【文档说明】七年级下册数学讲义第03讲《整式的乘法与平方差公式培优》教案.doc，共(15)页，318.500 KB，由小喜鸽上传

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1学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第03讲---整式的乘法与平方差公式授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握整式的乘法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；②理解平方差公式，了解平

方差公式的几何背景，会灵活运用平方差公式进行计算。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）整式的乘法1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其

余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：()(,,,mabcmambmcmabc都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以

另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：()()(,,,mnabmambnanbmnab都是单项式）体系搭建2（二）平方差公式1、平方差公式：22()()ababab，即两个

数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。公式的推导：2222()()ababaababbab。平方差公式的逆用即22()()ababab平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相

反数。（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。2、平方差公式的几何意义如图两幅图中，阴影部分的面积相等，第一个图的阴影部分的面积是：a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2=

（a+b）（a﹣b）平方差公式的几何意义还有很多，有兴趣的同学可以钻研一下。3、平方差公式的应用。平方差公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等。会涉及到平方差公式的逆用。考点一：整式的乘法例1、下列计算正确的是（）A．（﹣2a）•（3ab﹣2a2b）=﹣6a2b﹣4a3bB．（2ab2）•

（﹣a2+2b2﹣1）=﹣4a3b4C．（abc）•（3a2b﹣2ab2）=3a3b2﹣2a2b3D．（ab）2•（3ab2﹣c）=3a3b4﹣a2b2c【解析】D例2、若（am+1bn）（a2m﹣1b2n）=a5b6（a、b均不等于1和0）则求m+n的值．【解

析】解：（am+1bn）（a2m﹣1b2n）=a3mb3n=a5b6m=，n=2，m+n=+2=例3、阅读下列文字，并解决问题．已知x2y=3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值典例分析3分析：考虑到满足x2y=3的x、y的可能值较多，不可以

逐一代入求解，考虑整体思想，将x2y=3整体代入解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）=2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y=2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y=2×33﹣6×32﹣8×3=﹣24．请你用上述方法解决问题：已知ab=3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）

的值．【解析】（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）=﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab=﹣4×（ab）3+6（ab）2﹣8ab=﹣4×33+6×32﹣8×3=﹣108+54﹣24=﹣78例4、计算：（1）（﹣4ab3）（﹣ab）﹣（a

b2）2（2）（1.25×108）×（﹣8×105）×（﹣3×103）（3）（x2y﹣xy2﹣y3）（﹣4xy2）（4）anb2[3bn﹣1﹣2abn+1+（﹣1）2003]【解析】（1）原式=a2b4（2）原式=3×1017（3）原式=﹣3x3y3+2x2y4+xy5（4）原式=3a

nbn+1﹣2an+1bn+3﹣anb2例5、观察下列各式（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5

+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）=xn+1﹣1③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果【解析】①根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+

x2+x+1）=x7﹣14②根据题意得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）=xn+1﹣1③原式=（2﹣1）（1+2+22+…+234+235）=236﹣1例6、先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：（2a+b）（a十b）=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积

关系来说明（1）根据图2写出一个等式：（2）（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．【解析】①（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2②画出的图形如右图3：（答案不唯一，只要画图正确即得分）考点二：平方差公式例1、已知a=20162

，b=2015×2017，则（）A．a=bB．a＞bC．a＜bD．a≤b【解析】B例2、下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2a﹣b）B．（2a+b）（b﹣2a）C．（2a+b）（﹣2a﹣b）D．（2a﹣b）（﹣2a﹣b

）【解析】C例3、小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上有【解析】本题是平方差公式的逆用，把原式分母中200320012+200320032﹣2变形为（200320012﹣1）+（200320032﹣1

），利用a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）计算原式=图35=例4、计算：（1）（x+2）（x﹣2）（x2+4）（2）（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣b）（3）（4）4002﹣399×401（5）（2x﹣3y）（3y+

2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y）（6）（x+y）（x-y）+（2x+y）（2x-y）【解析】（1）原式=x4﹣16（2）原式=﹣b2+4ab（3）原式=12.32（4）原式=1（5）原式=13x2﹣25y2（6）原式=5x2-2y2例5、若（N+2005）2=123456789，求（N+20

