【文档说明】数学高中必修第一册《5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）》导学案-统编人教A版.docx，共(9)页，390.590 KB，由小喜鸽上传

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1第五章三角函数5.6函数y=Asin（ωx+φ）的图像1．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sinx的图象进行交换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．2．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图；能根据y＝A

sin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．3．求函数解析式时φ值的确定．重点：将考察参数Α、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响的问题进行分解，找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变

换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图.难点：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．1.函数，（其中）的图象，可以看作是正弦

曲线上所有的点_________（当>0时）或______________（当<0时）平行移动个单位长度而得到.2.函数（其中>0且）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标______________（当>1时）

或______________（当0<<1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到.3.函数>0且A1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标___________（当A>1时）或__________（当0<

A<1）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx的值域为______________.最大值为______________，最小值为______________.4.函数其中的（A>0,>0

）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点___________（当>0时）或___________（当<0时）平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标____________（当>1时）或____________（当0<<1）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各

点的纵横坐标____________（当A>1时）或_________（当0<A<1时到原来的A倍（横坐标不变）而得到.[来源:学+科+网]2提出问题上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如y=Asi

n（ωx+φ）其中（A＞０，ω＞０）的函数．显然，这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质．从解析式看，函数就是函数y＝Asin(ωx＋φ)在A＝１，ω＝１，φ＝０时的特殊情形．(1)能否借助我们熟悉的函数的图象

与性质研究参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响？(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究.1.探索φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响为了更加直观地观察参数φ对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验．如图5.6

.4，取A＝１，ω＝１，动点M在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动．图5.6.4如果动点M以为起点（此时φ＝０），经过xｓ后运动到点P，那么点P的纵坐标y就等于sinx．以（x，y）为坐标描点，可得正弦函数y=sinx

的图象．在单位圆上拖动起点，使点绕点旋转到，你发现图象有什么变化？如果使点绕点旋转-,,-，或者旋转一个任意角φ呢当起点位于时，φ=，可得函数y＝sin(x＋)的图象．进一步，在单位圆上，设两个动点分别以，为起点同时

开始运动．如果以为起点的动点到达圆周上点P的时间为xｓ，那么以为起点的动点相继到达点P的时间是(x-ｓ．这个规律反映在图象上就是：如果F（x，y）是函数y＝sinx图象上的一点，那么G(x-,y)就是函数y＝sin(x3＋)图象

上的点，如图5.6-4所示．这说明，把正弦曲线y＝sinx上的所有点向左平移个单位长度，就得到y＝sin(x＋)的图象．分别说一说旋转-,,-时的情况．一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y＝sin(x＋φ)(φ0)，把正弦曲线上的所有点向左（当φ＞０时）

或向右（当φ＜０时）平移|φ|个单位长度，就得到函数y＝sin(x＋φ)的图象．2.探索ω（ω＞０）对y=sin（ωx+φ）图象的影响下面，仍然通过数学实验来探索．如图5.6.5，取圆的半径A=1．为了研究方便，不妨令φ＝．当ω＝１时得到y＝sin(x＋)的图象．取ω＝２，图象有什么变化

？取ω＝呢？取ω＝３，ω＝，图象又有什么变化？当ω取任意正数呢?取ω＝２时，得到函数y＝sin(2x＋)的图象．进一步，在单位圆上，设以为起点的动点，当ω＝１时到达点P的时间为ｓ，当ω＝２时到达点P的时间为ｓ．因为ω＝２时动点的转速是ω＝１时的２倍，所以

＝．这样，设G（x，y）是函数y＝sin(x＋)图象上的一点，那么K（，y）就是函数y＝sin(2x＋)图象上的相应点，如图5.6-5示．这说明，把y＝sin(x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），就得到y＝sin(2x＋)的图象．y＝sin(2x＋)的周期为，是y＝

sin(x＋)的周期的倍．4同理，当ω＝时，动点的转速是ω＝１时的倍，以为起点，到达点P的时间是ω＝１时的２倍．这样，把y＝sin(x＋)图象上所有点的横坐标扩大到原来的２倍（纵坐标不变），就得到y＝sin(x＋)的图象．y＝sin

(x＋)的周期为４π，是y＝sin(x＋)的周期的２倍．一般地，函数的周期是，把y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标缩短（当ω＞１时）或伸长（当０＜ω＜１时）到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图象．3.探索A（A＞０）

对y=sin（ωx+φ）图象的影响下面通过数学实验探索A对函数图象的影响．为了研究方便，不妨令ω=2,φ．当A＝１时，如图5.6.6，可得y=sin（2x+）的图象．改变A的取值，使A取２，，３,等，你发现

