【文档说明】人教版高中数学必修第二册课堂练习课件6.2.3《向量的数乘运算》(含答案).ppt，共(36)页，1.043 MB，由MTyang资料小铺上传

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-1-6.2.3向量的数乘运算课标阐释思维脉络1.理解向量数乘的定义及几何意义.培养数学抽象、直观想象素养.2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量.培养逻辑推理、数学运算素养.3.掌握共线向量定理,会判断或证明两个向量共线.培养逻辑推理素养.课前篇自主预

习课前篇自主预习课前篇自主预习一一二二三三一、向量的数乘运算1.思考(1)质点从点O出发做匀速直线运动,若经过1s的位移对应的向量用a表示,那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量是多少?提示3a(2)已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(

-a).提示如图所示,𝑂𝐶=𝑂𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐶=a+a+a;𝑃𝑁=𝑃𝑄+𝑄𝑀+𝑀𝑁=(-a)+(-a)+(-a).课前篇自主预习课前篇自主预习课前篇自主预习一一二二三三(3)上述两个和向量有什么

几何意义?提示类似数的乘法,我们把a+a+a记作3a,即=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,把(-a)+(-a)+(-a)记作3(-a).显然3(-a)的方向与a

的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a.𝑂𝐶课前篇自主预习课前篇自主预习课前篇自主预习一一二二三三2.填空定义一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa长度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向与

a的方向相同λ=0λa=0λ<0λa的方向与a的方向相反规定当λ=0或a=0时,λa=0课前篇自主预习课前篇自主预习课前篇自主预习一一二二三三3.做一做(1)若|a|=3,|b|=,则|-2a|=,|3b|=.(2)若

a与b是相反向量,则5a与-4b的方向.14答案:(1)634(2)相同解析:(1)因为|a|=3,|b|=14,所以|-2a|=2|a|=6,|3b|=3|b|=34.(2)5a与a同向,-4b与b反向,而a与b是相反向量

,所以5a与-4b的方向相同.课前篇自主预习课前篇自主预习课前篇自主预习一一二二三三二、数乘向量的运算律1.思考(1)我们学习过的实数乘法有哪些运算律?提示①乘法交换律:ab=ba;②乘法结合律:(ab)c=a(bc);③乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.其中a,b,c表示任意实数.课前篇

自主预习课前篇自主预习课前篇自主预习一一二二三三(2)已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.①3(2a)=6a;②(2+3)a=2a+3a;③2(a+b)=2a+2b.提示各式均成立(如图).①3(2a)=6a;②(2+3)a=2a+3a;③2(a+b)=2a+2b.课前篇

自主预习课前篇自主预习课前篇自主预习一一二二三三2.填空(1)数乘向量的运算律①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.(2)向量的加

法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.课前篇自主预习课前篇自主预习课前篇自主预习一一二二三三3.做一做A.2a+3bB.a-3bC.2a-3bD.2a-

2b答案:C12a+b+32a-4b等于()解析:原式=12+32a+(1-4)b=2a-3b.课前篇自主预习课前篇自主预习课前篇自主预习一一二二三三三、共线向量定理1.思考(1)数乘向量λa(λ∈R)与原向量a(a≠0)之间有什么关系?提示设b=λa,

可知a与b共线.(2)上述结论反过来如何表述?还成立吗?提示反过来可表述为:如果向量a(a≠0)与b共线,那么存在唯一的λ∈R,使b=λa成立.这一结论是正确的,证明如下:已知a(a≠0)与b共线,由向量数乘的定义知:②当b=0时,b=λa(a

≠0),此时λ=0.①当b≠0时,若a与b同向,则b=|𝑏||𝑎|a,令λ=|𝑏||𝑎|;若a与b反向,则b=-|𝑏||𝑎|a,令λ=-|𝑏||𝑎|.课前篇自主预习课前篇自主预习课前篇自主预习一一二二三三(3)向量共线定理中为什么要注明“a≠0”?提示如果a=0,则λa=0

,当b为非零向量时,a与b共线,但b≠λa,定理不成立;当b=0时,b=λa,但λ可以取任意实数.2.填空(1)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.(2)要证明向量a,b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可.(3)若b=λa(λ∈R),则a

与b共线.(4)由本性质定理知,若向量𝐴𝐵=λ𝐴𝐶,则𝐴𝐵,𝐴𝐶共线.又𝐴𝐵,𝐴𝐶有公共点A,从而A,B,C三点共线,这是证明三点共线的重要方法.课前篇自主预习课前篇自主预习课前篇自主预习一一二二三三3.做一做(1)若向

量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有.(填序号)①a=2e1,b=-2e1;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2.答案:①②③解析:①中,a=-b,

所以a,b共线;②中,b=-2a,所以a,b共线;③中,a=4b,所以a,b共线;④中,不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共线.③a=4e1-25e2,b=e1-110e2;课前篇自主预习课前篇自主预习课前篇自主预习一一二二三三(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误

的打“×”.①向量λa与a的方向不是相同就是相反.()②若向量a和b共线,则必有b=λa.()答案:①×②×③×③若向量𝐴𝐵,𝐶𝐷共线,则A,B,C,D四点共线.()课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂

演练向量的线性运算例1(1)化简下列各向量表达式:分析(1)根据向量的线性运算法则求解;(2)运用实数的二元一次方程组的解法求解.①3(6a+b)-9𝑎+13𝑏;②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);③23(4𝑎-3𝑏)+13𝑏-14(6𝑎-7𝑏).

