x)的图象向右平移t(t＞0)个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则t的最小值为()A．1B．2C．3D．4解析：选B由题图可设A(x1,3)，B(x2，－3)，所以|AB|＝x1－x22＋62＝10，解得|x1－x2|

＝8，所以T＝2|x1－x2|＝16，故2πω＝16，解得ω＝π8.所以f(x)＝3sinπ8x＋φ，由f(2)＝0，得3sinπ4＋φ＝0，又－π2≤φ≤π2，所以φ＝－π4.故f(x)＝3sinπ8x－π4，将f(x)的图象向右平移t(t＞0)个单位

长度，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝f(x55－t)＝3sinπ8x－t－π4＝3sinπ8x－π8t＋π4.由题意得，函数g(x)的图象关于y轴对称，所以π8t＋π4＝kπ＋π2(

k∈Z)，解得t＝8k＋2(k∈Z)，故正数t的最小值为2，选B.角度三：图象与性质的综合问题3．(江西联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)－1(ω>0，|φ|<π)的一个零点是π3，函数y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝－π6，则当ω取得最小值时，函数f(x

)的单调递增区间是()A.3kπ－π3，3kπ－π6(k∈Z)B.3kπ－5π3，3kπ－π6(k∈Z)C.2kπ－2π3，2kπ－π6(k∈Z)D.2kπ－π3，2kπ－π6(k

∈Z)解析：选B依题意得，fπ3＝2sinπω3＋φ－1＝0，即sinπω3＋φ＝12，得πω3＋φ＝2k1π＋π6或πω3＋φ＝2k2π＋5π6(其中k1，k2∈Z

)①.又sin－πω6＋φ＝±1，即－πω6＋φ＝k3π＋π2(其中k3∈Z)②.由①－②得πω2＝(2k1－k3)π－π3或πω2＝(2k2－k3)π＋π3，即ω＝2(2k1－k3)－23或ω＝2(2k2－

k3)＋23(其中k1，k2，k3∈Z)，因此ω的最小值为23.因为sin－πω6＋φ＝sin－π9＋φ＝±1，所以－π9＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝π2＋π9，所以当ω＝23时，f(x)＝

2sin23x＋π2＋π9－1＝2cos23x＋π9－1，当2kπ－π≤23x＋π9≤2kπ(k∈Z)，即3kπ－5π3≤x≤3kπ－π6(k∈Z)时，函数f(x)单调递增．因此，当ω取得最小值时，f

(x)的单调递增区间是3kπ－5π3，3kπ－π6(k∈Z)，选B.564．已知函数f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4.(1)求函数f(x)的单调递增

区间；(2)先将y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)在区间π2，13π4上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围．解：(1)

因为sinx＋π4＝sinx－π4＋π2＝cosx－π4，所以f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4cosx－π4＝cos2x－π3＋sin2x－π2＝12cos2x

＋32sin2x－cos2x＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6，由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．(2)将y＝f(x)的图象向左平移π3个

单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin2x＋π3－π6＝sin2x＋π2＝cos2x，所以函数g(x)＝cosx，作出函数g(x)＝cosx，x∈π

2，13π4的图象与直线y＝a，如图所示，由图易知a∈－22，0.[方法技巧]解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y＝f(x)化为y＝asinx＋bcosx的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如

周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．571．(全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲

线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2解析：选D易知C1：y＝cosx＝sinx＋π2，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋π

2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y＝sin2x＋π12＋π2＝sin2x＋2π3的图象，即曲线C2.2．(全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()A．y＝2sin2x－π6B．y＝2sin

2x－π3C．y＝2sinx＋π6D．y＝2sinx＋π3解析：选A由图象知T2＝π3－－π6＝π2，故T＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个58最高点坐标为

π3，2，所以A＝2，且2³π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，故φ＝2kπ－π6(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin2x－π6.故选A.3．(全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对

应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3解析：选D函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14

个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3，故选D.4．(全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移

后图象的对称轴为()A．x＝kπ2－π6(k∈Z)B．x＝kπ2＋π6(k∈Z)C．x＝kπ2－π12(k∈Z)D．x＝kπ2＋π12(k∈Z)解析：选B将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y＝2

sin2x＋π12＝2sin2x＋π6的图象．由2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．5．(2015²全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ

)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.kπ－14，kπ＋34，k∈ZB.2kπ－14，2kπ＋34，k∈ZC.k－14，k＋34，k∈ZD.2k－14，2k＋

