【文档说明】广东省惠州市2020届高三6月模拟考试 理科数学（含答案）.doc，共(19)页，1.089 MB，由MTyang资料小铺上传

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惠州市2020届高三模拟考试理科数学2020.6全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后

，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．设集合|0Axx，集合|

1Bxyx，则AB（）A．|0xxB．|01xxC．|01xxD．|1xx2．已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．(1)iiB．2(1)iiC．22(1)iiD．234iiii

3．已知等差数列{}na的前n项和为nS，5950aa，413a，则10S（）A．170B.180C.189D.1904．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，其始边与x轴的非负半轴重

合，终边与单位圆交于点34,55P，则sin2＝（）A．1225B．2425C．85D．655．函数||xxyx的图象大致形状是（）ABCD6．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，

他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表，对应散点图如右图所示：学生编号12345678数学成绩6065707580859095物理成绩7277808488909395根据以上信息，则下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；②根据散点图，可以判断

数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；④从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则不能判断出甲同学的

物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．47．在空间中，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则8．“学习强

国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台。该平台设有“人物”、“视听学习”等多个栏目。假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文

章，“视听学习”更新了4个视频。一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（）种。A．36B．48C．72D．1449．已知双曲线22142xy的右焦点为F，点P

在双曲线左支上，点A坐标为(0,2)，则APF的周长最小值为（）A．4(12)B．42C．2(26)D．63210．函数()2sin()0,||2fxx（）的最小正周期为，若其图象向右平

移6个单位后得到的函数为奇函数，则函数()fx的图象（）A．关于点03（，）对称B．在22（-，）上单调递增C．关于直线3x对称D．在6x处取最大值11．已知,,abc是在同一平面内的单位向量，若a与b的夹角为60，则2abac的最大值是（）A

．12B．2C．32D．5212．已知偶函数()fx的定义域为R，对xR，(2)()(1)fxfxf，且当2,3x时，2()23fxx，若函数()log(1)()(01)aFxxfxaa且在R上恰有

6个零点，则实数a的取值范围是（）A．)55,0(B．53(,)53C．)1,55(D．3(,1)3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设直线3yxm是曲线3233yxx的一条切线，则实数m的值

是_______．14．已知数据122020,,,xxx的方差为4，若231,2,,2020iiyxiLL，则新数据122020,,,yyy的方差为．15．已知数列{na}满足12a，),2(22*1Nnnaannn且，则8a．16．在

平面上给定相异两点A、B，在同一平面上的点P满足||||PAPB，当0且1时，P点的轨迹是一个圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆。现有椭圆22221

(0)xyabab，A、B为椭圆的长轴端点，C、D为椭圆的短轴端点，动点P满足||2||PAPB，PAB的面积的最大值为163，PCD面积的最小值为23，则椭圆的离心率为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明

，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（本小题满分12分）在ABC中，已知内角,,ABC所对的边分别为,,a

bc，向量(3,2sin)mB，向量(cos,cos2)nBB，且//mn，角B为锐角。（1）求角B的大小；（2）若2b，求ABC面积的最大值。18．（本小题满分12分）已知几何体ABCDEF中，//ABCD，//FCEA

，ADAB，AE面ABCD，2ABADEA，4CDCF．（1）求证：平面BDF平面BCF；（2）求二面角E－BD－F的余弦值．ABCDEF19．（本小题满分12分）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果，优质果，精品果，礼品果。某采购商从采购的一批

水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020（1）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考：方案1：不分类卖出，单价为20元/kg．方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下表：

等级标准果优质果精品果礼品果售价（元/kg）16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案较好？并说明理由。（2）从这100个水果中用分层抽样的方法抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取到精品果的数量，求X的分布列及数学期望()EX．20．（本小题满分

12分）已知直线l与抛物线24yx相交于A，B两点，且与圆22(1)1xy相切。（1）求直线l在x轴上截距c的取值范围；（2）设F是抛物线的焦点，0FAFB，求直线l的方程。21．（本小题满分12分）设函数()sin

xfxeaxb（,ab为实数）．（1）当1a，[0,)x时，()0fx恒成立，求b的取值范围；（2）若曲线()yfx在0x处的切线方程为10xy，求,ab的值，并证明(0,)x时，(

)lnfxx．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。答题时请在答卷中写清题号并将相应信息点涂黑。22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为

2cossinxy（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2．（1）求曲线1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）设P是曲线1C上一点，此时参数4，将射线OP绕坐标原点O逆时针旋转3交曲线2C于点Q，记曲线1C的上顶

点为T，求OTQ的面积。23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]已知函数()|2|||fxxaxa．（1）当1a时，求不等式()4|2|fxx的解集；（2）设0a，0b，()fx的最小值为t，若33tb，求12ab的最小值。惠州市2

