【文档说明】高考数学二轮复习课时跟踪检测03三角恒等变换与解三角形小题练 理数（含答案）.doc，共(8)页，115.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-75633.html

以下为本文档部分文字说明：

课时跟踪检测（三）三角恒等变换与解三角形（小题练）A级——12＋4提速练一、选择题1．(2018·河北保定一模)已知cosα＋π3＝sinα－π3，则tanα的值为()A．－1B

．1C.3D．－3解析：选B由已知得12cosα－32sinα＝12sinα－32cosα，整理得12＋32sinα＝12＋32cosα，即sinα＝cosα，故tanα＝1.2．(2018·福州模拟)3cos15°－4sin215°cos15°＝()A.12

B.22C．1D.2解析：选D3cos15°－4sin215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°cos15°＝3cos15°－2sin15°·sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(

15°＋30°)＝2cos45°＝2.故选D.3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25解析：选A∵cosC2＝55，∴cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.在

△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，∴AB＝42.4．(2018·唐山模拟)已知α是第三象限的角，且tanα＝2，则sinα

＋π4＝()A．－1010B.1010C．－31010D.31010解析：选C因为α是第三象限的角，tanα＝2，且sinαcosα＝tanα，sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－11＋tan2α＝－55，sinα＝－255，则sinα＋π4＝s

inαcosπ4＋cosαsinπ4＝－255×22－55×22＝－31010，选C.5．(2018·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcosC＝2a＋c，则B＝()A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：选D因为2bcosC＝2a＋c，所以由正弦定理可得2s

inBcosC＝2sinA＋sinC＝2sin(B＋C)＋sinC＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinC，即2cosBsinC＝－sinC，又sinC≠0，所以cosB＝－12，又0<B<π，所以B＝2π3，故选D.6．已知3cos2α＝4sin

π4－α，α∈π4，π，则sin2α＝()A.79B．－79C.19D．－19解析：选D由题意知3(cos2α－sin2α)＝22(cosα－sinα)，由于α∈π4，π，因而cosα≠sinα，则3(cosα＋sinα)＝22，那么9(1＋sin

2α)＝8，sin2α＝－19.7．(2019届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于()A.34B.43C．－

43D．－34解析：选C因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，由面积公式与余弦定理，得absinC＝2abcosC＋2ab，即sinC－2cosC＝2，所以(sinC－2cosC)2＝4，sin2C－4sinCcosC＋4co

s2Csin2C＋cos2C＝4，所以tan2C－4tanC＋4tan2C＋1＝4，解得tanC＝－43或tanC＝0(舍去)．8．(2018·洛阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2

＝c2＋ac－bc，则cbsinB＝()A.32B.233C.33D.3解析：选B由a，b，c成等比数列得b2＝ac，则有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，故A＝π3.对

于b2＝ac，由正弦定理，得sin2B＝sinAsinC＝32·sinC，由正弦定理，得cbsinB＝sinCsin2B＝sinC32sinC＝233.故选B.9．(2019届高三·广西三市联考)已知x∈(0，π)，且cos

2x－π2＝sin2x，则tanx－π4＝()A.13B．－13C．3D．－3解析：选A由cos2x－π2＝sin2x得sin2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴tanx＝2，∴tanx－π4＝tanx－11＋tanx＝13.10．(20

18·广东佛山二模)已知tanα＋π4＝34，则cos2π4－α＝()A.725B.925C.1625D.2425解析：选B由tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝34，解得tanα＝－17，所以cos2

π4－α＝1＋cosπ2－2α2＝1＋sin2α2＝12＋sinαcosα，又sinαcosα＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝－750，故12＋sinαcosα＝925.11．(2018·福州模拟)已知m＝α＋β＋γα－β＋γ，若sin[2(α

＋γ)]＝3sin2β，则m＝()A.12B.34C.32D．2解析：选D设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B，因为sin[2(α＋γ)]＝3sin2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sinAcosB＋cosAsinB＝3(sin

AcosB－cosAsinB)，即2cosAsinB＝sinAcosB，所以tanA＝2tanB，所以m＝tanAtanB＝2.12．(2018·南宁、柳州联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1

，b＋2ccosA＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为()A．2＋3B．2＋2C．3D．3＋2解析：选A由已知b＋2ccosA＝0，得b＋2c·b2＋c2－a22bc＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋3c24ac≥23ac4ac＝32，当

且仅当a＝3c时等号成立，此时角B取得最大值，将a＝3c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝3.故△ABC的周长为2＋3.故选A.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝________.解析：tan

