【文档说明】2021-2022学年四川省绵阳市开元中学高二下学期半期质量检测数学理试题解析版.doc，共(14)页，1.610 MB，由小喜鸽上传

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第1页共14页2021-2022学年四川省绵阳市开元中学高二下学期半期质量检测数学（理）试题一、单选题1．命题“xR,210xx++”的否定为（）A．0xR,20010xx++B．xR,210xx++C．0xR,20010xx++D．xR,21

0xx++【答案】A【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可.【详解】解:由题根据全称量词命题的否定可知,“xR,210xx++”的否定为“0xR,20010xx++”.故选:A2．在复平面内，复数311ii+−对应的点位

于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【详解】因为311111122iiiiiii+−+=−=−=−−，因此可知复数311ii+−对应的点位于第四象限，选D.3．下列说法正确的是（）A．集合{|03}Mxx

=，{|02}Nxx=，则“aM”是“aN”的充分不必要条件B．“||||ab”是“22ab”的必要不充分条件C．命题“若aM，则bM”的否命题是“若aM，则bM”D．命题“若a，b都是奇数，则ab+是偶数”的逆否命题是“若

ab+不是偶数，则a，b都不是奇数”【答案】C【分析】根据集合的包含关系，判断A选项；根据不等式的性质可判断B项；根据命题的四种形式判断C、D项.【详解】因为MN，所以“aM”是“aN”的必要不充分条件，A错误；因为||||0a

b，所以22ab；反过来也成立.所以，“||||ab”是“22ab”的充要条件，B错误；命题“若aM，则bM”的否命题是“若aM，则bM”，所以C项正确；命题“若a，b都是奇数，则ab+是偶数”的逆否命题是“若ab+不是偶数，则a，b不都是奇数”，所第2页共14页

以D项错误.故选：C.4．已知函数2()exfx=，则0(1)(1)lim2xfxfx→+−=−（）A．eB．－eC．e2D．－e2【答案】D【分析】结合导数的定义求得正确答案.【详解】因为2()2exfx=，2(1)2ef=()()(

)()()22Δ0Δ01Δ11Δ1111limlim12ee2Δ2Δ22xxfxffxffxx→→+−+−=−=−=−=−−.故答案为：D.5．设函数()fx在R上可导，其导函数为()fx，且函数()fx在2x=−处取得极小值，则函数()yxfx

=的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根极值与导函数的关系确定()fx在2x=−附近的正负，得()xfx的正负，从而确定正确选项．【详解】由题意可得()20f−=，而且当(),2x−−时，()0fx，此时()0xfx，排除B、D；当()2,0x−时，(

)0fx¢>，此时，()0xfx，若()0,x+，()0xfx，所以函数()yxfx=的图象可能是C．故选：C6．已知四棱锥PABCD−，底面ABCD为平行四边形，,MN分别为PC，PD上的点，1,3CMPNNDCP==，设,,ABaADbAPc===uuurruuurruuur

r，则向量MNuuuur用,,abcrrr为基底表示为（）第3页共14页A．121333abc++rrrB．121333abc−−rrrC．111366abc−−+rrrD．211366abc−−+rrr【答案】D【分析】通过寻找封闭的三角形，

将相关向量一步步用基底表示即可.【详解】11()32MNMCCAANPCACADAP=++=−++uuuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur11()()()32BCBPABA

DADAP=−−+++uuuruuuruuuruuuruuuruuur11(+)()()32ADAPABABADADAP=−−+++uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur211366ABADAP=−−+uuuruuuruuur211366abc=−−+rrr.故选

：D7．已知函数()286ln1fxxxx=−++，则()fx的极大值为（）A．10B．6−C．7−D．0【答案】B【分析】利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值.【详解】函数()fx的定义域为()0,+，()()()213628x

xfxxxx−−=−+=,令()0fx=，解得1x=或3x=，故x()0,11()1,33()3,+()fx00=00=0第4页共14页()fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()fx的极大值为()16f=−，故选：B.8．直三棱柱111ABCABC-

中，若90BAC=，1ABACAA==，则异面直线1BA与1AC所成的角等于A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，

则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为60o，故选C．9．函数()ecosxfxx=在区间3π0,4上取得最大值时x的值为（）A．0B．π4C．π2D．3π4【答案】B【分析】对函数()

fx求导，判断其在3π0,4的单调性，进而求得其最大值.【详解】由()ecosxfxx=得()πecosesin2ecos4xxxfxxxx=−=+，令()0fx=，即πcos()0