34，k∈Z59解析：选D由图象知，周期T＝254－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π³14＋φ＝π2＋2kπ，得φ＝π4＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝π4，∴f(x)＝cosπx＋π4.由2kπ＜πx＋π4＜

2kπ＋π，k∈Z，得2k－14＜x＜2k＋34，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为2k－14，2k＋34，k∈Z，故选D.6．(全国卷Ⅲ)函数y＝sinx－3cosx的图象可由函数y＝sinx＋3cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析：因为y＝sinx＋3c

osx＝2sinx＋π3，y＝sinx－3cosx＝2sinx－π3，所以把y＝2sinx＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y＝2sinx－π3的图象．答案：2π3一、选择题1．(长沙质检)将函数y＝cos2x的图象先向左平移π2个

单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是()A．y＝－sin2xB．y＝－cos2xC．y＝2sin2xD．y＝－2cos2x解析：选Cy＝cos2x错误!y＝cos2x＋错误!错误!y＝cos错误!＋1，即y

＝cos(2x＋π)＋1＝1－cos2x＝2sin2x.2．已知曲线C1：y＝sinx，曲线C2：y＝cos2x－π3，则下面结论正确的是()A．曲线C1横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位，得到C260B．曲线C1横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π12个单位，得到C2

C．曲线C1横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π6个单位，得到C2D．曲线C1横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π12个单位，得到C2解析：选D因为曲线C1：y＝sinx＝cosx－π2，所以将曲线C1横坐标缩短到原来的12倍得函数y＝cos

2x－π2的图象，再向左平移π12个单位可得到曲线C2：y＝cos2x－π3.3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0.函数图象的两个对称轴间最短距离为π2，直线x＝π

6是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为()A．y＝－2sin2x＋π6＋2B．y＝2sin2x＋π3＋2C．y＝－2sin2x＋π3D．y＝4sin2x＋π6解析：选A由函数的最大值与最小值可得A＝2或－2，m＝2.由函数图象的

两个对称轴间最短距离为π2，可知函数的最小正周期为π，则ω＝2.又直线x＝π6是其图象的一条对称轴，所以π6³2＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，则φ＝kπ＋π6，k∈Z，令k＝0，得φ＝π6，故选A.4．(河南六市联考

)将奇函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2的图象向左平移π6个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为()A．6B．3C．4D．2解析：选A由函数为奇函数得φ＝kπ(k∈Z)，又－π2＜φ＜π2，∴φ＝

0，y＝Asinωx.由函数图象向左平移π6个单位得到函数y＝Asinωx＋π6＝Asinωx＋π6ω，其图象关于原点对称，∴有π6ω＝kπ(k∈Z)，即ω＝6k(k∈Z)，

故选A.5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且其图象向左平61移π3个单位后得到函数g(x)＝cosωx的图象，则函数f(x)的图象()A．关于直线x＝π12对称B．关于直线x＝5π12对称C．关于点π12，0对

称D．关于点5π12，0对称解析：选C由函数f(x)的最小正周期为π，可得ω＝2，所以函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|<π2的图象向左平移π3个单位后得到函数g(x)＝cos2x＝sin2x＋π2＝sin2x＋2π3＋φ的图象，所

以2π3＋φ＝π2，即φ＝－π6，所以f(x)＝sin2x－π6，因为fπ12＝sin2³π12－π6＝0，所以函数f(x)的图象关于点π12，0对称．6．已知函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω>0)，fπ6＋f

π2＝0，且f(x)在区间π6，π2上单调递减，则ω＝()A．3B．2C．6D．5解析：选B∵f(x)在π6，π2上单调递减，且fπ6＋fπ2＝0，∴fπ6＋π22

＝0，∵f(x)＝sinωx＋3²cosωx＝2sinωx＋π3，∴fπ6＋π22＝fπ3＝2sinπ3ω＋π3＝0，∴π3ω＋π3＝kπ(k∈Z)，即ω＝3k－1(k

∈Z)．又12²2πω≥π2－π6，ω>0，∴0<ω≤3，∴ω＝2.二、填空题7．已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈0，

π2，则f(x)的值域是________．解析：f(x)＝3sinωx－π6＝3cosπ2－ωx－π6＝3cosωx－2π3，易知ω＝2，则f(x)＝3sin2x－π6，

