【文档说明】高考理数考前20天终极冲刺攻略： 立体几何与空间向量 含答案解析.doc，共(15)页，938.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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核心考点解读——立体几何与空间向量平面的基本性质(I)空间点、线、面的位置关系（II）空间直线、平面平行的判定定理与性质定理（II）空间直线、平面垂直的判定定理与性质定理（II）空间向量在立体几何中的应用（II）1.从考查题型来看，涉及本知

识点的选择题、填空题一般从宏观的角度，结合实际观察、判断空间点、线、面的位置关系，确定命题的真假；解答题中则从微观的角度，严密推导线面平行、垂直，利用空间向量的有关形式表示、求解空间的距离、夹角等.2.从考查内容来看，主要考查空间点、

线、面位置关系的命题的判断及证明，重点是根据平行、垂直的判定定理与性质定理证明线面平行、垂直，难点则是如何计算空间中有关角与距离的问题.3.从考查热点来看，证明空间线面平行、垂直是高考命题的热点，结合平行、垂直的判定定理及性质定理，通过添加辅助线的方式证明是常考的方式.要

注意结合空间几何体的特征严格推理论证.1.平面的基本性质(1)熟悉三个公理的三种语言的描述（自然语言、图形语言、符号语言），明白各自的作用，能够依据这三个公理及其推论对点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系作简单的判断.(2)掌握确定一个平面的依

据：不共线的三点确定一个平面、直线与直线外一点确定一个平面、两相交直线确定一个平面、两平行直线确定一个平面.2.空间直线、平面的位置关系(1)空间两条直线与直线的位置关系：相交、平行、异面.判断依据：是否在同一个平面上；公共点的个数情况.理解平行公理与等角定理：平行公

理：平行于同一条直线的两条直线平行；等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.(2)直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行或相交判断依据：直线与平面的公共点的个数.理解直线与平面平行的定义.(3)空间两个平面的位置关系：相交、平行判断依

据：没有公共点则平行，有一条公共直线则相交.3.空间直线、平面平行的判定定理与性质定理(1)线面平行的判定定理与性质定理1)线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与平面平行.符号语言：,,////ababa.要判定直线与平面平

行，只需证明直线平行于平面内的一条直线.2)线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线与该直线平行.符号语言：//,,//aabab.当直线与平面平行时，直线与平面内的直线不一定平行，只有在

两条直线共面时才平行.3)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号语言：//,//,,,//abababP.要使两个平面平行，只需证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面

平行即可，这里的直线需是相交直线.4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：//,,//mnmn.5)平行关系的转化判定判定性质性质线线平行线面平行面面平行(2)直线、平面垂直的判定

定理与性质定理1)线面垂直的判定定理：如果直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线与平面垂直.符号语言：,,,,lalbababPl.要判定直线与平面垂直，只需判定直线垂直于平面内的两条相交直线即可.2)线面垂直的性质定理：垂直于同一

个平面的两条直线平行.符号语言：,//abab.此性质反映了平行、垂直之间的关系，也可以获得以下推论：两直线平行，若其中一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直.3)面面垂直的判定定理

：若直线垂直于平面，则过该直线的平面与已知平面垂直.符号语言：,aa.要证明平面与平面垂直，关键是在其中一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线.4)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,mnnmn

.要通过平面与平面垂直推理得到直线与平面垂直，必须满足直线垂直于这两个平面的交线.5)垂直关系的转化判定判定性质性质线线垂直线面垂直面面垂直4.空间向量在立体几何中的应用(1)空间向量的坐标运算设123123(,,),(,,)

aaabbbab，则112233(,,)abababab，123(,,)()aaaRa，112233abababab，112233,,()bababaRabba，1122330abababab

ab，2222123aaaaa，112233222222123123cos,abababaaabbbababab.空间111222(,,),(,,)AxyzBxyz两点间的距离为222121212()()

()ABdxxyyzz.注意上述空间向量坐标运算公式的正确应用.(2)直线的方向向量与平面的法向量i)直线的方向向量：与直线l平行的向量，记作l.ii)平面的法向量：若直线l，则该直线l的方向向量即为该平

