【文档说明】2023年人教版高中数学必修第二册《平面向量的应用》精选练习(教师版).doc，共(10)页，335.117 KB，由MTyang资料小铺上传

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2023年人教版高中数学必修第二册《平面向量的应用》精选练习一、选择题1.在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且AD→=13AB→＋12AC→，则S△BCDS△ABD=()A.16B.13C.12D.23【答案解析】答案为：B；解析：

由AD→=13AB→＋12AC→得点D在平行于AB的中位线上，从而有S△ABD=12S△ABC，又S△ACD=13S△ABC，所以S△BCD=1－12－13S△ABC=16S△ABC，所以S△BCDS△ABD=13.故选B.2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b

，c，若c2＝(a﹣b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积为()A.3B.932C.332D.33【答案解析】答案为：C解析：因为c2＝(a﹣b)2＋6，所以c2＝a2＋b2﹣2ab＋6，由C＝π3，得c2＝a2＋b2﹣2abcosπ3＝a2＋b2

﹣ab，因此a2＋b2﹣ab＝a2＋b2﹣2ab＋6，即ab＝6，所以△ABC的面积为12absinπ3＝332，故选C.3.如图，已知△OAB，若点C满足AC―→=2CB―→，OC―→=λOA―→＋μOB―→(λ，μ∈R

)，则1λ＋1μ=()A.13B.23C.29D.92【答案解析】答案为：D；∵OC―→=OA―→＋AC―→=OA―→＋23AB―→=OA―→＋23(OB―→－OA―→)=13OA―→＋23OB―→，∴λ=1

3，μ=23，∴1λ＋1μ=3＋32=92.故选D.4.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为()A.7kmB.8kmC

.9kmD.6km【答案解析】答案为：D；解析：在△ACD中，由余弦定理得：cosD=AD2＋CD2－AC22AD·CD=34－AC230.在△ABC中，由余弦定理得：cosB=AB2＋BC2－AC22AB·BC=

89－AC280.因为∠B＋∠D=180°，所以cosB＋cosD=0，即34－AC230＋89－AC280=0，解得AC=7.5.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设AB→=a，AC→=b，AF→=xa＋yb，则1x＋4y＋1的最小值为()A.6

＋22B.63C.6＋42D.3＋22【答案解析】答案为：D；解析：由题意知AF→=xa＋yb=2xAD→＋yAC→，因为C，F，D三点共线，所以2x＋y=1，即y=1－2x.由题图可知x＞0且x≠1.所以1x＋4y＋1=1x＋21－x=x＋1x－x2.令f(x)=x＋1x－x

2，则f′(x)=x2＋2x－1x－x22，令f′(x)=0，得x=2－1或x=－2－1(舍).当0＜x＜2－1时，f′(x)＜0，当x＞2－1且x≠1时，f′(x)＞0.所以当x=2－1时，f(x)取得极小值，亦为最小值，最小值为f(2－)=22－1－2－12=3＋22

.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAsinB=ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)=3bc，则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形【答案解析】答案为：C；解析：∵sinAsinB=ac，∴ab=ac，

∴b=C.又(b＋c＋a)(b＋c－a)=3bc，∴b2＋c2－a2=bc，∴cosA=b2＋c2－a22bc=bc2bc=12.∵A∈(0，π)，∴A=π3，∴△ABC是等边三角形.7.已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A，B，C，其中OA→·OB→=0，存在实数λ，μ满足OC→＋

λOA→＋μOB→=0，则实数λ，μ的关系为()A.λ2＋μ2=1B.1λ＋1μ=1C.λμ=1D.λ＋μ=1【答案解析】答案为：A.解析：解法1：取特殊点，取C点为优弧AB的中点，此时由平面向量基本定理易得λ=μ=22，只有A符合.故选A.解法2：依

题意得|OA→|=|OB→|=|OC→|=1，－OC→=λOA→＋μOB→，两边平方得1=λ2＋μ2.故选A.8.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC→=3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不

重合)，若AO→=xAB→＋(1－x)AC→，则x的取值范围是()A.0，12B．0，13C.－12，0D．－13，0【答案解析】答案为：D.解析：设B

O→=λBC→，其中1＜λ＜43，则有AO→=AB→＋BO→=AB→＋λBC→=AB→＋λ(AC→－AB→)=(1－λ)AB→＋λAC→.又AO→=xAB→＋(1－x)AC→，且AB→，AC→不共线，于是有x=(1－λ)∈－13，0，即x的取值范围是－1

3，0.9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2=bc，AB→·BC→＞0，a=32，则b＋c的取值范围是()A.1，32B.32，32C.12，32D.12，32