020届高三模拟考试理科数学参考答案与评分细则一、选择题题号123456789101112答案ACDBBBDCAADB1.【解析】集合B=1xx，则AB=0xx，故选A．2.【解析】对于A：(1)1iii

，不是纯虚数；对于B：22(1)22iii是实数对于C：22(1)2iii为纯虚数；对于D：234110iiiiii不是纯虚数．故选C．3.【解析】因为5950aa，所

以759250aaa，即725a，则1104738aaaa，故1101010()538190.2aaS故选D.4.【解析】由定义知sinα=45，3cos5，所以24sin

22sincos25，故选B.5.【解析】,0,0xxxyx，故选B．另解：(1)1f，可排除CD，1(1)1f，可排除A，故选B．6.【解析】由散点图知两变量间是相关关系，非函数关系，所以①正确。利用概率知识进

行预测，得到的结论有一定的随机性，所以④正确，故选B。7.【解析】选项A错误，同时和一个平面平行的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C错误，一个

平面内垂直于两平面交线的直线，只有在两个平面互相垂直时才与另一个平面垂直；选项D正确，由,//,nmm得,n又，,n故选D。8.【解析】从4个视频中选2个有24C种方法，2篇文章全选22C种方法，2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容

全排列为33A种方法，最后需要对捆绑元素进行松绑全排列22A，故满足题意的学法有2232423272CCAA，选C。9.【解析】(6,0)F，设左焦点为0(6,0)F，由题意可知APF的周长l为||||PAPF

||AF，而000||2||,||||2||||||2PFaPFlPAPFaAFAFAFa4244(21)，当且仅当0,,AFP三点共线时取“=”，故选A。10.【解析】函数()fx的最小正周期为，可得2，()fx向右平移6个单位后

得到的函数为2sin2()2sin(2)63yxx，此函数为奇函数，又2，所以3故函数()2sin(2)3fxx，2()sin()0,333fA正确；()fx的递增区间为5,,1212kkkZ

，故B错；2,,32xkkZ,122kxkZ，所以直线3x不是对称轴，故C错；当,12xkkZ时()fx有最大值，2()2sin63f非最值，故D错。故选A.11.【解析】1()(

2)2()2abac=abc，因a与b为单位向量且夹角为60，得ab为单位向量，c是自由单位向量，所以()abc最小值为1，所以()(2)abac最大值为52，选D.另解：假设(cos,sin)c

，运用三角函数求最值。12.【解析】令1x，则(1)=(1)(1)2(1)ffff，所以(1)=0f，所以(2)()fxfx，即函数的周期为2.若()log1ayfxx恰有6个零点，则0

1a，由此可画出函数()yfx和log1ayx的图象如图所示，由图可知(2)=2=log3af，得3=3a，(4)=2=log5af，得5=5a，故53,53a，故选B.二、填空题（本大题

共4题，每小题5分，共20分.）13、414、1615、2048（或写成112）16、3213、【解析】，，直线是曲线的一条切线，，解得，即切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标，切点在切线上，代入，解得，实数m的值为4．故答案为4．1

4、【解析】若样本数据nxxx、、、21的方差为2s，则baxbaxbaxn、、、21的方差为22sa；已知202021xxx、、、的方差为4，又因为62iixy

则202021yyy、、、的方差为1615、【解析】因为nnnaa221得12211nnnnaa，累加可得2nnan，即2nnan，所以81188222048a另解：根据递推公式代入计算得：2348824642048aaaa

，、、。16.【解析】依题意(,0),(,0)AaBa，设2222(,),||2||,()2()PxyPAPBxayxay，两边平方化简P的轨迹方程：22254()()33xaya，故为圆心为

5(,0)3a，半径43ar的圆.max1416()22233PABaSaa，min1542()2(),1.23333PCDaaaSbbb故离心率231()2bea.另解：本题可以运用数形结合方法求解，如右图。三、解答题：共7

0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．（本小题满分12分）（1）解法一：由//mn得3cos2=2sincosBBB，-------------------1分即sin2

3cos2BB--------------------------------------------2分所以tan23B，-----------------------------------------------3分B为锐角，2(0,)B，

--------------4分【没有此步骤，本得分点不给分】223B，-----------------------------------------------------------5分即3B------------------------------

------------------------------------6分解法二：由//mn得3cos2=2sincosBBB，------------------------------1分即sin23cos2BB-

---------------------------------------------------2分所以sin2+3cos2=0BB即2sin2+=03B，-------------------3分2+=3Bk，即=

+62kB------------------4分【没有此步骤，本得分点不给分】B为锐角，---------------------------------------------5分【没有此步骤，本得分点不给分】所