面的法向量，平面的法向量记作.iii)平面法向量的求法：设平面的法向量为(,,)xyz.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量123123(,,),(,,)aaabbbab，根据定义建立方程组，得到00

ab，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.(3)利用空间向量证明空间线面平行、垂直设直线,lm的方向向量分别为,lm，平面,的法向量分别为,.若//lm，则()Rlmlm；若lm，则0l

mlm；若//l，则0ll；若l，则该直线l的方向向量即为该平面的法向量，可利用上述求法向量的过程证明.若//，则()R；若，则0.(4)利用空间向量

求直线、平面所成的角设直线,lm的方向向量分别为l,m，平面,的法向量分别为,.直线,lm所成的角为，则π02，计算方法：coslmlm；直线l与平面所成的角为，则π02，计算方法

：sinll；平面,所成的二面角为，则0π，计算方法：cos，然后观察直观图中所表示的二面角的平面角大小，以确定是锐二面角还是钝二面角.(5)利用空间向量求空间距离设点A是平面外一点，B是平面内一点，平面

的一个法向量为，则点A到平面的距离为ABd.(6)利用空间向量证明线面平行、垂直及计算空间角、距离的关键在于将所在直线的方向向量和平面的法向量正确表示，而正确表示直线的方向向量与平面的法向量的关键在于空间直角坐标系的正确建立及相关点的坐标的正确表示.求解空间角时公式选用要

正确，特别是直线与平面所成的角用向量表示时得到的是正弦值，而直线与直线所成的角与二面角则是余弦值，要注意区分.1．（2017高考新课标III，理16）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形AB

C的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④

直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）2.(2016高考新课标I，理11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，αI平面ABCD=m，αI平面ABB1A1

=n，则m，n所成角的正弦值为A．32B．22C．33D．133.（2016高考新课标II，理14）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，mα，那么m∥β.④如果

m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）4．（2017高考新课标I，理18）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD

，求二面角A−PB−C的余弦值.5．（2017高考新课标ⅠⅠ，理19）如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，o1,90,2ABBCADBADABCE是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在

棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为o45，求二面角MABD的余弦值．6．（2017高考新课标Ⅲ，理19）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB

=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.7.(2016高考新课标I，理18)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体

中，面ABEF为正方形，AF=2FD，90AFD，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值．8.(2016高考新课标III，理19)如图，四棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB

=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN∥平面PAB;（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.9．(2015高考新课标I，理18)如图,四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面AB

CD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.(I)证明：平面AEC⊥平面AFC；(II)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.1．已知，表示两个不同的平面，l表示一条直线，且，则l是l∥的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，2ABAC，22AD，32PB，PBAC．（1）求证：平面PAB平面PAC；（2）若45PBA，试判断棱PA上是否存在

与点P，A不重合的点E，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为33，若存在，求出AEAP的值；若不存在，请说明理由．[KS5UKS5UKS5U]1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝1,AC＝2,BC＝,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为A．30°B．

45°C．60°D．90°2．如图，四棱锥SABCD中，平面SAD平面SAB，BCSA，290SABBSA°，BCAD∥，12ABBCAD.（1）证明：在线段SA上是否存在点E，使得BE∥

平面SCD；（2）求二面角BSDC的余弦值.真题回顾：1.②③【解析】由题意，AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由,ACaACb，又AC⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B，作BDa∥，交底面圆C于点D，如图所示，连结DE，则DE⊥BD，DEb∥，连结AD

，等腰ABD△中，2ABAD,当直线AB与a成60°角时，60ABD，故2BD，又在RtBDE△中，2,2BEDE，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知2BFD

E,ABF△为等边三角形，60ABF，即AB与b成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，则直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.2.A【解析】如图，设平面11CBD平面ABCD='m，平面11CBD平面11ABB

A='n，因为∥平面11CBD，所以','mmnn∥∥，则,mn所成的角等于','mn所成的角.过1D作11DEBC∥，交AD的延长线于点E,连接CE，则CE为'm.连接1AB，过B1作111BFAB∥，交1AA的延长线于点1F，则11BF为'n.连接BD，则111,BD

CEBFAB∥∥，则','mn所成的角即为1,ABBD所成的角，为60，故,mn所成角的正弦值为32.3.②③④【解析】对于①，,,//mnmn，则,的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为

