【文档说明】吉林省吉林市2020届高三第三次调研测试（4月）数学（理）（含答案）.doc，共(13)页，524.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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数学理科第1页（共6页）吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，

并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无

效。4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。1

.已知集合{-1,0,1,2}A,{|lg(1)}Bxyx，则ABA.{2}B.{1,0}C.{1}D.{1,0,1}2.已知复数z满足iz11，则z=A.i1122B.i1122C.i1122D.i11223.已知向量ab(3,1),(3,3)，则向

量b在向量a方向上的投影为A.3B.3C.1D.14.已知mn,为两条不重合直线，,为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是A.m∥nmn,,B.m∥nmn,,★保密数学理科第2页（共6页）C.mnm,∥n,∥D.mnm,n,5.一个几何体的三

视图如右图所示，则该几何体的体积为A.103B.3C.83D.736.函数fxx2()cos(2)3的对称轴不可能为A.x56B.x3C.x6D.x37.已知fx()为定义在R上的奇函数，且满足fxfx(4)(),当x(0,2)时，fxx2()2,则

f(3)A.18B.18C.2D.28.已知数列na{}为等比数列，若aaa76826，且aa5936，则aaa768111A.1318B.1318或1936C.139D.1369.椭圆xy22192的焦点为FF12,，点P在椭圆上，若PF2||2，则FP

F12的大小为A.150B.135C.120D.9010.已知babca0.2121()2,log0.2,，则abc,,的大小关系是A.abcB.cabC.acbD.bca11.赵爽是我国古代数学

家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，

它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设AFFA2,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为A.21313B.413ABCDEFABCDEF图1图22221正视图俯视图侧视图数学理科第3页（共6页）C.277D.4712.已知FF12

,分别为双曲线xyCab2222:1的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以FF12为直径的圆经过点P，若PFF12的面积为b2233，则双曲线的离心率为A.3B.2C.5D.3二、填空题：本大题

共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.二项式x5(2)的展开式中x3的系数为（用数字作答）.14.已知两圆相交于两点AaB(,3),(1,1)，若两圆圆心都在直线xyb0上，则ab的值是.15.若点P(cos,sin)在直线yx2

上，则cos(2)2的值等于.16.已知数列na{}的前n项和nnSa14且114a，设xxfxee2()1，则fafafa721222(log)(log)(log)的值等于.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明

、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC中，角ABC,,的对边分别为abc,,，若abCC3(sin3cos).（1）求角B的大小；（2）若A3，

D为ABC外一点，DBCD2,1,求四边形ABDC面积的最大值.数学理科第4页（共6页）18.（12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩

与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22列联表：分数不少于120分分数不足12

0分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面22列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）（Ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不

足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；（Ⅱ）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20

人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）20()PKk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式nadbcKabcdacbd

22()()()()()其中nabcd）数学理科第5页（共6页）19.（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，AB∥CD,ADABCDDAB1,602，点EF,分别为CDAP,的中点.（1）证明：PC

∥面BEF；（2）若PAPD，且PAPD，面PAD面ABCD,求二面角FBEA的余弦值.20.（12分）已知倾斜角为4的直线经过抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点F，与抛物线C相交于A、B两点,且||

8AB.（1）求抛物线C的方程；（2）设P为抛物线C上任意一点（异于顶点），过P做倾斜角互补的两条直线1l、2l，交抛物线C于另两点C、D，记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为，直线CD的倾斜角为，求证

：与互补.21.（12分）已知函数2()ln(1)1(,).fxxaxabxbabR（1）若0a，试讨论()fx的单调性；（2）若02,1ab，实数12,xx为方程2()fxmax的两

不等实根，求证：121142axx.ABCDEFP数学理科第6页（共6页）（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参

数方程为3cossinxy（为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()26.（1）求曲线1C的普通方程与曲线2C的直角坐标方程；（2）设,AB为曲线1C上位于

第一，二象限的两个动点，且2AOB,射线,OAOB交曲线2C分别于,DC，求AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积.23.（10分）已知,,abc均为正实数，函数222111()||||4fxxxcab的最小值为1.证明：（1）22249abc

；（2）111122abbcac.命题校对：王有富付冰冰于伟艳李鑫孙长青数学理科第7页（共6页）吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学参考答案与评分标准一、选择题1234

56789101112BBADADCACBDB二、填空题13.-40；14.-1;15.45；16.7三、解答题17.解：（1）3(sin3cos)abCC,由正弦定理得:3sinsin(sin3cos)

ABCC3sin()sinsin3sincosBCBCBC，即3cossinsinsinBCBC-----------------3分sin0,3cossinCBB即tan3B(0,),3B

B-----6分（2）在BCD中，2,1BDCD22212212cosBCD54cosD又3A，则ABC为等边三角形，21sin23ABCSBC533cos4D-------------------8分又1sinsin2BDCSBDDCDD

，53sin3cos4ABCDSDD532sin()43D-----10分数学理科第8页（共6页）当56D时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为5324.----

-12分18.解：（1）分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计252045----------------------3分2245(1516104)7.296.63525201926K