62∵x∈0，π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6，∴－32≤f(x)≤3.答案：－32，38.已知函数f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC＝BC＝22，C＝90

°，则f12＝________.解析：依题意知，△ABC是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是12，函数f(x)的最小正周期是2，故M＝12，2πω＝2，ω＝π，f(x)＝12cos(πx＋φ)．又函数f(x)是奇函数，于是有φ＝kπ＋π2，其中k∈Z.由0＜φ＜π

，得φ＝π2，故f(x)＝－12sinπx，f12＝－12sinπ2＝－12.答案：－129.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向

匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)t≥0，ω>0，|φ|<π2.则下列叙述正确的是________．①R＝6，ω＝π30，φ＝－π6；②当t∈[35,55]时，点

P到x轴的距离的最大值为6；③当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减；④当t＝20时，|PA|＝63.解析：①由点A(33，－3)，可得R＝6，由旋转一周用时60秒，可得T＝2πω＝60，则ω＝π30，由点A(33，－3)，可得∠AOx＝π6，则φ＝－π6

，故①正确；②由①知，f(t)＝6sinπ30t－π6，当t∈[35,55]时，π30t－π6∈π，5π3，即当π30t－63π6＝3π2时，点P(0，－6)，点P到x轴的距离的最大值为6，故②正确；③当t∈[10,25]时，π30t－π6∈

π6，2π3，由正弦函数的单调性可知，函数y＝f(t)在[10,25]上有增有减，故③错误；④f(t)＝6sinπ30t－π6，当t＝20时，水车旋转了三分之一周期，则∠AOP＝2π3，所以|PA|＝63，故④正确．答案：①②④三、解答题10

．(山东高考)设函数f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，其中0<ω<3.已知fπ6＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝

g(x)的图象，求g(x)在－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，所以f(x)＝32sinωx－12cosωx－cosωx＝32sinωx－32cosωx＝312sin

ωx－32cosωx＝3sinωx－π3.因为fπ6＝0，所以ωπ6－π3＝kπ，k∈Z.故ω＝6k＋2，k∈Z.又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝3sin2x－π

3，所以g(x)＝3sinx＋π4－π3＝3sinx－π12.因为x∈－π4，3π4，64所以x－π12∈－π3，2π3，当x－π12＝－π3，即x＝－π4时，g

(x)取得最小值－32.11．已知向量m＝(sinx，－1)，n＝cosx，32，函数f(x)＝(m＋n)²m.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移π8个单位得到函数g(x)的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边

分别a，b，c，若a＝3，gA2＝66，sinB＝cosA，求b的值．解：(1)因为m＝(sinx，－1)，n＝cosx，32，所以f(x)＝(m＋n)²m＝sinx＋cosx，12²(sinx，－1)＝sin2x＋si

nxcosx－12＝12sin2x－12(1－2sin2x)＝12sin2x－12cos2x＝22sin2x－π4.由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，k∈Z，可得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，k∈

Z，所以函数f(x)的单调递增区间为kπ－π8，kπ＋3π8，k∈Z.(2)由(1)得g(x)＝22sin2x＋π8－π4＝22sin2x，因为gA2＝22sinA＝66，所以sinA

＝33，在△ABC中，sinB＝cosA>0，65可得sinB＝cosA＝1－332＝63，由正弦定理asinA＝bsinB，可得b＝asinBsinA＝3³6333＝32.12．(山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)

A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)说明函数y＝f(x)的图象可由函数y＝3sin2x－cos2x的图象经过怎样的平移变换得到；(3)若方程f(x)＝m在

－π2，0上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．解：(1)由题图可知，A＝2，T＝4π3－π12＝π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵fπ3＝0，∴sin2π3＋φ＝0，∴φ＋2π3＝kπ，k∈Z.∵|φ|＜

π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝2sin2x＋π3.(2)y＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6＝2sin2x－π4＋π3，故将函数y＝3sin2x－cos2x的图

象向左平移π4个单位就得到函数y＝f(x)的图象．66(3)当－π2≤x≤0时，－2π3≤2x＋π3≤π3，故－2≤f(x)≤3，若方程f(x)＝m在－π2，0上有两个不相等的实数根，则曲线y

＝f(x)与直线y＝m在－π2，0上有2个交点，结合图形，易知－2＜m≤－3.故m的取值范围为(－2，－3]．1．将函数y＝sin2x－π3的图象上的点Pπ4，t向左平移s(s>0)个单位长度得到