(2)解关于x,y的方程组2𝑥+3𝑦=𝑎,𝑥-4𝑦=2𝑏.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练解:(1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a.②

原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.③原式=234𝑎-3𝑏+13𝑏-32𝑎+74𝑏=2352a-1112b=53a-1118b.(2)由x-4y=2b,可得x=4y+2b,代入2x+3y=a,可得2(4y+2b)+3y=a,于是8y+4

b+3y=a,解得y=111a-411b,再代入x=4y+2b中可得x=411a+611b.故方程组的解是𝑥=411𝑎+611𝑏,𝑦=111𝑎-411𝑏.反思感悟向量的线性运算类似于代数多项式的运算,共线向量可以合并,即“合并同

类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指的是向量.运算时要遵循括号内运算优先的原则.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那

么a,b用m,n可以表示为a=,b=.变式训练1(1)1312(2𝑎+8𝑏)-(4𝑎-2𝑏)的结果是()答案:(1)B(2)37m+17n-17m+27n解析:(1)原式=13(a+4b-4a+2b)=

13(-3a+6b)=-a+2b=2b-a.(2)由2a-b=m,可得2a-m=b,代入a+3b=n可得a+3(2a-m)=n,解得a=37m+17n,代入2a-m=b可得b=-17m+27n.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维

辨析随堂演练随堂演练共线向量定理及其应用角度1向量共线的判定例2判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).(1)a=5e1,b=-10e1;(3)a=e1+e2,b=3e1-3e2.(2)a=12e1-13e2,b=3e1-2e2

;课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练解:(1)∵b=-2a,∴a与b共线.(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),∴(1-3λ)e1+(1+

3λ)e2=0.∵e1与e2是两非零不共线向量,∴1-3λ=0,1+3λ=0.这样的λ不存在,因此a与b不共线.(2)∵a=16b,∴a与b共线.反思感悟向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零向量,若存在唯一一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.解题过程中,需要把两向量用

共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练角度2用已知向量表示未知向量例3如图,在△ABC中,BD=2DC.若𝐴𝐵=a,

𝐴𝐶=b,则𝐴𝐷=()A.23a+13bB.23a-13bC.13a+23bD.13a-23b答案:C解析:由题意可得,𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐴𝐵+23𝐵𝐶=𝐴𝐵+23(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=13𝐴𝐵+23�

�𝐶=13a+23b.反思感悟用已知向量来表示另外一些所求未知向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加、减、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理,相似三角形对应边成比例等,把

未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练变式训练2如图,四边形OADB是以向量𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b所在线段为邻边的平行四边形,对角线交

于C,又𝐵𝑀=13𝐵𝐶,𝐶𝑁=13𝐶𝐷,试用向量a,b表示𝑂𝑀,𝑂𝑁,𝑀𝑁.解:∵𝐵𝐴=𝑂𝐴−𝑂𝐵=a-b,∴𝐵𝑀=13𝐵𝐶=16𝐵𝐴=16(a-b),∴𝑂𝑀=𝑂𝐵+𝐵𝑀=b+16(a-b)=16a+56b.∵𝐶

𝑁=13𝐶𝐷=16𝑂𝐷,∴𝑂𝑁=𝑂𝐶+𝐶𝑁=12𝑂𝐷+16𝑂𝐷=23𝑂𝐷=23(𝑂𝐴+𝑂𝐵)=23(a+b)=23a+23b.∴𝑀𝑁=𝑂𝑁−𝑂𝑀=23𝑎+23𝑏−16𝑎+56𝑏=12a-16b

.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练角度3证明三点共线问题例4已知e1,e2是两个不共线的向量,若𝐴𝐵=2e1-8e2,𝐶𝐵=e1+3e2,𝐶𝐷=2e1-e

2,求证:A,B,D三点共线.证明:∵𝐶𝐵=e1+3e2,𝐶𝐷=2e1-e2,∴𝐵𝐷=𝐶𝐷−𝐶𝐵=e1-4e2.又𝐴𝐵=2e1-8e2=2(e1-4e2),∴𝐴𝐵=2𝐵�

�,∴𝐴𝐵∥𝐵𝐷.∵AB与BD有交点B,∴A,B,D三点共线.反思感悟1.证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线,两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据.2.若A,B,C三点共线,则向量在同一直线上,因此必定存在实数,使得其中两

个向量之间存在线性关系,而向量共线定理是实现线性关系的依据.𝐴𝐵,𝐴𝐶,𝐵𝐶课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练(1)求证:A,B,M三点共线

;(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.变式训练3已知O,A,M,B为平面上四点,且𝑂𝑀=λ𝑂𝐵+(1-λ)𝑂𝐴(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).(1)证明:∵𝑂𝑀=λ𝑂𝐵+(1-λ)𝑂𝐴,∴𝑂𝑀=λ𝑂𝐵+𝑂𝐴-λ𝑂𝐴,𝑂𝑀

−𝑂𝐴=λ𝑂𝐵-λ𝑂𝐴,∴𝐴𝑀=λ𝐴𝐵(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).又AM与AB有公共点A,∴A,B,M三点共线.(2)解:由(1)知𝐴𝑀=λ𝐴𝐵,若点B在线段AM上,则𝐴𝑀与𝐴𝐵同向,且|𝐴𝑀|>|𝐴

𝐵|>0,∴λ>1.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练角度4求参问题例5在△ABC中,已知D是AB边上一点,若𝐴𝐷=2𝐷𝐵,𝐶𝐷=13𝐶𝐴

+λ𝐶𝐵,则λ=()A.23B.13C.-13D.-23答案:A解析:(方法一)由𝐴𝐷=2𝐷𝐵得𝐶𝐷−𝐶𝐴=2(𝐶𝐵−𝐶𝐷),即𝐶𝐷=13𝐶𝐴+23𝐶𝐵,所以λ=23.(方法二)因为𝐶𝐷=𝐶�

�+𝐴𝐷=𝐶𝐴+23𝐴𝐵=𝐶𝐴+23(𝐶𝐵−𝐶𝐴)=13𝐶𝐴+23𝐶𝐵,所以λ=23.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练变式训练4在△ABC中,点D在BC边上,且𝐶𝐷=4𝐷𝐵,�

�𝐷=r𝐴𝐵+s𝐴𝐶,则3r+s的值为()A.165B.125C.85D.45答案:C解析:∵𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐶,𝐶𝐷=4𝐷𝐵,∴𝐶𝐷=45𝐶𝐵,即𝐶𝐷=45𝐴𝐵−

45𝐴𝐶,∴r=45,s=-45,∴3r+s=85.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练向量线性运算的综合应用角度1求解三角形的面积比例6设O为△ABC内部的一点,且𝑂�

�+𝑂𝐵+2𝑂𝐶=0,则△AOC的面积与△BOC的面积之比为()A.32B.53C.2D.1答案:D解析:如图所示,取AB的中点D,连接OD.∵𝑂𝐴+𝑂𝐵+2𝑂𝐶=0,∴𝑂𝐴+𝑂𝐵=2𝐶𝑂=2𝑂𝐷,则C,O,D三点共线且点A,B到OC的距离相等,∵OC边为公

共边,∴△AOC,△BOC的面积相等.故选D.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练变式训练5在△ABC所在的平面上有一点P,满足𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶=𝐴𝐵,则△PBC与△A

BC的面积之比是()A.13B.12C.23D.34答案:C解析:因为𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶=𝐴𝐵,所以𝑃𝐶=𝐴𝐵−𝑃𝐵−𝑃𝐴=𝐴𝐵+𝐵𝑃+𝐴𝑃=2𝐴𝑃,所以点P在边CA上,且是靠近点A一侧的三等分点

,所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练角度2解决三角形的四心问题例7O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足𝑂𝑃=𝑂𝐴+λ𝐴𝐵|𝐴

𝐵|+𝐴𝐶|𝐴𝐶|,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心答案:B解析:题中向量式中有𝑂𝑃,𝑂𝐴两共起点的向量,于是可利用移项得𝑂𝑃−𝑂𝐴=𝐴𝑃,从而将向量式中的点O去掉.∴𝐴𝑃=λ𝐴𝐵|𝐴𝐵|+𝐴𝐶|

𝐴𝐶|.令𝐴𝐵|𝐴𝐵|+𝐴𝐶|𝐴𝐶|=𝐴𝑀,则𝐴𝑀是以A为起点,向量𝐴𝐵|𝐴𝐵|与𝐴𝐶|𝐴𝐶|为邻边的菱形对角线对应的向量,即𝐴𝑀在∠BAC的平分线上.∵𝐴𝑃=λ𝐴𝑀,∴𝐴𝑃,𝐴�

�共线.∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练反思感悟(1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等.(2)三角

形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,满足|𝑀𝐴|=|𝑀𝐵|=|𝑀𝐶|,则点M为△ABC的外心.(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若G是△