15）（N+1995）的值．【解析】解：∵（N+2015）（N+1995）=[（N+2005）+10][（N+2005）﹣10]=（N+2005）2﹣102（N+2005）2=123456789∴原式=123456789﹣100=12345668

9例6、两个两位数的十位数字相同，一个数的个位数字是6，另一个数的个位数字是4，它们的平方差是220，求这两个两位数．【解析】解：设这两个两位数的十位数字是x，则这个两位数依次表示为10x+6，10x+4，∴（10x+6）2﹣（10x+4）2=220

解得：x=56∴这个两位数分别是56和54例7、阅读下列材料：某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+

1）=162﹣1很受启发，后来在求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）的值时，又改造此法，将乘积式前面乘以1，且把1写为2﹣1得（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（2

﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（22048﹣1）（22048+1）=24096﹣1回答下列问题：（

1）请借鉴该同学的经验，计算：；（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：．【解析】（1）原式=2（1﹣）（1+）…（1+）+，=2（1﹣）+，=2﹣+=2（2）=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）=××××…××=

×=考点三：平方差公式的几何意义例1、乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）7（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，

计算：①10.3×9.7②（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）【解析】（1）a2﹣b2（2）宽是：a﹣b，长是：a+b，面积是：（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（4）10.3×9.7=（10+0.3

）（10﹣0.3）=100﹣0.09=99.91（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）=[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）]=x2﹣（2y﹣3）2=x2﹣（4y2﹣12y+9）=x2﹣4y2+12y﹣9例

2、如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．【解

析】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，∴S1=a2﹣b2S2=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；（2）根据题意得：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2例3、如图，边长为a的大正方形是由

边长为b的小正方形和四个全等的梯形拼成的，请利用此图证明平方差公式【解析】先求出梯形的高为（a﹣2b），再根据四个梯形的面积列出等式整理即可得证．证明：∵四个梯形是全等梯形，8∴梯形的高为∴四个梯形的面积=4××（a+b）×=a2﹣b2整理得（a+b）（a﹣b）=a

2﹣b2P(Practice-Oriented)——实战演练课堂狙击1、下列运算中，正确的是（）A．2x4﹣3x2=﹣x2B．2x4+3x2=5x6C．2x4•3x2=6x8D．2x4•3x2=6x6【解析】D2、设（xm﹣1yn+2

）•（x5my﹣2）=x5y3，则nm的值为．【解析】解：∵（xm﹣1yn+2）•（x5my﹣2）=xm﹣1+5myn+2﹣2=x5y3∴m﹣1+5m=5，n+2﹣2=3解得m=1，n=3∴nm=31=33、某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算

符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？【解析】这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）=4x2﹣4x+1正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1）•（﹣3x2）=﹣12x4

+12x3﹣3x24、若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项（1）求p、q的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值【解析】解：（1）（x2+px﹣）

（x2﹣3x+q）=x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣）x2+（qp+1）x+q，∵积中不含x项与x3项，实战演练9∴P﹣3=0，qp+1=0∴p=3，q=﹣，（2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p

2012q2014=[﹣2×32×（﹣）]2++×（﹣）2=355、计算：（1）（﹣4xy3）•（xy）+（﹣3xy2）2（2）3（3m﹣n）2•（3m﹣n）3•（n﹣3m）（3）（4）（﹣2x3y）•（3xy2﹣4xy+1）（5）（3x

﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）（6）（2x2﹣4）（2x﹣1﹣x）【解析】（1）原式=7x2y4（2）原式==﹣（3m﹣n）6（3）原式=﹣x4y4z﹣3x4y4z=﹣x4y4z（4）原式=﹣6x4y3+8x4y2﹣2x3y（5）原式=3x2﹣6x+2（6

）原式=x3﹣2x2﹣2x+46、已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数【解析】解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）=mx

m+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，因为该多项式是四次多项式，所以m+2=4，解得：m=2，10原式=2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣

3n）x﹣2∵多项式不含二次项∴3+12n=0，解得：n=，所以一次项系数8﹣3n=8.757、若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的展开式中不含x2和x3项，求m，n的值【解析】解：原式的展开式中，含x2的项是：mx2+3x2﹣3nx2=（m+3﹣3n）x2含x3的项是：