有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”---5分（2）（I）由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取209445人-------6分X的可能取值为0，1,2,3,4.44420(0)CPXC,314164

20(1)CCPXC,22416420(2)CCPXC13416420(3)CCPXC,416420(4)CPXC--------8分（II）从全校不少于120分的学生中随机抽取1人此人每周上线时间不少于5小时的概率为150.625--------

-------10分设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y，则(20,0.6)YB，故()200.612EY,()200.6(10.6)4.8DY--------------------12分19．解“（1）证

明：连接AC交BE于H，连接FH,,ABCEHABHCEBHACHAABH≌CEHAHCHFHPC---------2分FH面,FBEPC面FBE数学理科第9页（共6页）PC面FB

E-------------4分（2）取AD中点O，连PO，OB.由PAPD，POAD面PAD面ABCDPO面ABCD，又由60DAB，ADABOBAD以,,OAOBOP分别为,,XYZ轴

建立如图所示空间直角坐标系-6分设2AD，则(1,0,0)A，(0,3,0)B,(1,0,0)D,11(0,0,1),(,0,)22PF(2,0,0)EBDA，11(,3,)22BF------------

-------8分1(0,0,1)n为面BEA的一个法向量------------------------9分设面FBE的法向量为2000(,,)nxyz，依题意，2200EBnBFn即000020113022xxyz令03y，解得026.(0,

3,6)zn------10分121212,6239cos,1339nnnnnn因为二面角为锐角，故其余弦值为23913---12分20.解：（1）由题意设直线AB的方程为2pyx令11(,)Axy、2

2(,)Bxy，联立222pyxxpy得22304pypy-------------3分123yyp，根据抛物线的定义得124AByypp，又8AB，48,2ppABD

EFPxyzHO数学理科第10页（共6页）故所求抛物线方程为24xy--5分（2）依题意，设200(,)4xPx，2(,)4CCxCx，2(,)4DDxDx设1l的方程为200()4xykxx，与24xy联立消

去y得2200440xkxkxx-------------7分04Cxxk，同理04Dxxk-------8分02CDxxx，直线CD的斜率2221214()CDxxKxx

=1()4CDxx012x----------------------10分切线l的斜率0012lxxKyx。由0lCDKK，得与互补--------12分21.解：（1）依题意0x，当0a时，1()(1)fxbx-

-----------------1分①当1b时，()0fx恒成立，此时()fx在定义域上单调递增；---------3分②当1b时，若10,1xb，()0fx；若1,1xb

，()0fx故此时()fx的单调增、减区间分别为10,1b、1,1b-----------5分（2）方法1：由2()fxmax得ln(2)20xaxm令()ln(2)2gxxax，则12(

)()gxgxm-----------7分数学理科第11页（共6页）依题意有1122ln(2)ln(2)xaxxax，2112ln2xxaxx8分要证121142axx，只需证212112122ln2(

2)xxxxaxxxx（不妨设12xx），即证1222112lnxxxxxx-----------------10分令21(1)xttx，1()2ln,gtttt22211()1(1)0gtttt，()gt在(1,)单调递减

，()(1)0gtg，从而有121142axx-------------12分方法2：由2()fxmax得ln(2)20xaxm令()ln(2)2gxxax，则12()()gxgxm，1()(2)gxax-----

------------7分当1(0,)2xa时()0gx，1(,)2xa时()0gx，故()gx在1(0,)2a上单调递增，在1(,)2a上单调递减，--8分不妨设12xx，则12102xxa，要证1211

42axx，只需证212(42)1xxax，易知221(0,)(42)12xaxa，故只需证212()()(42)1xgxgax，即证222()()(42)1xgxgax--------------------

10分令()()()(42)1xhxgxgax，（12xa），数学理科第12页（共6页）则21()()()(42)1421xhxgxgaxax=21(2)1(2)1421axaxxxax=22

4(2)210421aaxax-------------------11分（也可代入后再求导）()hx在1,2a上单调递减，1()()02hxha，故对于12x

a时，总有()()(42)1xgxgax。由此得121142axx-------------12分22.解：（1）由曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数）消

去参数得2213xy-----------------------2分曲线2C的极坐标方程为sin()26即sincoscossin266340xy---------4分（2）依题意得1C的极坐标方程为2222cossin13------

----5分设1(,)A,2(,)2B,3(,)D,4(,)2C则222211cossin13，222222sincos13，故221211437分22121221143

，当且仅当12（即4）时取“=”------------8分故121324AOBS，即AOB面积的最小值为34--------9分数学理科第13页（共6页）此时34112222sin()cos()4646

CODS48cos3故所求四边形的面积为329844--------10分23.证明（1）,,0abc，222111()4fxxxabc222111()4xxabc

2221114abc2221114abc1-------3分由柯西不等式得222(4)abc222111()4abc2(111)9当且仅当23abc时取“=”。22249abc-------5分（2）2211

2,abab22111,4bcbc221114acac（以上三式当且仅当23abc时同时取“=”）---------------7分将以上三式相加得211abbcac2221112()24abc即111122abbcac

--------10分