α－5π4＝tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.答案：3214．(2018·贵州模拟)如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2

a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为________海里．解析：依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC中，由余弦定理知AB＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°

＝7a2＝7a.即灯塔A与灯塔B的距离为7a海里．答案：7a15．(2018·贵州模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝4，asinB＝3bcosA，若△ABC的面积S＝43，则b＋c＝________.解析：由正弦定理，得sinAsinB＝3

sinBcosA，又sinB≠0，∴tanA＝3，∴A＝π3.由S＝12bc×32＝43，得bc＝16，由余弦定理得，16＝b2＋c2－bc，∴c2＋b2＝32，∴b＋c＝8.答案：816.(2018·成都模拟)如图，在直角梯形ABDE中，已

知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－3，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC＝45°，则线段DE的长度为________．解析：易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，在直角三角形ABC中，AC＝ABsin15°，在三角形AEC中，ACsin30°＝CEsin

45°⇒CE＝ACsin45°sin30°，在直角三角形CED中，DE＝CEsin60°，所以DE＝CEsin60°＝sin45°sin60°sin30°×ABsin15°＝22×3212×3－36－24＝6.答案：6B级——难度小题强化练1．已知sinθ＋cosθ＝

2sinα，sin2θ＝2sin2β，则()A．cosβ＝2cosαB．cos2β＝2cos2αC．cos2β＝2cos2αD．cos2β＝－2cos2α解析：选C由同角三角函数的基本关系可得sin2θ＋cos2θ＝1，所以(si

nθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝1＋sin2θ.由已知可得(2sinα)2＝1＋2sin2β，即4sin2α＝1＋2sin2β.由二倍角公式可得4×1－cos2α2＝1＋2×1－cos2β2，

整理得cos2β＝2cos2α.故选C.2．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为()A.0，π2B.π4，π2

C.π6，π3D.π3，π2解析：选D由题意得sin2A<sin2B＋sin2C，由正弦定理得a2<b2＋c2，即b2＋c2－a2>0，则cosA＝b2＋c2－a22bc>0.因为0<A<π，所以0<A<π2，又a是最大边，所以A>π3，即角A的取值范围为

π3，π2.故选D.3．(2018·唐山统考)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为()A.32

B.233C.32D.23解析：选B如图，设物体的运动速度为v，则PQ＝v，QR＝2v，因为∠POQ＝90°，∠QOR＝30°，所以∠POR＝120°，P＋R＝60°，所以R＝60°－P.在Rt△OPQ中，OQ＝

vsinP．在△OQR中，由正弦定理得OQ＝QR·sinRsin∠ROQ＝4v·sinR＝4vsin(60°－P)＝23vcosP－2vsinP．所以有23vcosP－2vsinP＝vsinP，即23vcosP＝3vsinP，所以tanP＝233，所以选B.4．(2018·

成都模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，△ABC的外接圆半径为3.则△ABC面积的最大值为()A.38B.34C.938D.93

4解析：选D由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝23，所以sinA＝a23，sinB＝b23，sinC＝c23，将其代入23(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又0<C<π，所以C＝π3

.于是S△ABC＝12absinC＝12×23sinA×23sinB×sinπ3＝33sinAsinB＝332[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝332[cos(A－B)＋cosC]＝332cos(A－B)＋33

4.当A＝B＝π3时，S△ABC取得最大值，最大值为934，故选D.5．定义运算abcd＝ad－bc.若cosα＝17，sinαsinβcosαcosβ＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.解析

：依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin2α－β＝1314，而cosα＝17，∴sinα＝437，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαc

os(α－β)－cosαsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3.答案：π36.(2018·四川成都模拟)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝π3，若△ADC是锐角三角形，则DA＋D

C的取值范围为________．解析：设∠ACD＝θ，则∠CAD＝2π3－θ，根据条件及余弦定理计算得AC＝23.在△ACD中，由正弦定理得ADsinθ＝CDsin2π3－θ＝23sinπ3＝4，∴AD＝4sinθ，CD＝4sin2π3－θ，∴DA＋DC＝

4sinθ＋sin2π3－θ＝4sinθ＋32cosθ＋12sinθ＝432sinθ＋32cosθ＝4332sinθ＋12cosθ＝43sinθ＋π6.∵

△ACD是锐角三角形，∴θ和2π3－θ均为锐角，∴θ∈π6，π2，∴θ＋π6∈π3，2π3，∴sinθ＋π6∈32，1.∴DA＋DC＝43sinθ＋π6∈(]6，43.

答案：(6,43]