【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题9　系列4选讲 第42练 含答案.doc，共(9)页，84.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第42练不等式选讲[题型分析·高考展望]本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本

运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.体验高考1.(2016·课标全国甲)已知函数f(x)＝x－12＋x＋12，M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.(1)解f(x)＝－2x，x≤－12

，1，－12<x<12，2x，x≥12.当x≤－12时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1，所以－1<x≤－12；当－12<x<12时，f(x)<2；当x≥12时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1，所以，－12<x<1.所以f(

x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}.(2)证明由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.2.(2016·课标全国丙

)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|

＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝12时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥

3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞).高考必会题型题型一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f(

x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a；(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求

解.例1已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值.解(1)当a＝2时，f(x)＋

|x－4|＝－2x＋6，x≤2，2，2＜x＜4，2x－6，x≥4.当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；所以f(

x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝－2a，x≤0，4x－2a，0＜x＜a，2a，x≥a.由|h(x)|≤2，解得a－12≤x≤a＋12.又已知|h(x)

|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以a－12＝1，a＋12＝2，于是a＝3.点评(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对

值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.变式训练1已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集.(1)证明f(x)＝|x－2|－|x－5|＝

－3，x≤2，2x－7，2<x<5，3，x≥5.当2<x<5时，－3<2x－7<3.所以－3≤f(x)≤3.(2)解由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2<x<5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x<5}；当x≥5

时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}.综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}.题型二不等式的证明1.含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|

＋|b|.2.算术—几何平均不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立.定理2：如果a、b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立.定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.定理4：

(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，„，an为n个正数，则a1＋a2＋„＋ann≥na1a2„an，当且仅当a1＝a2＝„＝an时，等号成立.例2(1)已知x，y均为正数，且x>y.求证：2x＋1x2－2xy＋y

2≥2y＋3.(2)已知实数x，y满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，求证：|y|<518.证明(1)因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1x－y2＝(x－y)＋

(x－y)＋1x－y2≥33x－y21x－y2＝3，所以2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.(2)因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<13，|2x－y|<16，从而3|y|<23＋1

6＝56，所以|y|<518.点评(1)作差法应该是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论.关键是代数式的变形能力.(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常

用的推证技巧.变式训练2(1)若a，b∈R，求证：|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.(2)已知a，b，c均为正数，a＋b＝1，求证：a2b＋b2c＋c2a≥1.证明(1)当|a＋b|＝0时，不等式显然成立.当|a＋b|≠0时，由0<|a＋b|≤|a|

＋|b|⇒1|a＋b|≥1|a|＋|b|，所以|a＋b|1＋|a＋b|＝11|a＋b|＋1≤11＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b|1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋

c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，所以a2b＋b2c＋c2a≥1.题型三柯西不等式的应用柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立.(2)设a1，a2，a3，„

，an，b1，b2，b3，„，bn是实数，则(a21＋a22＋„＋a2n)(b21＋b22＋„＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，„，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，„，n)时，等号成立.例3(201

5·福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求14a2＋19b2＋c2的最小值.解(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b

时，等号成立.又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得14a2＋19b2＋c2(4＋9＋1)≥a2×2＋b3×3＋c×12＝(a＋b＋c)2＝16，即1

4a2＋19b2＋c2≥87.当且仅当12a2＝13b3＝c1，即a＝87，b＝187，c＝27时等号成立.故14a2＋19b2＋c2的最小值为87.点评(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，

当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a21＋a22＋„＋a2n)(1a21＋1a22＋„＋1a2n)≥(1＋1＋„＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.变式训练3已知定义

在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.(1)解因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|

＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证明由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r

)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.高考题型精练1.如果关于x的不等式|x－3|－|x－4|<a的解集不是空集，求实数a的取值范围.解设y＝|x－3|－|x－4|，则y＝－1，x≤3，2x－7，3<x<4，1，x≥4的图象如图所示：若|x－3|－|x－4|<a的

解集不是空集，则(|x－3|－|x－4|)min<a.由图象可知当a>－1时，不等式的解集不是空集.即实数a的取值范围是(－1，＋∞).2.设x>0，y>0，若不等式1x＋1y＋λx＋y≥0恒成立，求实数λ的最小值.解∵x>0，y>0，∴原不等式可化为－λ≤(1x＋1y)·(x＋y)＝2

＋yx＋xy.∵2＋yx＋xy≥2＋2yx·xy＝4，当且仅当x＝y时等号成立.∴[(1x＋1y)(x＋y)]min＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.3.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋12a＋2对任意实数x恒

成立，求实数a的取值范围.解设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝－3x－1，x<－2，－x＋3，－2≤x<12，3x＋1，x≥12.当x<－2时，y＝－3x－1>5；当－2≤x<12时，y＝－x＋3>52；当x≥12时，y＝3x＋

1≥52，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为52.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋12a＋2对任意实数x恒成立，所以52≥a2＋12a＋2.解不等式52≥a2＋12a＋2，得－1≤a≤12，故a的取值范围为[－1，12].4.设不等式|x－2|<a(a∈N

*)的解集为A，且32∈A，12∉A，(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值.解(1)因为32∈A，且12∉A，所以32－2<a，且12－2≥a，解得12<a≤32.又因为a∈

N*，所以a＝1.(2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.5.已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集为M.(1)求M

；(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|<|4＋ab|.(1)解f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝－2x，x<－1，2，－1≤x≤1，2x，x>1.当x<－1时，由－2x<4，得－2<x<－1；当－1≤x≤1时，f(x)＝2<4；当x>1

时，由2x<4，得1<x<2.∴综上可得－2<x<2，即M＝(－2，2).(2)证明∵a，b∈M，即－2<a<2，－2<b<2，∴4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)＝(a2－4)(4－b2)<0，

∴4(a＋b)2<(4＋ab)2，∴2|a＋b|<|4＋ab|.6.已知a2＋2b2＋3c2＝6，若存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立，求实数x的取值范围.解由柯西不等式知[12＋(2)2＋(3)2][a2＋(2b)2＋(3c)2]≥(1·a＋2·2b＋3·

3c)2即6×(a2＋2b2＋3c2)≥(a＋2b＋3c)2.又∵a2＋2b2＋3c2＝6，∴6×6≥(a＋2b＋3c)2，∴－6≤a＋2b＋3c≤6，∵存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立.∴|x＋1|<6，∴－

7<x<5.∴x的取值范围是{x|－7<x<5}.7.设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值.解(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥

2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}.(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组x≥a，x－a＋3x≤0或x<a，a－x＋3x≤0，即

x≥a，x≤a4或x<a，x≤－a2.因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－a2}.由题设可得－a2＝－1，故a＝2.8.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a

|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.解(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<

1时，不等式化为3x－2>0，解得23<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为x23<x<2.(2)由题设可得，f(x)＝x－1－2a，x<－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，x>

a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取

值范围为(2，＋∞).