【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册课件：《6.4平面向量的应用》(含答案).ppt，共(48)页，1.298 MB，由MTyang资料小铺上传

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人教必修二第六章6.4平面向量的应用旧知导入思考：你还记得平面向量学习了哪些知识吗？1、平面向量的定义；2、平面向量的加、减、数乘三种线性运算；3、平面向量的数量积运算；4、平面向量基本定理；5、平面向量的坐标表示及坐标运算；平面向量在解决数学和实际

问题中有举足轻重的作用，那么，接下来我们将借助向量的运算探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题。有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标。知识探究（一）：平面几何中的向量方法.21,//1BCD

EBCDEABCDE=证明：的中位线，用向量方法是、如图，例你能体会到这句话的含义吗？我们一起用两个具体实例来说明向量方法在平面几何中的应用。的中位线是证明：如图，因为ABCDEACAEABAD21,21==所以()ABACABA

CADAEDE−=−=−=212121从而ABACBC−=又因为BCDE21=所以.21,//BCDEBCDE=所以知识探究（一）：平面几何中的向量方法用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”：（1）建立平面几何与向

量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；方法总结（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。知识探究（一）：平面几何中的向量方法的长度之间的关系吗？与邻边的长度与两条

和，你能发现对角线形、如图，已知平行四边例ADABBDACABCD2量问题；平面几何问题转化为向问题中的几何元素，将向量表示几何与向量的联系，用解：第一步，建立平面bADaABADAB==,为基底，设，如图，

取baDBbaAC−=+=,则关系：，研究几何元素之间的第二步，通过向量运算()22222bbaabaAC+•+=+=则()22222bbaabaDB+•−=−=+=+22222baDBAC上面两式相加，得翻译”成几何关系：第三步，

把运算结果“+=+22222ADABDBAC小试牛刀BACEDPF1、已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PE垂直AB于点E，PF垂直BC于点F，连接DP，EF。求证DP垂直EF。xy1证明：不妨设正方形边长为，建系如图：则D(1,1),P(x,1-x),E(0,1-

x),F(x,0)(1,),(,1)DPxxEFxx=−−=−DPEFDPEF⊥⊥小结：①建立坐标系；②写出用到的点的坐标及向量坐标；③进行坐标运算；④还原为几何问题。几何问题代数化数形结合思想

(1)(1)0DPEFxxxx=−−−=小试牛刀，，则解：设baACbaBDbABaAD+====-,,2、如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．2252-22=•−=+•−==babbaaba

BD则21425=•=•−baba624122222=•++=+•+=+=babbaabaAC又6,6==ACAC即方法总结总结：向量在平面几何中常见的应用(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0

(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))(3)求线段的长

度或说明线段相等。()()()()()()()2211221221222,,,-,yxByxAyyxxABAByxayxaa−+===+==或常用公式：下面，我们再来感受下向量在物理中的应用。知识探究（二）：向量在物理中的应用举例释这种现象吗？。

你能从数学的角度解两臂的夹角越小越省力引体向上运动，大越费力；在单杠上做行包，两个拉力夹角越共提一个旅有这样的经验：两个人、在日常生活中，我们例3。行包所受的重力为，旅的夹角为。另设我们不妨设为方便起见，力为用在旅行包上的两个拉作的情况，如图所示，设解：先来看共提旅行包GFFFFFF21212

1,,,=道三角形的知识，可以知则、力的平衡以及直角由向量的平行四边形法2cos21GF=为定值。这里，G知识探究（二）：向量在物理中的应用举例由小逐渐变大时的值由大逐渐变小，此，逐渐变大到由时，逐渐变大到由通过这个式子发现，

当12cos2020F由大逐渐变小。此时的值由小逐渐变大，，逐渐变小到由时，逐渐变小到由反之，当12cos0220F，夹角越小越省力。之间的夹角越大越费力这就是说，21,FF越小越省力。向上运动，两臂的夹角同理，在单杠上做引体思考：()最小？最小值是多少？为何值

时，当11F()吗？为什么？能等于GF12为最小值。最小。时，当2011GFF==32212,212cos11====，即此时，只需。若要使能等于GFGF知识探究（二）：向量在物理中的应用举例()