【答案解析】答案为：B；解析：由b2＋c2－a2=bc得，cosA=b2＋c2－a22bc=12，∵0<A<π，则A=π3，由AB→·BC→＞0知，B为钝角，又asinA=1，则b=sinB，c=sinC，b＋c=sinB＋sinC=sinB＋sin2π3－B=3

2sinB＋32cosB=3sinB＋π6，∵π2＜B＜2π3，∴2π3＜B＋π6＜5π6，∴12＜sinB＋π6＜32，b＋c∈32，32.10.在△ABC中，a，b，c分别是内

角A，B，C所对边边长．若cosC＋sinC-2cosB＋sinB=0，则a＋bc的值是()A.2－1B.2＋1C.3＋1D．2【答案解析】答案为：B；解析：在△ABC中，由cosC＋sinC－2cosB＋

sinB=0，根据两角和的正弦公式可得2sinC＋π4sin(B＋π4)=2，从而得C＋π4=B＋π4=π2，解得C=B=π4，∴A=π2.∴由正弦定理可得a＋bc=sinπ2＋sinπ4sinπ4=1＋2222=2＋1.故选B.11.已知在△A

BC中，D是AC边上的点，且AB=AD，BD=62AD，BC=2AD，则sinC的值为()A.158B.154C.18D.14【答案解析】答案为：A；解析：设AB=AD=2a，则BD=6a，则BC=4a，所以cos∠ADB=BD2＋AD2－AB22BD×AD=6a22×2a×6a=64，

所以cos∠BDC=BD2＋CD2－BC22BD×CD=－64，整理得CD2＋3aCD－10a2=0，解得CD=2a或者CD=－5a(舍去)．故cosC=16a2＋4a2－6a22×4a×2a=1416=78，而C∈0，π2，故sinC=158.故选A.12.在△

ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若AP→=23AB→＋λ·AC→，则|AP→|的取值范围为()A.2，210＋333B.2，83C.

0，2133D.2，2133【答案解析】答案为：D；解析：在AB上取一点D，使得AD→=23AB→，过D作DH∥AC，交BC于H.∵AP→=23AB→＋λAC→，且点P是△ABC内一点(含边界)，∴点P在线段DH上.当P在D点时，

|AP→|取得最小值2；当P在H点时，|AP→|取得最大值，此时B，P，C三点共线，∵AP→=23AB→＋λAC→，∴λ=13，∴AP→=13AC→＋23AB→，∴AP→2=19AC→2＋49AB→2＋49A

B→·AC→=529，∴|AP→|=2133.故|AP→|的取值范围为2，2133.故选D.二、填空题13.在△ABC中，已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足AM→=tAB→＋(1－t)AC→，若∠BAM=π3，则t=.【答案解析】答

案为：3－12.解析：由题意可得AM→=tAB→＋AC→－tAC→，所以AM→－AC→=tAB→－tAC→，即CM→=tCB→，所以CM→与CB→共线，即B，M，C三点共线，且t=|CM→||CB→|.又由条件知|BC→|=2|AC→|，所以t=|CM→

|2|AC→|.在△ABC中，由正弦定理知|CM→||AC→|=sin30°sin105°=126＋24=26＋2，所以t=22×6＋2=3－12.14.如图，在同一个平面内，向量OA→，OB→，OC→的模分别为1,1，2，OA→与OC→的夹角为α，且tanα=

7，OB→与OC→的夹角为45°.若OC→=mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则m＋n=________.【答案解析】答案为：3；解析：由tanα=7，得tanα＋π4=tanα＋11－tanα=

－43.以O为原点，OA方向为x轴正半轴建立坐标系(图略)，则A点坐标为(1,0)．由tanα＋π4=－43，OB→的模为1，可得B－35，45.由tanα=7，OC→的模为2，可得C15，75.由OC→=mOA→＋n

OB→，代入A、B、C点坐标可得，m－35n＝15，45n＝75，解得m＝54，n＝74.∴m＋n=3.15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB=4asinB

sinC，b2＋c2－a2=8，则△ABC的面积为________．【答案解析】答案为：233；解析：根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinC·sinB=4sinAsinBsinC，即sinA=12，结合余弦定理可得2bccosA=8，所以A为锐角，且cosA=32，从而求

得bc=833，所以△ABC的面积为S=12bcsinA=12×833×12=233．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a＋c的最小值为.【答案解析】答案为：9；

解析：依题意画出图形，如图所示.易知S△ABD＋S△BCD=S△ABC，即12csin60°＋12asin60°=12acsin120°，∴a＋c=ac，∴1a＋1c=1，∴4a＋c=(4a＋c)1a＋1c=5＋c

a＋4ac≥9，当且仅当ca=4ac，即a=32，c=3时取“=”.三、解答题17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3bcosC－csinB=3a．(1)求角B的大小；(2)若a=3，b=7，D为边AC上一点，且si

n∠BDC=33，求BD．【答案解析】解：(1)由正弦定理及3bcosC－csinB=3a，得3sinBcosC－sinCsinB=3sinA，所以3sinBcosC－sinCsinB=3sin(B＋C)，所以3sinBcosC