4x+=在区间3π0,4上解得π4x=，当π04x时，()0fx¢>，()fx为增函数，当π3π44x时，()0fx，()fx为减函数，所以当π4x=时，()fx取得最大值.故选

：B.10．已知函数()()e10xxafax=−−在1,2上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．10,eB．(),0−C．1,e+D．()1,0,e−+【答案】D第5页共14页【分析】依题意，导函数在[1，2]

上大于等于0恒成立，参变分离可得()min1exa，进而得解；【详解】解：因为()()e10xxafax=−−，所以1()exfxa=−，Q函数()fx在[1，2]上是增函数，()0fx…在[1，2]上恒成立，1e0xa−…在[1，2]上恒成立，即1exa在[1，2

]上恒成立，则只需()min1exa，[1xQ，2]，exy=单调递增，()mineex=，1ea≤，解得a<0或1ea，实数a的取值范围为()1,0,e−+；故选：D11．()fx是定义在

R上的函数，()fx是()fx的导函数，已知()()fxfx，且(1)ef=，则不等式()2121e0xfx−−−的解集为（）A．(),1−−B．3,2−−C．()1,+D．3,2+【答案】C【分析】根据不

等式()()fxfx构造函数()()xfxgx=e，然后利用函数()gx单调性解不等式即可.【详解】由()()fxfx，得()()0fxfx−构造函数()()xfxgx=e，()()()'0exfxfxgx−=，所以函数()gx在()

,x−+上单调递增，因为()1ef=，所以()11g=不等式()2121e0xfx−−−等价于()21211exfx−−即()()211gxg−，所以()2111,xx−+故选：C.12．设函数()21ln2fxxaxbx=−

−，若1x=是()fx的极大值点，则a的取值范围为（）A．()1,0−B．()1,−+第6页共14页C．()0,+D．()(),10,−−+U【答案】B【详解】()21ln2fxxaxbx=−−,,,由得，()()

()1111axxfxaxaxx+−=−+−=−,若,由,得,当时,,此时单调递增；1x时,,此时单调递减；所以是的极大值点．若,则由,得或．时的极大值点,,解得．综上：,的取值范围时．故选B．【点晴】本题是一道关于函数极值的题目,考虑运用导数求函数的极值．对求导,得,由得,将代入到导

函数中,可得()()()1111axxfxaxaxx+−=−+−=−,接下来分和两种情况,结合函数的单调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可．二、填空题13．复数z满足(1i)3iz+=−，则z的共轭复数z=________.【答案】1i+【分析】先求出复数z，进而求得

其共轭复数．【详解】解：|3i|22(1i)1i1i1i(1i)(1i)z−−====−+++−，1iz=+．故答案为：1i+．14．物体做直线运动，其运动规律是23ntt=+，t为时间，单位是s；n为路程，单位是m，则它在2s第7页共14页时的

瞬时速度为____m/s．【答案】134##134##3.25【分析】对23ntt=+求导，将2t=代入计算即可【详解】由23ntt=+，则232ntt=−所以该物体在2s时的瞬时速度为：23313224442−=−=m/s故答案为：13415．两个非零向量ar，br，

定义||||||sin,ababab=rrrrrr．若(1,0,1)a=r，(0,2,2)b=r，则ab=rr___________．【答案】23【分析】根据新定义及向量夹角公式计算即可.【详解】因为2222112,2222ab=+==+=rr，2ab→→

=，所以21cos,42ababab===rrrrrr，故213sin,1()22ab=−=rr，所以3222232ab==vv，故答案为：2316．若函数()23ln2afxxxx=−在区间(0,)+上有两

个极值点，则实数a的取值范围是______．【答案】1(0,)3【分析】求得()ln13fxxax=+−，根据题意转化为ln13xax+=在(0,)+上有两个不等的实数根，转化为()ln1xgxx+=和3ya=的图象有两个交点，求得()2lnxgxx−=，求得函数的单调

性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数()23ln2afxxxx=−，可得()ln13fxxax=+−，因为函数()fx在区间(0,)+上有两个极值点，即()0fx=在(0,)+上有两个不等的实数根，第8页共14页即

ln13xax+=在(0,)+上有两个不等的实数根，即函数()ln1xgxx+=和3ya=的图象有两个交点，又由()ln1xgxx+=，可得()2lnxgxx−=，当(0,1)x时，()0gx，()gx单调递增；当(1,)

x+时，()0gx，()gx单调递减，所以()()max11gxg==，且当0x→时，()gx→−，当x→+时，()0gx→，所以031a，解得103a，即实数a的取值范围是1(0,)3.故答案为：1(0,)3.三、解答题17．已知Rm,命题:0,1px，不等式2