?min1.0,/2,/1050064.642211精确到程需要多长时间艘船行驶完全那么当航程最短时，这的大小为水流速度的大小为速度。已知船的地出发，向河对岸航行一艘船从河岸边的，的宽度，一条河两岸平行，河、如图例hkmvvhkmvvAmd=

==−最短。方向行驶时，船的航程际沿着艘船实与河岸垂直，那么当这是河对岸一点，解：设点ABABB2174.6vvv+=−，设如图()hkmvvv/962221=−=则()min1.360965.0==vdt此时，船的航行时间.min1.3这艘船行驶完

全程需要所以，当航程最短时，小试牛刀1、如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为_____N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为_____.解：F1=(2,3),F2=(3,1)，∴合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4)∴合力的大小

为(5,4)225441(N).+=41小试牛刀2、一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m，其中|F1|＝2N，方向为北偏东30°；|F2|＝4N，方向为北偏东60°；|F3|＝6N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．()()(),333

,2,3,31321，，则解：如图建立坐标系，−===FFF(),342232321+−=++=，则FFFF()2424，又位移=s()()()JFJsFWF624,62436242434224232所做的功为所以合力所做的功为故合力==++−==力做的功是力在物体前进方向上的分力

与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)．小试牛刀3、在风速为km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．()2675−解：设w＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度

，vb＝va－w.如右图所示．∴vb，va，w构成三角形．,,,bavACwCBvAB===设作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°.()2-675,150==CBAB作675,275====DAEABECD30,2150==CAD

AC60,/2150方向为北偏西hkmvb=向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量的平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题，该题涉及解三角形，同时正确作图是前提．思考1：我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。这说明，给

定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，表示的公式是什么？知识探究（三）：余弦定理abcocCbac2222−+=bccocAcba2222

−+=cacocBacb2222−+=知识探究（三）：余弦定理明？：这三个公式该怎样证思考2abcocCbac2222−+=所以bccocAcba2222−+=同理可得：cacocBacb2222−+=1,,,baccABbCAaCB−====

那么证明：如图，设()()babaccc−•−=•=21得：由babbaa•−•+•=2Cbabacos222−+=知识探究（三）：余弦定理Cabbaccos2222−+=Abccbacos2222−+=Bcaacbcos2222−+=余弦定理：三角形中任何

一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边。知识探究（三）：余弦定理思考3：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一

个角之间的关系。应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？bcacbA2cos222−+=由余弦定理可得如下推论：acbcaB2cos222−+=abcbaC2cos222−+=利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角。知识探究

（三）：余弦定理思考4：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系。你能说说这两个定理之间的关系吗？0cos90==CCABC，这时如，中有一个角是直角，例

如果这就是勾股定理。由余弦定理得：.222bac+=的特例。而勾股定理是余弦定理勾股定理的推广，由此可见，余弦定理是解三角形。求其他元素的过程叫做已知三角形的几个元素三角形的元素。叫做和它们的对边角一般地，三角形的三个cbaCBA,,,,小试牛刀判一判(正确的打“√”，错

误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．()(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．()(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．()×√√知识探究（三）：余弦定理()cmAcmccmbABC11,41,34,605，边长精确

到角度精确到解这个三角形中，已知、在例===Abccbacos2222−+=解：由余弦定理得：41cos34602346022−+=78.1676()cma41所以acbcaB2cos222−+=由余弦定理的推论得：27887634

1342604134222−=−+=106B利用计算器，可得()()3310641180180=+−+−=BAC所以知识探究（三）：余弦定理()1.,1433sin,8,76精确到求满足锐角中，已知、在例BCCbaABC=

==为锐角，且解：因为CC1433sin=141314331sin1cos22=−=−=CC所以abcocCbac2222−+=由余弦定理得：914138726449=−+=3=c所以71732644992cos222−=−+=−+=acbcaB进而

98B利用计算器，可得知识探究（三）：余弦定理()()()()8484cos222222−−+−+−=−+=aaaaAbccba由余弦定理得：例7、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－

b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三角形的最大边．解：已知a－b＝4，且a>b，且a＝b＋4，又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4则b>c，从而a>b>c，所以a为最大边因为A＝120°，b＝a－4，c＝a－8144,