点P′，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则()A．t＝12，s的最小值为π6B．t＝32，s的最小值为π6C．t＝12，s的最小值为π3D．t＝32，s的最小值为π3解析：选A因为点Pπ4，t在函数y＝sin2x－π3的

图象上，所以t＝sin2³π4－π3＝12，将点Pπ4，12向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′π4－s，12，因为P′位于函数y＝sin2x的图象上，所以sin2π4－s＝12，即cos2s＝12，所以s＝

kπ±π6，k∈Z，所以当k＝0时，可得s的最小值为π6.672.函数f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(

1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝835，且x0∈－103，23，求f(x0＋1)的值．解：(1)由已知可得f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3＝3sinωx＋3cosωx＝2312sin

ωx＋32cosωx＝23sinωx＋π3，由正三角形ABC的高为23，得|BC|＝4，所以f(x)的周期为8，故ω＝π4，f(x)的值域为[－23，23]．(2)由(1)知f(x)＝23π4x＋π3.所以由f(x0)＝835，得sinπ

4x0＋π3＝45.又x0∈－103，23，知π4x0＋π3∈－π2，π2，故cosπ4x0＋π3＝35，所以f(x0＋1)＝23sinπ4x0＋π4＋

π3＝23sinπ4x0＋π3＋π4＝2345³22＋35³22＝765.高考研究课(四)三角恒等变换的3个考查点——化简、求值和应用[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度三角变换求最值5年2考三角变换与最值三角变换求值5年7考给角求值、给值求值三

角函数式的化简[典例](1)化简：68＋sinα＋cosαcosα2－sinα22＋2cosα(0＜α＜π)＝________.(2)(滕州一中模拟)计算：1＋cos20°2sin20°－sin10°²1tan5°－tan5°＝________.[解

析](1)原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2²cosα2－sinα24cos2α2＝cosα2cos2α2－sin2α2cosα2＝cosα2cosαcosα2.因为0＜α＜π，所以

0＜α2＜π2，所以cosα2＞0，所以原式＝cosα.(2)原式＝2cos210°4sin10°cos10°－sin10°²cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－si

n20°sin10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－－2sin10°＝cos10°－2sin30°cos10°＋2cos30°sin10°2sin10°＝32.[答案](1)cosα(2)32[方法技巧]69三角函数式的化简方法及基本思路(1

)化简方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换，辅助角公式等．化简基本思路“一角二名三结构”，即：一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公

式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”，关于sinα²cosα的齐次分式化切等；三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等.)[即时演练]1.tanπ4＋α²cos2α2c

os2π4－α的值为________．解析：原式＝sinπ4＋α²cos2α2sin2π4＋αcosπ4＋α＝cos2α2sinπ4＋αcosπ4＋α＝cos2αsin

π2＋2α＝cos2αcos2α＝1.答案：12．化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是________．解析：原式＝1－cos2α－π32＋1－cos2α＋π32－sin2α＝1－12cos2α－π3

＋cos2α＋π3－sin2α＝1－cos2α²cosπ3－sin2α＝1－cos2α2－1－cos2α270＝12.答案：123．(江苏高考)若tanα－π4＝16，则tanα＝________.解析：tanα＝tan

α－π4＋π4＝tanα－π4＋tanπ41－tanα－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.答案：75条件求值问题三角函数条件求值问题是高考命题的热点.常见的命题角度有：给角求值；变角求值；给值求角

.角度一：给角求值1．计算：2cos10°sin70°－tan20°＝()A.3B.3－12C．1D.32解析：选A2cos10°sin70°－tan20°＝2cos10°cos20°－sin20°co

s20°＝－－sin20°cos20°＝232cos20°＋12sin20°－sin20°cos20°＝3.2．(1＋tan17°)(1＋tan28°)(1＋tan27°)(1＋tan18°)的值是()A．2B．4C．8D．16解析：选B∵(1＋tan17°)(1＋tan28°

)＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°，71tan45°＝tan17°＋tan28°1－tan17°tan28°＝1，∴(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝2，同理(1＋tan27°)(1＋tan18°)＝2

，∴(1＋tan17°)(1＋tan28°)(1＋tan27°)(1＋tan18°)＝4.[方法技巧]求解给角求值问题的3个注意点(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分．(2)观察名，尽可能使函数统一名称．(3)观察结构，