//n，所以过直线n作平面与平面相交于直线c，则//nc，因为,,mmcmn所以所以，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.4.（1）由已知90BAPCDP，得AB⊥AP，CD⊥PD

．由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面PAD内作PFAD，垂足为F，由（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为

x轴正方向，||AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由（1）及已知可得2(,0,0)2A，2(0,0,)2P，2(,1,0)2B，2(,1,0)2C.所以22(,1,)22PC，(2,0,0)CB，

22(,0,)22PA，(0,1,0)AB.设(,,)xyzn是平面PCB的法向量，则0,0,PCCBnn即220,2220,xyzx可取(0,1,2)n.设(,,)xyzm是平面PAB的法向量，则0,0

,PAABmm即220,220.xzy可取(1,0,1)m.则3cos,||||3<>nmnmnm，所以二面角APBC的余弦值为33.5.（1）取PA

的中点F，连接EF，BF．因为E是PD的中点，所以EF∥AD，12EFAD，由90BADABC得BC∥AD，又12BCAD，所以EFBC∥，四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF．又BF平面PAB，CE平

面PAB，故CE∥平面PAB．（2）由已知得BAAD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则0,0,0A，1,0,0B，1,1,0C，0,1,3P，(1,0,3)PC，(1,0

,0)AB，设,,01Mxyzx，则1,,,(,1,3)BMxyzPMxyz，因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而0,0,1n是底面ABCD的法向量，所以cos,sin45BMn，222221zxyz，即22210xyz．①

又M在棱PC上，设PMPC，则,1,33xyz．②由①②解得212162xyz(舍去)，212162xyz．所以26(1,1,)22M，从而26

(1,1,)22AM．设000,,xyzm是平面ABM的法向量，则0,0,AMABmm即0000(22)260,0,xyzx所以可取(0,6,2)m．于

是10cos,5mnmnmn，因此二面角MABD的余弦值为105．6.（1）由题设可得，ABDCBD△≌△，从而ADDC.又ACD△是直角三角形，所以=90ADC.取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO=AO

.又由于ABC△是正三角形，故BOAC.所以DOB为二面角DACB的平面角.在RtAOB△中，222BOAOAB.又ABBD，所以2222BODOBOAOABBD，故90DOB.所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由题设

及（1）知，,,OAOBOD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1ABCD.由题设知，四

面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12，即E为DB的中点，得310,,22E.故311,0,1,2,0,0,1,,22ADACAE

.设=x,y,zn是平面DAE的法向量，则00ADAE，，nn即0,310.22xzxyz可取31,,13n.设m是平面AEC的法向量，则00ACAE，，mm同

理可取0,1,3m.则7cos,7nmnmnm.所以二面角D−AE−C的余弦值为77.7.（I）由已知可得ΑFDF，ΑFFE，所以ΑF平面ΕFDC．又F平面ΑΒΕF，故平面ΑΒΕF平面ΕFDC．（

II）过D作DGΕF，垂足为G，由（I）知DG平面ΑΒΕF．以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz．由（I）知DFE为二面角DAFE的平面角，故60DFE，则2DF，3DG，可得1,4,0A，3,4,0B，3,

0,0E，0,0,3D．由已知，//ABEF，所以//AB平面EFDC．又平面ABCD平面EFDCDC，故//ABCD，//CDEF．由//BEAF，可得BE平面EFDC，所以CΕF为二面角CBEF的平面角，60CΕF．从而可得

2,0,3C．所以1,0,3ΕC，0,4,0ΕΒ，3,4,3ΑC，4,0,0ΑΒ．设,,xyzn是平面ΒCΕ的法向量，则00ΕCΕΒnn，即3040xzy

，所以可取3,0,3n．设m是平面ΑΒCD的法向量，则00ΑCΑΒmm，同理可取0,3,4m．则219cos,19nmnmnm．故二面角E-BC-A的余弦值为21919．8.（I）由已知得232ADAM.取B

P的中点T，连接TNAT,，由N为PC中点知BCTN//，221BCTN.又BCAD//，故=TNAM∥，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以//MN平面PAB.（II）取BC的中点E，连结AE.由ACAB得BCAE，从而ADAE，且