2321mmxx−−−恒成立；命题:(,0]qx−，使得2xm成立．(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若pq为真，求实数m的取值范围．【答案】(1)1,2(2)(,2−【分析】（1）将

恒成立问题转化为()22min321mmxx−−−，得232mm−−即可解决；（2）根据pq为真，得p为真命题或q为真命题即可解决.【详解】（1）根据题意，命题:0,1px，不等式22321mmxx−−−恒成立

，则有()22min321mmxx−−−，又由0,1x，得()2min212xx−−=−，则有232mm−−，解可得12m，即m的取值范围为1,2；（2）由（1）得p为真命题时实数m的取值范围1,2，若q为真命题，必有()max2xm

，第9页共14页因为(,0x−，则有1m£，若pq为真，则，12m，或1m£2m,故m的取值范围为(,2−18．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA13=，AC126=．(1)求侧棱AA1的长；(2)M，N分别为D1

C1，C1B1的中点，求1ACMNuuuuruuuur及两异面直线AC1和MN的夹角．【答案】(1)4(2)0；90°.【分析】（1）由11ACABADAA=++uuuuruuuruuuruuur平方，再利用数量积的运算性质展开即可得出．（2

）由11ACABADAA=++uuuuruuuruuuruuur，12MN=uuuur（ABAD−uuuruuur），再利用数量积的运算性质展开即可得出．【详解】（1）设侧棱AA1＝x，∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面

ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∴22ABAD==uuuruuur1，21AA=uuurx2，ABuuur•AD=uuur0，ABuuur•12xAA=uuur，ADuuur•12xAA=uuur，又∵11ACABA

DAA=++uuuuruuuruuuruuur，∴1ACuuur2＝（1ABADAA++uuuruuuruuur）22221ABADAA=+++uuuruuuruuur2ABuuur•AD+uuur2ABu

uur•1AA+uuur2ADuuur•1AA=uuur26，∴x2+2x﹣24＝0，∵x＞0，∴x＝4，即侧棱AA1＝4．（2）∵11ACABADAA=++uuuuruuuruuuruuur，1122MNDB==uuuuruuur（ABAD−uuuruuur），第10页共14

页∴112ACMN=uuuuruuuur（ABAD−uuuruuur）•（1ABADAA++uuuruuuruuur）12=（22ABADAB−+uuuruuuruuur•1AAAD−uuuruuur•1AAu

uur）12=（1﹣1+2﹣2）＝0，∴两异面直线AC1和MN的夹角为90°．19．已知3x=是函数2()ln10fxaxxx=+−的一个极值点．(1)求函数()fx的单调区间；(2)若函数()yfxb=

−有且仅有1个零点，求b的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为(0,2)，(3,)+，单调递减区间为(2,3)；(2)()(),12ln32112ln216,−−−+U【分析】（1）由题意(3)0f=，解得12a=，再通过()0fx和()0fx解出函数()fx的单调递增区

间和单调递减区间.（2）根据函数单调性，算出函数极值，通过函数图像判断直线yb=与()yfx=图像有1个交点时b的取值范围．【详解】（1）函数2()ln10fxaxxx=+−的定义域为()0,+()210afxxx=+−，由3x=是函数2()ln

10fxaxxx=+−的一个极值点，则(3)0f=，即61003a+−=，解得12a=；()fx的导数为122(2)(3)()210(0)xxfxxxxx−−=+−=，令()0fx，解得，3x或02x，；令()0fx，解得，23x．则()fx的单调递增区间为(0,2)，

(3,)+，单调递减区间为(2,3)；（2）由于()fx在(0,2)和(3,)+内单调递增，在(2,3)内单调递减，则()fx在2x=处取得极大值，且为12ln216−，在3x=处取得极小值，且为12ln321−由于直线yb=

与()yfx=图像有1个交点，12ln216b−或12ln321b−．故b的取值范围是()(),12ln32112ln216,−−−+U．20．如图所示，ABCD是边长24ABcm=，9ADcm=的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去

边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，M、N是AB上被切去的小正方形的两个顶点，设()AMxcm=.第11页共14页（1）将长方体盒子体积3()Vcm表示成x的函数关系式，并求其定义域；（2）当x为何值时，此长方体盒子体积3()Vcm最大？并求出最大体积.【答案】

（1）32466216Vxxx=−+，90,2；（2）当2x=时长方体盒子体积()3Vcm最大，此时最大体积为3200cm.【分析】（1）分别由题意用x表示长方体的长宽高，代入长方体的体积公式即可表示