利用公式，整体化简．角度二：变角求值3．(深圳调研)若α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α－β)＝1010，则cosβ＝()A.22B.210C.22或－210D.22或210解析：选A∵α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(

α－β)＝1010，∴sinα＝255，cos(α－β)＝31010，从而cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝22，故选A.4．设tan(α＋β)＝37，tanβ－π4＝－13，则tan

α＋π4的值是()A.23B.89C.112D.19解析：选B因为tan(α＋β)＝37，tanβ－π4＝－13，所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝α＋β－tanβ－π41＋α

＋ββ－π4＝89.72[方法技巧]在求值的过程中“拼凑角”对求值往往起到“峰回路转”的效果．通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有α＋β2＝α－β2－α2－β，α＝(α－β)＋β，π4＋α＝π2－π4

－α，15°＝45°－30°等．角度三：给值求角5．(成都一诊)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4解析：选A因为α∈

π4，π，所以2α∈π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈π2，π，α∈π4，π2，故cos2α＝－255.又β∈π，3π2，所以β－α∈π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010.所以cos(α＋β)＝co

s[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255³－31010－55³1010＝22，且α＋β∈5π4，2π，故α＋β＝7π4.6．在△ABC中，若4sinA＋2cosB＝4，12sinB＋c

osA＝32，则角C＝________.解析：由题意可得sinA＋12cosB＝1，12sinB＋cosA＝32，将两式平方相加可得1＋14＋sinAcosB＋sinBcosA＝1＋34，所以sinC＝sin(A＋B)＝12，则C＝π6或5π6.若C＝5π6，A＋B＝π6，则cosA>

32，73所以12sinB＋cosA＝32不成立，故C＝π6.答案：π6[方法技巧]“给值求角”的解题策略(1)求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围；(3)根据角的范围写出要求的角．三角恒等变换与向量的综合应用[典例]已知向量a＝(si

nx，cosx)，b＝cosx＋π6＋sinx，cosx，函数f(x)＝a²b.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α∈0，π2且cosα＋π12＝13，求f(α)．[思路点拨](1)先化简函数f(x)，再

利用三角函数的单调性求解即可；(2)利用二倍角公式化简求解即可．[解](1)f(x)＝sinxcosx＋π6＋1＝32sinxcosx－12sin2x＋1＝34sin2x＋14cos2x＋34＝12sin2x＋π6＋34，令2kπ－π2≤2x

＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，故f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6，k∈Z.(2)f(α)＝12sin2α＋π6＋34＝sinα＋π12cosα＋π12＋34，7

4∵cosα＋π12＝13且α∈0，π2，∴sinα＋π12＝223，∴f(α)＝229＋34.[方法技巧]向量与三角函数综合问题的特点与解题思路(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用

题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还融入参数，考查分类讨论的思想方法．(2)对于三角函数求最值问题，一般有两种形式：一种是化成y＝Asin(ωx＋φ)或y＝A

cos(ωx＋φ)的形式，另一种是化成y＝asin2x＋bsinx＋c或y＝acos2x＋bcosx＋c的形式．[即时演练]1．(湖南联考)设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则tanα－π4＝()A．－13B.13C．－1D．0解析：选B由

已知可得，a²b＝2cosα－sinα＝0，∴tanα＝2，tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝13.2．已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量q＝(sinA－cosA,1＋sinA

)是共线向量．(1)求角A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2的最大值．解：(1)因为p，q共线，所以(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(sinA－cosA)，即2－2sin2A＝si

n2A－cos2A，化简得sin2A＝34.又A为锐角，所以sinA＝32，则A＝π3.(2)y＝2sin2B＋cosC－3B2＝2sin2B＋cosπ－π3－B－3B275＝2sin2B＋cosπ3－2B＝1－cos2B＋12cos2B＋32sin2B＝32s

in2B－12cos2B＋1＝sin2B－π6＋1.因为△ABC为锐角三角形且A＝π3，所以B∈π6，π2，所以2B－π6∈π6，5π6，所以当2B－π6＝π2，即B＝π3时，函数y取得最大值2.1．(

全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A．－79B．－29C.29D.79解析：选A将sinα－cosα＝43的两边进行平方，得sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝169，即sin2α＝－79.2．(全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos2x＋6cos

