【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册学案课件第5章《导数章末复习与总结》(含答案).ppt，共(33)页，494.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第五章导数章末复习与总结一、数学运算与逻辑推理数学运算、逻辑推理这两大核心素养在本章中体现较多，主要涉及以下内容：(1)导数计算；(2)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(3)函数不等式的证明；(4)恒成立(能成立)的转化.导数

的几何意义1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y

＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．3．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．[例1]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线

y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．[解](1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的

切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)

(x－x0)＋x30＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16.整理得，x30＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2

)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0，又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1.解得，

x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).利用导数研究函数的单调性借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有lnx，ex，－x3等线性函数(或复合函数)的单调性

，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．[例2]设函数f(x)＝alnx＋x－1x＋1，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨

论函数f(x)的单调性．[解](1)由题意知a＝0时，f(x)＝x－1x＋1，x∈(0，＋∞)．此时f′(x)＝2(x＋1)2.可得f′(1)＝12，又因为f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.(2)函数f(

x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ax＋2(x＋1)2＝ax2＋(2a＋2)x＋ax(x＋1)2.当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当a＝－

12时，Δ＝0，f′(x)＝－12(x－1)2x(x＋1)2≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a<－12时，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－12<a<0时，Δ

>0.设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝－(a＋1)＋2a＋1a，x2＝－(a＋1)－2a＋1a，由x1＝a＋1－2a＋1－a＝a2＋2a＋1－2a＋1－a>0，所以x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f

(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－12时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－12<a<0

时，函数f(x)在0，－(a＋1)＋2a＋1a，－(a＋1)－2a＋1a，＋∞上单调递减，在－(a＋1)＋2a＋1a，－(a＋1)－2a＋1a上单调递增.1．极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的

“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然．2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号：若左正右负，则f(x)在此

根处取得极大值．若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值．即导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意．利用导数研究函数的极值和最值3．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(

x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．[例3]已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，且x＝3是f(x)的极值点．(1)求实数a的值；(2)求f(x)在x∈[1,5]上的最小值和最大值．[解](1)f′(

x)＝3x2－2ax＋3.f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5，经检验满足条件．(2)由(1)知函数f(x)＝x3－5x2＋3x.令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝13(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化

情况如下表：x1(1,3)3(3,5)5f′(x)－0＋f(x)－1单调递减－9单调递增15因此，当x＝3时，f(x)在区间[1,5]上有最小值为f(3)＝－9；当x＝5时，f(x)在区间[1,5]上有最大值为f(5)＝15.利用导数证明不等式利用导数解决不等式问题(如：证明不等

式、比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．其实质是这样的：要证不等式f(x)>g(x)，

则构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)，只需证φ(x)>0即可，由此转化成求φ(x)最小值问题，借助于导数解决．[例4]证明x3－x2＋x＋1>sinx(x>0，x∈R)．[证明]令f(x)＝x3－x2＋x＋1，则f′(x)＝3x2－2x＋1.该导函数对应的一元

二次方程的判别式Δ＝4－12<0，所以f′(x)>0恒成立，所以f(x)在R上是递增的．因为x>0，所以f(x)>f(0)＝1.而sinx≤1，所以x3－x2＋x＋1>sinx成立.利用导数解决恒成立问题解决恒成立问题的方法：(1)若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立，则

转化为f(x)max≤m；(2)若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立，则转化为f(x)min≥m；(3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具．[例5]已知函数f(x)＝xlnx.(1)若函数g(x)＝f(x)＋ax在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)

若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥－x2＋mx－32恒成立，求实数m的最大值．[解](1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝lnx＋a＋1.∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，即lnx＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立．∴

a≥－1－lnx.又当x∈[e2，＋∞)时，lnx∈[2，＋∞)．∴－1－lnx∈(－∞，－3]，∴a≥－3，即a的取值范围为[－3，＋∞)．(2)由题知，2f(x)≥－x2＋mx－3，即mx≤2xlnx＋x2

＋3.又x>0，∴m≤2xlnx＋x2＋3x.令h(x)＝2xlnx＋x2＋3x，h′(x)＝(2xlnx＋x2＋3)′·x－(2xlnx＋x2＋3)·x′x2＝(2lnx＋2＋2x)x－(2xlnx＋x

2＋3)x2＝2x＋x2－3x2，令h′(x)＝0；解得x＝1或x＝－3(舍去)．当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)在(0,1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．∴h(x)min＝h(1)＝4，即m的最大值为4.利用导数研究

方程的根或函数的零点讨论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用．问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单

调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解．[例6]设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f(x)的极值点；(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的

取值范围．[解](1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈－2，2时，f′(x)<0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f(x)的极大值点、极小值点

．(2)由(1)的分析可知y＝f(x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点需5－42＝f(2)<a<f(－2)＝5＋42.则方程f(x)＝a有3个不同实根时，所

求实数a的取值范围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x>1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)>g(1)＝－3，所以

所求k的取值范围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1,0)且f(1)＝0，曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f′(1)＝－3，由(2)中草图知要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取

值范围为(－∞，－3]．二、数学建模利用导数解决函数在实际问题中的应用问题，培养了学生的数学建模核心素养.导数的实际应用解决优化问题的步骤：(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域；(2)其次要通

过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具；(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义．[例7]如图，四边形ABCD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度

忽略不计)．某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，试求游乐园的最大面积．[解]如图，以M点为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(4,2)．设抛物线方程为y2＝2px.∵点D在抛物线上，∴22＝8p，解得p＝12.∴抛物线方程为y2＝x(0≤x≤4,0≤y≤2)．设P(y2，y

)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点，则|PQ|＝2＋y，|PN|＝4－y2.∴矩形游乐园面积为S＝|PQ|·|PN|＝(2＋y)(4－y2)＝8－y3－2y2＋4y.求导得，S′＝－3y2－4y＋4，令S′＝0，得3y2＋4y－4＝0，解得y＝

23或y＝－2(舍)．当y∈0，23时，S′>0，函数单调递增；当y∈23，2时，S′<0，函数单调递减．∴当y＝23时，S有极大值且为最大值．此时|PQ|＝2＋y＝2＋23＝83，|PN|＝4－y2＝4－232＝329.∴游乐园的最大面积为Sm

ax＝83×329＝25627(km2)．ThankYou!