056182或解得即==+−aaa14,04=−=aab所以又14即三角形的最大边长为方法总结(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用正弦定理；(2)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理

求解出各角的大小；(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．知识探究（三）：余弦定理()abcba322=−−例8、在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确

定△ABC的形状．解：由2cosAsinB＝sinC，得2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0，又A与B均为△ABC的内角，∴A＝B．由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得abcba=−+

222为等边三角形由余弦定理得：ABCCC==60,21cos方法总结利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断

三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．思考1：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？知识探究（四）：正弦定理之间的定量关系。，求的对

边为，的对边为中，设在baBAbBaAABC,,,初中我们学过：1、等边对等角；2、大边对大角，小边对小角。我们可以作如下转化：”的问题。求中，已知“在决系，那么就可以直接解如果得出了这个定量关baBAABC,,,()cbBcaAABCRt

==−sin,sin94.61中，有，在如图知识探究（四）：正弦定理cBbAa==sinsin190sinsin==C又因为CcBbAaABCRtsinsinsin==中有：所以，在()jACA

ABC垂直的单位向量作与中，过如右图，在锐角2CCBjAABj−−2,2的夹角为与的夹角为与则ABCBAC=+因为AcCasinsin=即CcAasinsin=即CcBbAasinsinsin==同理可得：()ABjCBACj•

=+•所以ABjCBjACj•=•+•由分配律得−=−+AABjCCBjACj2cos2cos2cos即知识探究（四）：正弦定理的正弦的比相等，即形中，各边和它所对角正弦定理：在一个三角综上：思考2：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的

正弦，如何实现转化？sin2cos=−因为化为正弦关系。把边与角的余弦关系转角之间的互余关系，所以我们可以通过构造()仍然成立。形中同理可得：在钝角三角CcBbAasinsinsin3

==CcBbAasinsinsin==利用正弦定理，既可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题。解这个三角形。中，已知、在例,33,45,159+===cBAABC知识探究（四）：正弦定理()()1204515180

180=+−=+−=BAC理得解：由三角形内角和定()120sin15sin33sinsin+==CAca由正弦定理得()()120sin3045sin33−+=()()120sin30sin45cos30cos45s

in33−+=()2232122232233=−+=()120sin45sin33sinsin+==CBcb()26232233+=+=知识总结已知三角形的两角和任一边解三角形的基本思路(1)当所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，由三角形内角和定理求出第三

个角，再由正弦定理求第三边．(2)当所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．解这个三角形。中，已知、在例,2,2,3010===cbBABC知识探究（四）：正弦定理22230sinsi

nsin===cbBcC解：由正弦定理得：30,=Bbc因为18030C所以135,45==CC或于是()105451==AC时，当30sin105sin2sinsin==BAba此时()30sin4560sin2+=()1330sin45sin60cos4

5cos60sin2+=+=()151352==AC时，当30sin15sin2sinsin==BAba此时()30sin3045sin2−=()1330sin30sin45cos30cos45sin2−=−=知识探究（四）：正弦定理()，可能有两解。所以利

用正弦定理求角内单调递减，，内单调递减，在区间，正弦函数在区间，只有一解；所以利用余弦定理求角，内，余弦函数单调递减，，在区间由三角函数的性质可知2200思考3：例10中的C为什么有两种情况？知识总结已知三角形两边和其中一边的

对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(唯一)．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角

为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．例题讲解试判断三角形的形状。且中，若在例,sinsinsin,cossin2sin.11222CBACBAABC+==CcBbAasinsinsin==解：由正弦定理得：,sinsinsin222CBA+=222

cba+=2,2=+=CBA==BACBA-2sinBcos2sin,cossin2sin即B2sin21=(),0B4,22sin==BB为等腰直角三角形ABC判断三角形形状的方法判断三角形的形状，可以从

考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断。知识探究（五）：余弦定理、正弦定理应用举例间的距离。求出两点间距离的方法，并，一种测量可到达），设计两

点都在河的对岸（不、，、如图例BABABA,124.612−.,,,,,134.6=====−BDACDBACDBCADCaCDDCBA两点分别测得，并且在，测得两点的对岸选定两点、，在解：如图