图象有什么变化？当A取任意正数呢?当A＝２时，得到函数y=2sin（2x+）的图象．进一步，设射线与以为圆心、２为半径的圆交于．如果单位圆上以为起点的动点，以ω＝２的转速经过xｓ到达圆周上点P，那么点P的纵坐标是2sin（2x+）；相应地，点在以为圆

心、２为半径的圆上运动到点T，点T的纵坐标是2sin（2x+）．这样，设K（x，y）是函数y=sin（2x+）图象上的一点，那么点N（x，2y）就是函5数图象y=2sin（2x+）上的相应点，如图5.6.6所示．这说明，把y=sin（2x+）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的２倍（横坐标不变），就

得到y=2sin（2x+）的图象．同理，把y=sin（2x+）图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），就得到y=sin（2x+）的图象．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝As

in(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞１时）或缩短（当０＜A＜１时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到．从而，函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是［－A，A］，最大值是A，最小值是－A你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到

y＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）图象的过程与方法吗?一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数y＝sinx的图象；再把正弦曲线向左（或右）平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后把曲线

上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．典例解析例１画出函数y=sin（3x-）的简图．例2摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设

施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图5.6.9，某摩天轮最高点距离地面高度为120ｍ，转盘直径为110ｍ，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要

30min．6（１）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hｍ，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（２）求游客甲在开始转动５min后距离地面的高度；（３）若甲、乙两人分别坐在两

个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：ｍ）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到０．１）1．函数y＝3sinπ2x＋π4的振幅和周期分别为()A．3,4B．3，π2C.π2，4D.π2，32．将函数y＝sinx－π3的图象

上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为()A．y＝sin12x－π3B．y＝sin2x－π6C．y＝sin12xD

．y＝sin12x－π63．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是2π7，初相是π6，则这个函数的表达式是()A．y＝3sin7x－π6B．y＝3sin7x＋π6C．y＝3sin7x＋π42D．y＝3sin

7x－π424．函数y＝2sinx＋π3图象的一条对称轴是____．(填序号)①x＝－π2；②x＝0；③x＝π6；④x＝－π6.5．已知函数f(x)＝2sin2x－π6，x∈R.(1)写

出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值.71.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生

凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+)的图象,并分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.参考答案：一、知识梳理二、学习过程例１解：先画出函数y=sinx的图

象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的２倍，这时的曲线就是函数y=sin（3x-）的图象，如图5.6.7所示．下面用“五点法”画函数y=sin（3x-

）在一个周期（）内的图象．令X＝3x-，则x＝（X+）列表（表5.6.1），描点画图（图5.6.8）8例2分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转．在旋转过程中，游客距离地面的高度犎呈现周

而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画．解：如图5.6.10，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．（１）设时，游客甲位于点P（0，-55），以OP为终边的角为-；根据摩天轮转

一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为πrad／min，由题意可得H=55sin（t-）+65,（２）当＝５时，H=55sin（-）+65=37.5所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5ｍ．（３）如图5.6.10,甲、乙两人的位

置分别用点A,B表示，则∠AOB＝＝．经过后甲距离地面的高度为=55sin（t-）+65，点B相对于点A始终落后rad，此时乙距离地面的高度为=55sin（t-）+65．则甲、乙距离地面的高度差||=

55|sin（-）sin（-|=55|sin（-）sin（|,利用，可得=110|sinsin（|,当=（或），即≈7.8（或22.8）时，的最大值为110sin≈7.2．所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2ｍ．三、达

标检测1．【解析】由于函数y＝3sinπ2x＋π4，∴振幅是3，周期T＝2ππ2＝4.【答案】A92．【解析】函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y＝sin

12x－π3的图象，再将此图象向左平移π3个单位，得y＝sin12x＋π3－π3＝sin12x－π6的图象，选D.【答案】D3．【解析】由已知得A＝3，T＝2π7，φ＝π6，ω＝2πT＝7，所以y＝3sin7x＋π6.故选

B.【答案】B4．【解析】由正弦函数对称轴可知．x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，x＝kπ＋π6，k∈Z，k＝0时，x＝π6.【答案】③5．【解】(1)由2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝π3＋k2π，k∈Z；由2x－π6＝kπ，

k∈Z解得对称中心是π12＋k2π，0，k∈Z；由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z解得单调递增区间是－π6＋kπ，π3＋kπ，k∈Z；由2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋32π，k∈Z，解得单调递减区间是π3＋kπ，5π6＋kπ，k∈Z.(2)

∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤56π，∴当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取最大值为2.