以3B---------------------------------------------------------------------6分（2）解法一：,23Bb，由余弦定理222cos2acbBac，----

------------------7分得2240acac------------------------------------------------------------------8分又222acac代入上式得4ac，--------------

-------------------------------9分当且仅当2ac时取等号成立.--------------10分【没有此步骤，本得分点不给分】1133sin32224ABCSacBacac

，----------------------------11分故ABC的面积最大值为3.--------------------------------------------------------12分解法二：,23Bb，由正弦定理2sinbRB，得423R

----------------------7分所以42sinsin3aRAA，---------------------------------------------------------8分4422si

nsinsin333cRCCA-----------------------------------9分由1432sinsinsin233SacBAA233=sin2363

A------------------------------------------------------10分因为72666A，则当2=62A即=3A时，------

-------------11分max233333S，故ABC的面积最大值为3.--------------------------------------------------------12分

ABCDEFABCDEF18．（本小题满分12分）（1）证明：由已知可得22BDBCBCBDCDBCBD,222--------------------1分//FCEA，且AE面ABCD，FCABCD

面，---------------------------------------2分BCABCD面，BDFC，---------------------3分FCBCC，BCBCF面，FCBCF面------4分【步骤不全，本得分点不给分】∴BDBCF面-----------

---------------------------------------------5分BDBDF且面，故BDFBCF面面--------------------------6分（2）解法一（向量法）：分别以DA、DC所在直线为x轴、y轴，以D为垂足作面DAC的垂线D

Z为z轴，建系如图---------7分(0,0,0),(2,2,0),(2,0,2)(0,4,4)DBEF，则(2,2,0),(2,0,2),(0,4,4)DBDEDF,-----------8分设面DEB的法向量为

(,,)mxyz，则02202200mDBxyxzmDE，取1x，则1yz，故(1,1,1)m---------9分设面DBF的法向量为(,,)nxyz，则02204400nDBxyyznDF，

取1x，则1,1yz，故(1,1,1)n--------------------10分则1cos,3||||mnmnmn，-----------------------11分由图可得二面角E-BD-F的余弦值为13

---------------------12分ABCDEFABCDEFyzxABCDEFyzx【注：右图建系方法的法向量(1,1,1)m和(1,1,1)n】解法二（几何法）：由（1）得DBFBC面，则DBFB，取DB中点M，DF中点N，连接EM，MN（如图）则//MNB

F，即MNDB.------------------------------------7分22EBEDBD，EMBD，则EMN为二面角E-BD-F的平面角.--------------------------8分易得6EM，22116

22MNBFBCFC，----9分由EAHN为矩形，则22ENAH----------------------------10分2226681cos23266EMMNENEMNEMMN，-----------------11分故二面角的余弦值为13---------

-----------------------------12分【没有此步骤，本得分点不给分】19．（本小题满分12分）【解析】（1）解答一：设方案2的单价为，则单价的期望值为：1342()1618222420.610101010E--

-------------------2分因为()20E，------------------------------------------------------------------3分所以从采购商的采购资金成本角度考

虑，采取方案1比较好.-------4分解答二：设方案2的单价为，则单价的期望值为：1342()1618222420.610101010E---------------------2分虽然()20E，()200.6E

，-------------------------------------------------3分但从采购商后期对水果分类的人力资源和时间成本角度考虑，采取方案2较好.------4分【注意：本题为开放题，不排除学生

有更多回答的角度，但只要学生作出数学的计算，根据计算的结果作出有理有据的回答，就可以适当给分】（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个.-----------------------------------------------

------5分现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，X所有可能的取值为：0,1,2,3.---------------------6分【取值没有列全，本得分点不给分】则363101(0)6CPXC，31643101(1)2C

CPXC，12643103(2),10CCPXC343101(3)30CPXC，-----------------------------10分【此步骤中每对1个得1分，过程必须写出组合数，否则共扣1分】所有X的分布列如下:X0123P1612310130-

----------------------------------------------------11分【无列表，本得分点不给分】11316()0123.6210305EX--------------------------------

-----------------------------12分20．（本小题满分12分）【解析】（1）设直线l的方程为xmyc，----------------------------------------------1

分22(1)1xy的圆心为(1,0)，半径为1.--------------------------------2分由直线l与圆相切得：2|1|11cm，化简得222,mcc-------------------3分直线l的方程代入抛物线，消

去x得：2440(*)ymyc，-----------------4分由直线l与抛物线相交于A，B两点，得22(4)1600mcmc，将222,mcc代入不等式，得201ccc或0c-------------------5分注意到22202mccc