中，由正弦定理得：和在BDCADC()()()()+++=++−+=sinsin180sinsinaaAC()()++=++−=sinsin180sinsin

aaBC两点间的距离：中，由余弦定理可得于是，在BAABC,cos222BCACBCACAB−+=()()()()()()+++++−++++++=sinsinsinsinsin2sinsins

insin2222222aaa知识探究（五）：余弦定理、正弦定理应用举例度。法，并求出建筑物的高的方计一种测量建筑物高度为建筑物的最高点。设，不可到达的一座建筑物是底部，、如图例ABABAB154.613−中，由正弦定

理，得那么，在，，测角仪器的高是，，的仰角分别是两点用测角仪器测得在三点在同一条直线上。，使，选择一条水平基线解：如图ACDhaCDAHGBGHHG=−,,,154.6()−=sinsinaAChAEAB+=度为所以，这座建筑物的高()hahAC+−=+=

sinsinsinsin知识探究（五）：余弦定理、正弦定理应用举例()?117302014）是多少海里（精确到）？需要航行的距离（精确到的方向是北偏东多少度由观测点看目标的视线标方向线往营救遇险渔船时的目处的乙船。那么乙船前的且与甲船相距，南偏西时把消息告知位

于甲船甲船立即前往救援，同遇险后抛锚等待营救。处有一艘渔船的东方向相距处的甲船获悉，在其正、位于某海域例nmileCnmileBnmileA120cos2222••−+=ACABACABBC意图，由余弦定理得解：根据题意，画出示()nmileBC24于是58921720272022=

−−+=24120sin20sin=C由正弦定理，得1235242320sin==C于是46,900CC所以由于.24763045nmile大约需要航行，偏东险渔船时的方向约是北因此，乙船前往

营救遇=+知识总结解三角形在实际测量中的常见问题(1)距离问题解决问题策略选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．知识总结(2)高度问题知识总结(3)角度问题测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要得

出所求的角．解决问题策略测量角度问题主要指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等，解决它们的关键是根据题意和图形的有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然

后通过解这些三角形，得到所求量．提升训练1、设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a,b,c，向量p=(a,2b),q=(sinA,1),且p∥q.(1)求角B的大小；(2)若△ABC是锐角三角形，m=(

cosA,cosB),n=(1,sinA-cosAtanB),求m·n的取值范围.解：(1)∵p=(a,2b),q=(sinA,1),且p∥q,∴a-2bsinA=0,由正弦定理得sinA2sinBsinA=0.∵0＜A,B,C＜π,得或1sinB,2=B6=5B.6=提升训练(2

)∵△ABC是锐角三角形，于是由A+C=π-B=及0＜C＜,得结合得B,6=33(cosA,),(1,sinAcosA),23==−mn33cosA(sinAcosA)23=+−mn13cosAs

inAsin(A).226=+=+56255AC(,).636=−0A,A,232＜＜＜＜2A,263+＜＜33sin(A)1,1.262+＜＜＜＜即mn2、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求

C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．7233解：(1)2cosC(acosB＋bcosA)＝c，由正弦定理，得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，所以2cosCsin(A＋B)＝sinC．因为A＋B＋C＝π，A，B，C

∈(0，π)，所以sin(A＋B)＝sinC>0，所以2cosC＝1，cosC＝因为C∈(0，π)，所以C＝213提升训练()2127,cos2222222−+=−+=abbaCabbac由余弦定理得：提升训练()732=−+abba即23343sin21===abCa

bS6=ab所以()57182=+=−+baba，所以75+=++cbaABC的周长为所以3、如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此

船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？提升训练1353030===ACBBBCABC，海里，中，解：在15=BAC30sin15sin30,sinsinACBACABC==即由正弦定理()()海里则26154261530

sin45cos30cos45sin153045sin1515sin15+=−=−=−==AC()有触礁危险。所以继续向南航行，没海里，海里的距离为到直线3898.40131545sin+==ACdBCA课堂小结课本P53习题6.4第8、9、13题作业布置1、平面几何中

的向量方法；2、向量在物理中的应用举例；3、正弦定理和余弦定理；4、正弦定理和余弦定理应用举例。1.几何应用例1-11四、作业布置三、课堂小结二、探索新知一、旧知导入6.4平面向量的应用板书设计2.物理应用3.正、余弦定理4.正、余弦定理应用