π2－x的最大值为()A．4B．5C．6D．7解：选B∵f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－2sinx－322＋112，又sinx∈[－1,1]，∴当

sinx＝1时，f(x)取得最大值5.3．(全国卷Ⅱ)若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()A.725B.1576C．－15D．－725解析：选D因为cosπ4－α＝35，所以sin2α＝cosπ2－2α＝cos2π4

－α＝2cos2π4－α－1＝2³925－1＝－725.4．(2015²全国卷Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12解析：选Dsin20°cos10°－cos160°sin

10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.5．(2014²全国卷Ⅰ)设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα

＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2解析：选B由条件得sinαcosα＝1＋sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，sin(α－β)＝cosα＝sin

π2－α，因为－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.6．(2013²全国卷Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos2α＋π4＝()A.16B.13C.12D.23解析：选

A法一：cos2α＋π4＝121＋cos2α＋π2＝12(1－sin2α)＝16.77法二：cosα＋π4＝22cosα－22sinα，所以cos2α＋π4＝12(cosα－sinα)2＝

12(1－2sinαcosα)＝12(1－sin2α)＝16.7．(全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．解析：依题意，f(x)＝sin2x＋3cosx－34＝－cos2x＋3cosx＋14＝－

cosx－322＋1，因为x∈0，π2，所以cosx∈[0,1]，因此当cosx＝32时，f(x)max＝1.答案：18．(全国卷Ⅰ)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________.解析：∵α∈

0，π2，tanα＝2，∴sinα＝255，cosα＝55，∴cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝22³255＋55＝31010.答案：310109．(2014²全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos

(x＋φ)的最大值为________．解析：f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin(x＋φ－φ)＝sinx，因为x∈R，所以f(x)的最大值为

1.答案：1一、选择题781．(全国卷Ⅲ)若tanθ＝－13，则cos2θ＝()A．－45B．－15C.15D.45解析：选D∵cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan

2θ，又∵tanθ＝－13，∴cos2θ＝1－191＋19＝45.2．已知tanα＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4等于()A．－255B．－3510C．－31010D.255

解析：选A由tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝12，得tanα＝－13.又－π2<α<0，所以sinα＝－1010.故2sin2α＋sin2αcosα－π4＝2sinαα＋cosα22α＋cosα＝22sin

α＝－255.3．(温州测试)已知sinx＋3cosx＝65，则cosπ6－x＝()A．－35B.35C．－45D.45解析：选B∵sinx＋3cosx＝212sinx＋32cosx79＝2sinπ6sinx＋cosπ6cosx＝2cos

π6－x＝65，∴cosπ6－x＝35.4．(东北三省模拟)已知sinπ6－α＝cosπ6＋α，则cos2α＝()A．1B．－1C.12D．0解析：选D∵sinπ6－α＝cosπ6＋α，∴12cosα

－32sinα＝32cosα－12sinα，即12－32sinα＝－12－32cosα，∴tanα＝sinαcosα＝－1，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2

αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1＝0.5．(南宁调研)若θ∈[0，π]，cosθ＝34，则tanθ2＝()A.7B.17C．7D.77解析：选D法一：因为θ∈[0，π]，所以θ2∈0，π2，所以cosθ2＝cosθ＋1

2＝144，所以sinθ2＝24，所以tanθ2＝77.法二：由题意得sinθ＝74，所以tanθ＝73.因为θ∈[0，π]，所以θ2∈0，π2，所以由tanθ＝2tanθ21－tan2θ2＝73，解得tanθ2＝77或tan

θ2＝－7(舍去)，故选D.6．(吉林大学附中检测)若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值80为()A．－356B．－16C．－3518D．－1718解析：选D∵3cos2α＝sinπ4－α，∴3(cos2α－s

in2α)＝22(cosα－sinα)，易知sinα≠cosα，故cosα＋sinα＝26，两边平方得1＋sin2α＝118，解得sin2α＝－1718.7．已知sin2π3－α＋sinα＝435，则sin

α＋7π6的值是()A．－45B．－35C．－25D．－15解析：选A因为sin2π3－α＋sinα＝32cosα＋32sinα＝3sinα＋π6＝435，所以sinα＋π6＝4