﹣3x3+nx3=（n﹣3）x3由题意得：，解得8、化简求值：已知：（x+a）（x﹣）的结果中不含关于字母x的一次项，求（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）的值．【解析】（x+a）（x﹣）=x2+ax﹣x﹣a=x2+（a﹣）x﹣a由题意得a﹣=0则a=（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣

a﹣1）=a2+4a+4+1﹣a2=4a+5当a=时，原式=4×+5=119、如图（1）所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图（2）是由图（1）中阴影部分拼成的一个长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：a2﹣b2、（a+b）（a

﹣b）（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．【解析】（1）∵大正方形的面积为a

2，小正方形的面积为b2，故图（1）阴影部分的面积值为：a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积值为：（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）11（2）以上结果可以验证乘法公式：a2﹣b

2=（a+b）（a﹣b）故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（3）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=264﹣1+1=264课后反击1、下列各题，计算正确的是（）A．﹣3a2•4a3=﹣12a6B．（x3）2=x9C．（﹣3m3）

3=﹣9mx9D．（﹣xn）2=x2n【解析】D2、化简：3（x﹣y）2•[﹣（y﹣x）3][﹣（x﹣y）4]【解析】原式=3（x﹣y）2•[﹣（y﹣x）3][﹣（x﹣y）4]=3（y﹣x）2•[﹣（y﹣x）3][﹣（y﹣x）4]=3×（﹣）×（﹣）×（

y﹣x）9=（y﹣x）93、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．2a（a+b）=2a2+2abD．（a+b）（a﹣b）=a2﹣

b2【解析】C4、计算：（1）（﹣a2b）（b2﹣a+）（2）﹣6a3b•（﹣2ab2c）12（3）﹣2a2b（3ab2﹣ab﹣1）（4）（5a2﹣a+1）（﹣3a2）【解析】（1）原式=﹣a2b3+a3b﹣a2b（2）原式=

12a4b3c（3）原式=﹣6a3b3+2a3b2+2a2b（4）原式=﹣15a4+a3﹣3a25、某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？【解析】∵计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错

运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，∴这个多项式为：a2+2a﹣1+2a=a2+4a﹣1，∴正确的计算结果是：﹣2a（a2+4a﹣1）=﹣2a3﹣8a2+2a6、（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）（2）（3+1）（32+

1）（34+1）…（32014+1）﹣（3）【解析】解：（1）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（24﹣1）（24+1）…（22n+1）+1=24n﹣1+1=24n（2）原式=（3﹣1）（

3+1）（32+1）（34+1）…（32014+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（32014+1）﹣=（34028﹣1）﹣=﹣13（3）原式=======﹣7、如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同长方形的

两边长（x＞y），给出以下关系式：①x+y=m；②x﹣y=n；③xy=．其中正确的关系式的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】解：由图形可得：①大正方形的边长=长方形的长+长方形的宽，故x+y=m正确；②小正方形的边长=长方形的长一长方形的宽，故x﹣y=n正确；③

大正方形的面积一小正方形的面积=4个长方形的面积，故xy=正确，所以正确的个数为3，选D1、【2016常州】先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=．【解析】解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2=x2﹣2x﹣x+2﹣x2

﹣2x﹣1=﹣5x+1直击中考14当x=时，原式=﹣5×+1=﹣2、【2015珠海】计算﹣3a2×a3的结果为（）A．﹣3a5B．3a6C．﹣3a6D．3a5【解析】A3、【2015佛山】若（x+2）（x

﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（）A．1B．﹣2C．﹣1D．2【解析】CS(Summary-Embedded)——归纳总结1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如53()a是3个5a相乘，读作a的五次幂的三次方，()mna是n个ma相乘，读作a的m次幂

的n次方。2、幂的乘方的运算性质：()(,mnmnaamn都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为()(,,pmnmnpaamnp都是正整数）3、幂的乘方的运算性质的逆用：()()(,m

nmnnmaaamn都是正整数）1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如3()()nabab、等2、积的乘方的运算性质：()(nnnababn是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个

因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为()(nnnnabcabcn是正整数）3、积的乘方的运算性质的逆用：()(nnnababn是正整数）本节课我学到了重点回顾名师点拨学霸经验15我需要努力的地方是