该函数关系，再由实际长方体的长宽高都应大于零构建不等式组，即可求得定义域.（2）利用导数分析体积在定义域范围内的单调性，进而求函数的最大值.【详解】长方体盒子长(242)EFxcm=−，宽(92)FGxcm=−，高EExcm=.（1）长方体盒子体积(242)(92)Vxxx=−−，3246621

6Vxxx=−+由02420920xxx−−得902x，故定义域为90,2.（2）由（1）可知长方体盒子体积32466216Vxxx=−+则()()2121322161229Vxxxx=−+=−−，在90,2

x内令0V，解得(0,2)x，故体积V在该区间单调递增；令0V，解得92,2x，故体积V在该区间单调递减；∴V在2x=取得极大值也是最大值.此时323426622162200Vcm=−+=.故当2x=时长方体盒子体积()3Vcm最大，此时最大体积为320

0cm.【点睛】本题考查实际生活中的最优解问题，涉及数学建模与利用导数求函数的最大值，属于简单题.21．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面ABCD，o1,90,2ABBCADBADABC=

===E是PD的中点．（1）证明：直线//CE平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为o45，求二面角MABD−−的余弦值．第12页共14页【答案】（1）见解析；（2）105【详解】试题分析：（1）

取PA的中点F，连结EF，BF，由题意证得CE∥BF，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m=−ur，()0,0,1n=r，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角MABD−−的余弦值为105．试题解

析：（1）取PA中点F，连结EF，BF．因为E为PD的中点，所以//EFAD,12EFAD=,由90BADABC==得//BCAD，又12BCAD=所以．四边形BCEF为平行四边形，//CEBF．又BFPAB平面，CEPAB平面，故//CE

PAB平面(2)由已知得BAAD⊥,以A为坐标原点，ABuuuv的方向为x轴正方向，ABuuuv为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则()000A，，，()100B，，，()110C，，，

()013P，，，()103PC=−uuur，，,()100ABuuuv，，=则()()1,13BMxyzPMxyz=−=−−uuuuvuuuuv，，，，因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而()001n=r，，是底面ABCD的法

向量，所以第13页共14页0,cossin45BMn=ruuuuv，()222z221xyz=−++即（x-1）²+y²-z²=0又M在棱PC上,设,PMPC=uuuuvuuuv则x,1,33yz===−由①，②得()22x=1+x=1-22y=1y=166zz22

=−=舍去，所以M261-,1，22，从而26AM1-,122=uuuuv，设()000x,y,zm=ur是平面ABM的法向量，则()00002-2x2y6z0·AM0·AB0x0mm++==

==uuuuvuuuv即所以可取(0,6,2)m=−ur.于是·10,5mncosmnmn==urrurrurr因此二面角M-AB-D的余弦值为105点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角

不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等，故有|cosθ|＝|cos<m，n>|=·mnmnurrurr．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是

锐角还是钝角．22．设函数()e,xfxaxR=．(1)当1a=时，过原点做()yfx=的切线，求切线方程；(2)不等式()2lnxfxxx−+对于()0,x+恒成立，求a的取值范围．【答案】(

1)eyx=；(2)31ea.【分析】（1）设出切点，根据导数的几何意义，写出切线方程，根据其经过原点，求得切点坐标，第14页共14页则切线方程得解；（2）对目标式分离参数后，构造函数()ln2xxxgxxe+−=，利用导数求得其

最大值，即可求得参数a的取值范围.【详解】（1）根据题意当1a=时，()fx=ex，设切点坐标为()00,xy，则切线斜率为0ex，切线方程为()000ee.xxyxx−=−将()0,0代入切线方程，

解得01x=，故切线方程为eyx=.（2）由()2lnxfxxx−+对于()0,x+恒成立，整理得()2,ln,0exxxaxx+−+；令()ln2exxxgxx+−=则2(1)(3ln)()exxxxgxx+−−=；令()()13ln,10mxxxmxx

=−−=−−；所以()mx单调递减，()()20,30mm；所以()11(2,3),0xmx=；当()()10,,0,xxmx()gx0，()gx单调递增；当()()1,,0xxmx+，()gx0，()gx单调递减.所以()gx的最

大值为()1gx；因为()1113ln0mxxx=−−=，所以13111ln3,exxxx−=−=所以()111131ln21eexxxgxx+−==；故31ea．【点睛】本题考察导数的几何意义，以及利用导数研究恒成立问题，涉

及隐零点问题的处理，解决本题的关键是利用隐零点求得()gx的最大值，属综合中档题.