－sinCsinB=3sinBcosC＋3cosBsinC，即－sinCsinB=3cosBsinC．因为sinC≠0，所以－sinB=3cosB，所以tanB=－3．又B∈(0，π)，解得B=2π3．(2)在△ABC中，由余弦定理b2=a

2＋c2－2accosB，且a=3，b=7，所以72=32＋c2－2×3c×－12，解得c=5．在△ABC中，由正弦定理bsinB=csinC，得732=5sinC，解得sinC=5314．在△BCD中，由正弦定理BDsinC=asin∠B

DC，得BD5314=333，解得BD=4514．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝cosB，2cos2C2－1，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求角C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且

满足AD→＝DB→，|CD→|＝7，c＝23，求△ABC的面积.【答案解析】解：(1)由题意知m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，则ccosB＋(b－2a)cosC＝0.在△ABC中，由正弦定理得sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC

＝0，整理得sinCcosB＋sinBcosC－2sinAcosC＝0，即sin(B＋C)＝2sinAcosC.故sinA＝2sinAcosC，又sinA≠0，∴cosC＝12，∵C∈(0，π)，∴C＝π3.(2)由

AD→＝DB→知，CD→－CA→＝CB→－CD→，∴2CD→＝CA→＋CB→，两边平方得4|CD→|2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB

，∴a2＋b2－ab＝12.②由①②得ab＝8，∴S△ABC＝12absin∠ACB＝23.19.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)=bsinC.(1)求角A的大小；(2)设a=3，S为△ABC的面积，求S＋3cosB

cosC的最大值.【答案解析】解：(1)∵(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)=bsinC，∴根据正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)=bc，即b2＋c2－a2=－bC.∴由余弦定理，得cosA=b2＋c2－a22bc=－12.又A∈(0，π)，所以A

=23π.(2)根据a=3，A=23π及正弦定理可得bsinB=csinC=asinA=332=2，∴b=2sinB，c=2sinC.∴S=12bcsinA=12×2sinB×2sinC×32=3sinBsinC

.∴S＋3cosBcosC=3sinBsinC＋3cosB·cosC=3cos(B－C).故当B＝C，B＋C＝π3，即B=C=π6时，S＋3cosB·cosC取得最大值3.20.已知向量a=sinx，34，b=(cosx，－1).(1)当a∥b时，求c

os2x－sin2x的值；(2)设函数f(x)=2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=3，b=2，sinB=63，求f(x)＋4cos2A＋π6x∈0，π3的取值范围.【答案解析】解：(1)因为

a∥b，所以34cosx＋sinx=0，所以tanx=－34.cos2x－sin2x=cos2x－2sinxcosxsin2x＋cos2x=1－2tanx1＋tan2x=85.(2)f(x)=2(a＋b)·b=2sinx＋cosx，－14·(cosx，－1)=

sin2x＋cos2x＋32=2sin2x＋π4＋32.由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=asinBb=3×632=22，所以A=π4或A=3π4.因为b＞a，所以A=π4.所以f(x)＋4cos2A＋π6=2sin

2x＋π4－12，因为x∈0，π3，所以2x＋π4∈π4，11π12，所以32－1≤f(x)＋4cos2A＋π6≤2－12.所以f(x)＋4cos2A＋π6x∈0，π3的取值范围是32－

1，2－12.21.已知向量a=(ksin3x,cos23x),b=(cos3x,-k),实数k为大于零的常数,函数f(x)=a·b,x∈R,且函数f(x)的最大值为212−.(1)求k的值;(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若2<A<π,f(A)

=0,且a=210,求AB·AC的最小值.【答案解析】解:(1)由题意知,f(x)=a·b=(ksin3x,cos23x)∙(cos3x,-k)=ksin3x·cos3x-kcos23x=21ksin32-k·232cos1+=)32cos32(sin2xxk−-2k=k2222sin32

-22cos32)-2k=k22sin(32x-4)-2k.因为x∈R,所以f(x)的最大值为2)12(k−=21-2,则k=1.(2)由(1)知,f(x)=22sin(32x-4)-21,所以f(A)

=22sin(32A-4)-21=0,化简得sin(32A-4)=22,因为2<A<π,所以12<(32A-4)<125,则(32A-4)=4,解得A=43.因为cosA=-22=bcacb2222−+=b

ccb24022−+,所以b2+c2+2bc=40,则b2+c2+2bc=40≥2bc+2bc(当且仅当b=c时取等号),所以bc≤2240+=20(2-2).则AB·AC=|AB||AC|cos43=-22bc≥20(1-2),所

以AB·AC的最小值为20(1-2).