ABC内一点,且满足𝐺𝐴+𝐺𝐵+𝐺𝐶=0,则G是△ABC的重心.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练变式训练6若【例7】题设中的条件“𝑂𝑃=𝑂𝐴+

λ𝐴𝐵|𝐴𝐵|+𝐴𝐶|𝐴𝐶|,λ∈[0,+∞)”改为“𝑂𝑃=𝑂𝐴+λ(𝐴𝐵+𝐴𝐶),λ∈[0,+∞)”,则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.重心C.垂心D.内心答案:B解析:由𝑂𝑃=𝑂𝐴+λ(𝐴𝐵+𝐴𝐶),λ∈[0,+∞),得

𝐴𝑃=λ(𝐴𝐵+𝐴𝐶),则𝐴𝑃与△ABC中边BC的中线共线,又由λ∈[0,+∞),知点P的轨迹通过△ABC的重心.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练对共线

向量的条件理解不清致误典例已知非零向量e1和e2,试判断3e1+2e2与3e1-2e2是否共线.错解:若存在实数λ,使3e1+2e2=λ(3e1-2e2),则3e1+2e2=3λe1-2λe2,即(3-3λ)e1=(-2λ-2)e2,错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示错解中对向

量共线的条件理解不清,只有当e1,e2不共线,且λe1=μe2时,才有λ=μ=0,否则不一定成立.题目条件没有限定e1和e2不共线,因此,上述解法是错误的.于是3-3𝜆=0,-2𝜆-2=0,λ无解,所

以不存在实数λ,使3e1+2e2=λ(3e1-2e2),故两个向量不共线.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练正解:①若向量e1和e2不共线,由错解过程可知3e1+2e2与3e1-2e2

不共线.②若向量e1和e2共线,可设e2=ke1(k∈R),则3e1+2e2=(3+2k)e1,3e1-2e2=(3-2k)e1,3+2k与3-2k中至少有一个不为0,不妨设3-2k≠0,防错有术本题容易对向量共线的条件理解不清而致误,即没有考虑e1与e2共线的情况.要注

意结论“若非零向量e1,e2不共线,且λe1=μe2,则必有λ=μ=0”成立的条件是e1,e2不共线,因此在应用该结论解决相关问题时,务必注意这一条件.于是3e1+2e2=3+2𝑘3-2𝑘(3e1-2e2),这时3e1+2e2与3e1-2e2共

线.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是()A.a与λa的方向相同B.a与-λa的方向相反C.a与λ2a的方向相同D.|λa|

=λ|a|答案:C解析:因为λ≠0,所以λ2>0,于是向量a与λ2a的方向相同.2.4(a-b)-3(a+b)-b等于()A.a-2bB.aC.a-6bD.a-8b答案:D解析:原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b

.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练3.下列说法正确的个数为()①0·a=0;②0·a=0;③a·0=0;④a·0=0.A.1B.2C.3D.4答案:B解析:本题考查数乘

向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选B.4.在△ABC中,D是AB边上一点,若𝐴𝐷=𝐷𝐵,𝐶𝐷=12𝐶𝐴+λ𝐶𝐵,则λ=.答案:12解析:∵𝐴𝐷=𝐷𝐵,∴D是AB的中点,∴𝐶𝐷=12(�

�𝐴+𝐶𝐵),∴λ=12.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练5.已知两个非零向量a,b不共线,且ka+3b与2a+kb共线,求实数k的值.解:因为ka+3b与2a+kb共线,所以存在实数λ,使ka+3b=λ(2a+

kb),即ka+3b=2λa+λkb,即(k-2λ)a=(λk-3)b.由于a,b不共线,所以𝑘-2𝜆=0,𝜆𝑘-3=0,解得k=±6.即实数k的值为6或-6.课堂篇探究学习课堂篇探究学习课堂篇探究学习探

究一探究一探究二探究二探究三探究三思维辨析思维辨析随堂演练随堂演练6.如图,已知𝑂𝐴'=3𝑂𝐴,𝐴'𝐵'=3𝐴𝐵,求证:△OAB∽△OA'B'.证明:∵𝑂𝐵'=𝑂𝐴'+𝐴'𝐵'=3𝑂𝐴+3𝐴𝐵=

3𝑂𝐵,∴|𝑂𝐴'|=3|𝑂𝐴|,|𝐴'𝐵'|=3|𝐴𝐵|,|𝑂𝐵'|=3|𝑂𝐵|,即|𝑂𝐴'||𝑂𝐴|=|𝐴'𝐵'||𝐴𝐵|=|𝑂𝐵'||𝑂𝐵|=3

,且𝑂𝐴'与𝑂𝐴,𝐴'𝐵'与𝐴𝐵,𝑂𝐵'与𝑂𝐵的方向分别相同,∴△OAB∽△OA'B'.