或0c------------------------------------------6分综上知，c的取值范围是,02,（2）设1122(,),(,),(1,0)AxyBxyF由(*)得12124,4yymy

yc-------------------7分2212121212(1)(1)(1)(1)44yyFAFBxxyyyy22121212311()()12164yyyyyy------------------------------------

----8分将12124,4yymyyc代入上式，由0FAFB，得224610cmc-------------------------------------------------9分所以2224(2)6103210cccccc

，解得13c或1c（舍去），-------------------------------------------------------------10分故7.3m-----

-----------------------------------------------------------------------------11分所以直线l的方程为3710xy或3710xy----------

--------------12分21．（本小题满分12分）【解析】（1）由()sinxfxeaxb，当1a时，'()sin()cos.xxfxexbfxex------------------------------------

-----1分当[0,)x时，1xe，当cos12,,1xxxkkNe时，此时.------------------------------2分所以'()cos0xfxex，即()fx在[0,)x上单调递增-

-------------3分故min()(0)1fxfb，------------------------------------------------------------4分由()0fx恒成立，得10b，所以1.b-------------------------

---------5分（2）解法一：'()cosxfxeax，且(0)1.fb由题意得'0(0)10.feaa------------------------------------------------------------------------6分又(0,1)b

在切线10xy上，代入得：01102bb，-------------------------7分所以()2xfxe.下面先证：21xex，即10(0)xexx，令()1(0)xgxexx则'()1xgxe，所以

()gx在(0,)是增函数.-------------------------------------8分故()(0)0gxg，即21xex①----------------------------

--------------------------------------9分再证：1lnxx，即1ln0(0)xxx，令()1lnxxx，则'11()1xxxx'()01xx.故

()x在(0,1)上是减函数，在(1,)上是增函数，--------------------10分则min()(1)0x，即1ln0xx，所以1lnxx②-----------------

-----------------------------------------------------------------------11分由①②得2lnxex，即()lnfxx在(0,)成立.-------

---------------------------------12分解法二：'()cosxfxeax，且(0)1.fb由题意得'0(0)10.feaa-------------------------------------------------------

------------6分又(0,1)b在切线10xy上，代入得：01102bb，---------------------7分所以()2xfxe.要证2lnxex在(0,)上成立2ln0xex在(0,)

上成立.令()ln2(0)xgxexx，则'11()(0)xxxegxexxx-------------------------8分令'()1()(1)0xxhxxehxex，所以()hx在(0,)上递增.令()0hx即1xxe，易得存在零点0(0,

1)x，使得0()0hx，即000011xxxeex①-------------------------------------------------------------------------------9分当'0(0

,),()0,()0xxhxgx，即()gx递减；当'0(,),()0,()0xxhxgx，即()gx递增，所以0min00()()ln2xgxgxex（*）-----------------------------------------------------10分

由001xxe两边取对数得：00ln0xx②，把①②代入（*）得0001()2gxxx-----------------------------------------------------------------------------------11分因为0(

0,1)x，所以0012xx，即0001()20gxxx，则0()()0gxgx故原不等式()lnfxx在(0,)成立.-------------------------------------------------------1

2分22．（本小题满分10分）【解析】（1）由22cossin1，--------------------------------------------1分所以1C的普通方程为2212xy，---------------------------2分由222xy

------------------------------------------------------3分可得222:2Cxy的直角坐标方程为--------------------4分（2）设点Q的横坐标为Qx，则由已知可得1||||2OTQQSOTx，且直角

坐标1(1,)2P，极坐标6(,)2P，-----------------------------------------------------6分其中12sin,cos33，极坐标(2,)3Q，-------------------------------------8分1

12cos()332Qx，----------------------------------------------------------------9分所以111231().24632OTQS----------------------------------

-----------------10分【注意：点P的极角不是4，点Q的极角不是43】23．（本小题满分10分）【解析】（1）当1a时，()|2||1|fxxx，则不等式()4|2|fxx，可化为：2|2

||1|4xx.--------------------------------1分①当2x时，2|2||1|334xxx，解得：73x，即73x；------2分②当21x时，2|2||1|54xxx，解得：1x

，即11x；----3分③当1x时，2|2||1|334xxx，解得：13x，即1x.-------------------4分所以不等式()4|2|fxx的解集为7,1

,3-------------------------------5分【注1：若计算结果错误，分段讨论区间正确可得1分】【注2：若结果不是区间或集合的形式，至少扣1分】（2）()|2||||(2)()|3fxxax

axaxaa----------------------------------------------6分()fx的最小值为t，3ta，333ab即1ab，---------------

--------------7分且0,0ab121222()()323223babaababababab----------------------8分当且仅当2baab，即21a，22b时取等号-

--------9分【没有此步骤，本得分点不给分】故min12()223.ab---------------------------------------------------------------------------

10分欢迎访问“”——