5)2(2222BCABBEABAE.以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyzA.由题意知，)4,0,0(P，)0,2,0(M，)0,2,5(C，)2,1,25(N，(0,2,4)PM，5(,1,2)

2PN，5(,1,2)2AN.设(,,)xyzn为平面PMN的一个法向量，则0,0,PMPNnn即240,520,2yzxyz可取(0,2,1)n.于是||85|cos,|2

5||||ANANANnnn.9.(I)连接BD，设BDAC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=3.由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又∵AE⊥EC，∴EG=3，EG⊥AC，在Rt

△EBG中，可得BE=2，故DF=22.在Rt△FDG中，可得FG=62.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=22可得EF=322，∴222EGFGEF，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.(I

I)如图，以G为坐标原点，分别以,GBGC的方向为x轴，y轴正方向，||GB为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由(Ⅰ)可得A(0，－3，0)，E(1,0,2)，F(－1,0，22)，C(0，3，0)，∴AE=(1，3，2)，CF=(1,3,22)故3c

os3||||AECFAECFAECF.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为33.名校预测1．【答案】D【解析】由题意，，l，则l∥或l，所以充分条件不成立；又当，l∥时，不能得到l，所以必要条件不成立，故选D．2．【

解析】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，22AD，所以22BCAD，又2ABAC，所以222ABACBC，所以ACAB，又PBAC，且ABPBB，所以AC平面PAB，因为AC平面PAC，所以平面PAB

平面PAC．（2）由（1）知ACAB，AC平面PAB，如图，分别以AB，AC所在直线为x轴、y轴，平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(0,2,0)C，(0,2,0)AC，(2,2,

0)BC，由45PBA，32PB，可得(1,0,3)P，所以(1,0,3)AP，(3,0,3)BP，假设棱PA上存在点E，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为33，设(01)AEAP，则(,0,3)AEAP

，(,2,3)CEAEAC，设平面PBC的法向量为(,,)xyzn，则00BCBPnn，即220330xyxz，令1z，可得1xy，所以平面PBC的一个法向量为

(1,1,1)n，设直线CE与平面PBC所成的角为，则222223223sin|cos,|33()(2)(3)3104CE<>n，整理得2340，因为0

1，所以2340，故2340无解，所以棱PA上不存在与点P，A不重合的点E，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为33．专家押题1．【答案】A【解析】取AC的中点F,连接DF,BF,因为D,E分别是AC1和BB1的中点,所以DF=BE

,且DF//BE,所以四边形DEBF是平行四边形,所以DE//BF,过点F作FG垂直于BC，交BC于点G，由题意得FBG（或其补角）等于直线DE与平面BB1C1C所成的角,因为AB＝1,AC＝2,BC＝,所以90

,30ABCBCA，CF=FA=FB=1,所以∠FBG=30°.即直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A．2．【解析】（1）如图，取SA的中点E，SD的中点F，连接BEEFCF、、.因为EF、分别为,SASD的中点，所以EFAD∥，且

12EFAD.又BCAD∥，12BCAD，所以四边形CBEF为平行四边形，所以BECF∥.因为BE平面SCD，CF平面SCD，所以BE∥平面SCD.故在线段SA上存在一点E，使得BE∥平面SCD.（2）因为BCAD∥，,BCSA

⊥所以ADSA.因为平面SAD平面SAB，平面SADI平面SABSA，所以AD平面SAB，故ADAB，又90SABo，故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设1AB，其中()0,0,0A，(1,0,

0)B，(1,1,0)C，(0,2,0)D，(0,0,1)S，所以(1,1,0)CD，(1,1,1)SC，(1,0,1)SB，(0,2,1)SD，设111(,,)xyzn为平面SCD的法向量，则00CDSCnn,即1111100xyxyz

，令11y，所以111,2xz，即(1,1,2)n为平面SCD的一个法向量.设222(,,)xyzm为平面SBD的法向量，则00SBSDmm,即2222020xzyz，令2

1z，所以2211,2xy，即1(1,,1)2m为平面SBD的一个法向量.所以||76|cos,|||||18mnmnmn．又二面角BSDC的平面角为锐角，所以二面角BSDC的余弦值为7618.