5，所以sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45.8．(长沙模拟)在△ABC中，若3(tanB＋tanC)＝tanB²tanC－1，则sin2A＝()A．－12B.12C．－32D.32解析：选D由两角和的正切公式知ta

nB＋tanC＝tan(B＋C)(1－tanB²tanC)，所以3(tanB＋tanC)＝tanB²tanC－1＝3tan(B＋C)(1－tanB²tanC)，所以tan(B＋C)＝－33，所以tanA＝33，又A∈(0，π)，所以A＝π6，所以sin2

A＝32，故选D.二、填空题9．化简：sin50°(1＋3tan10°)＝________.解析：sin50°(1＋3tan10°)81＝sin50°1＋3²sin10°cos10°＝sin50°²cos10°＋3si

n10°cos10°＝sin50°²212cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°²cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.答案：110．(北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它

们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z，所以cos(α－β)＝cos(2α－2kπ－π)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－

1－2³132＝－79.答案：－7911．(东北三省四市联考)已知tan(3π－x)＝2，则2cos2x2－sinx－1sinx＋cosx＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－x)＝－tanx＝2，即tanx＝－2，故2co

s2x2－sinx－1sinx＋cosx＝cosx－sinxsinx＋cosx＝1－tanxtanx＋1＝－3.答案：－312．(珠海六校联考)已知tan(α＋β)＝25，tanβ＝13，则tanα＋π4的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝25，tanβ＝13，

∴tanα＝tan[(α＋β)－β]＝α＋β－tanβ1＋α＋ββ82＝25－131＋25³13＝117，∴tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝1＋1171－117＝98.答案：98三、解答题13．已知函数f(x)＝sin

π2－xsinx－3cos2x＋32.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合；(2)若方程f(x)＝23在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．解：(1)f(x)＝sinxcosx－32(2cos2x－1)＝12sin2x－32cos2x

＝sin2x－π3，故当2x－π3＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝5π12＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值1，故当f(x)取得最大值1时，x的取值集合为x5π12＋k

π，k∈Z.(2)由(1)可知f(x)的图象关于直线x＝5π12对称，且f5π12＝1，∴x1＋x2＝5π6，即x1＝5π6－x2，∴cos(x1－x2)＝cos5π6－2x2＝cosπ2＋π3－2x2＝sin

2x2－π3＝f(x2)＝23.14．已知函数f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f(x)＝1－cos2x2－1－cos2x－π32

83＝1212cos2x＋32sin2x－12cos2x＝34sin2x－14cos2x＝12sin2x－π6.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是

增函数，且f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝34，所以f(x)在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.1．已知函数f(x)＝sin2ωx2＋12sinωx－12(ω>

0)，x∈R，若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是()A.0，18B.0，14∪58，1C.0，58D.0，18∪14，58解析

：选Df(x)＝sin2ωx2＋12sinωx－12＝12sinωx－12cosωx＝22sinωx－π4，因为π<x<2π，所以ωπ－π4<ωx－π4<2ωπ－π4，因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，所以22sinωπ－

π4≥0，22sin2ωπ－π4≥0或22sinωπ－π4≤0，22sin2ωπ－π4≤0，则2k＋14≤ω≤2k＋54，k＋18≤ω≤k＋58(k∈Z)

或2k－34≤ω≤2k＋14，k－38≤ω≤k＋18(k∈Z)，又因为ω>0，所以0<ω≤18或14≤ω≤58.2．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)＋2sin2ωx＋φ2－1(ω>0，0<φ<π)为奇函数

，且相邻两对称轴间的距离为π2.84(1)当x∈－π2，π4时，求f(x)的单调递减区间；(2)将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图

象．当x∈－π12，π6时，求函数g(x)的值域．解：(1)由题意得，f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sinωx＋φ－π6，因为相邻两对称轴间的距离为π2，所以T＝2π

ω＝π，ω＝2.又因为函数f(x)为奇函数，所以φ－π6＝kπ，k∈Z，φ＝kπ＋π6，k∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝π6，故函数f(x)＝2sin2x.令π2＋2kπ≤2x≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π4＋kπ≤x≤3π4＋kπ，

k∈Z，令k＝－1，得－3π4≤x≤－π4，因为x∈－π2，π4，所以函数f(x)的单调递减区间为－π2，－π4.(2)由题意可得，g(x)＝2sin4x－π3，因为x

∈－π12，π6，所以－2π3≤4x－π3≤π3，所以－1≤sin4x－π3≤32，g(x)∈[－2，3]，即函数g(x)的值域为[－2，3]．