【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册(精练)8.6《空间直线、平面的垂直》（2）（精炼）（解析版）.doc，共(29)页，1.781 MB，由MTyang资料小铺上传

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8.6空间直线、平面的垂直（2）（精炼）【题组一线线角】1．（2021·河南驻马店市·高一期末）在底面为正方形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，45PDA，则异面直线PB与AC所成的角为（）A．90B．60C．45D．30°【答案】B【解析】因为四棱锥PABCD中，PA

底面ABCD，45PDA，所以PA=AD，又底面为正方形，所以四棱锥PABCD可扩充为正方体，如图示：连结PE、BE，，则PE∥AC，所以∠EPB（或其补角）为异面直线PB与AC所成的角.而△EPB为正三角形，所以∠EPB=60.故选：B.2．（2021·河

南焦作市·高一期末）如图所示，A，B为正方体的两个顶点，M，N为其所在棱的中点，则异面直线AB与MN所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】作如图所示的辅助线，由于M，N为其所在棱的中点，所以//MNPQ，又因为//ACPQ，所以//ACMN

，所以CAB即为异面直线AB与MN所成的角（或补角），易得ABACBC，所以60CAB.故选：C．3．（2021·浙江高一期末）已知在正四面体(各棱长均相等的四面体)ABCD中，2CEEB

，则直线AB与DE所成角的余弦值是（）A．77B．1114C．427D．277【答案】A【解析】设正四面体的棱长为3，2CEEB则1BE,过E作//EFAB交AC于点F,则AB与DE所成角即为FE与DE所成角，1AF,2FE,在AFDV中，22212cos9123172DFADAFA

DAFFAD,即7DF,同理7DE,所以2224777cos27227FEEDFDFEDFEED.故选：A.4．（2021·全国高一课时练习）正方体1111A

BCDABCD中，直线AC与直线1BC所成的角、直线AC与平面1AD所成的角分别为（）A．45,60B．90,45C．60,60D．60,45【答案】D【解析】如图：∵11//ADB

C，∴直线AC与直线1BC所成角为1DAC，∵1ACD△是等边三角形，∴160DAC，∵CD平面11ADDA，∴直线AC与平面1AD所成角为CAD，∵ADC是等腰直角三角形，∴45CAD，故选：D.5．（2020·全国高

一单元测试）如图，在三棱柱111ABCABC中，1CACBCC，CACB，1CC底面ABC，则异面直线1AB与BC所成角的余弦值是（）A．33B．63C．22D．23【答案】A【解析】在三棱柱111ABCABC中，11/

/BCBC，异面直线1AB与BC所成的角为11ABC或其补角，连接1AC，1CC底面ABC，CB平面ABC，1CCCB，又CACB，1CACCC，CB平面11ACCA，又1AC平面11ACCA，1CBAC，由11//CBBC，可得111BCAC，CACB，2AB

，又111BBCC，13AB，在Rt△11ABC中，1111113cos33BCABCAB，即异面直线1AB与BC所成角的余弦值为33．故选：A．6．（2020·浙江高一期末）在正方体1111ABCDABCD中，M和N分别为11AB，和1BB的中点．，那么直线AM与CN

所成角的余弦值是（）A．25B．1010C．35D．32【答案】A【解析】设,EF分别是1,ABCC的中点，由于,MN分别是111,ABBB的中点，结合正方体的性质可知11//,//BEAMBFCN，所以1EBF是异面直

线AM和CN所成的角或其补角，设异面直线AM和CN所成的角为，设正方体的边长为2，2211125BEBF，2221216EF，则1coscosEBF55625255.故选：A.7．（2020·浙江高一期末）已知在底面为菱形的直四棱柱1111ABCDA

BCD中，14,42ABBD，若60BAD，则异面直线1BC与1AD所成的角为（）A．90B．60C．45D．30【答案】A【解析】连接1,BDBC，∵四边形ABCD为菱形，60,4BADAB，4BD.又1BDD为直角三角形，22211BDBDDD

，得14DD，∴四边形11BCCB为正方形.连接1BC交1BC于点O11//BCAD，BOC（或其补角)为异面直线1BC与1AD所成的角，由于11BCCB为正方形，90BOC，故异面直线1BC与1AD所成的角为90°.故选：A.8．（2019·西安交通

大学附属中学雁塔校区高一月考）在四面体SABC中，SABC且SABC，E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）．A．30B．45C．60D．90【答案】B【解析】如图，取AC的中点D，连接DE、DF，DQ、E分别为SC、AC的中点，//DESA，所以，D

EF为异面直线EF与SA所成的角，设2SABC，则112DESA，112DFBC，由SABC，可知DEDF，45DEF，即异面直线EF与SA所成的角等于45.故选：B.9．（2021·浙江高一期末）已知四棱锥PABCD的底面是边长为2的菱形，且

60ABC，2PAPC，PBPD.（Ⅰ）若O是AC与BD的交点，求证：PO平面ABCD；（Ⅱ）若点M是PD的中点，求异面直线AD与CM所成角的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1020.【解析】（1）连接AC与BD交于点O，连OP.P

APC，PDPB，且O是AC和BD的中点，POAC，POBD,AC和BD为平面ABCD内的两条相交直线，PO平面ABCD.（2）取PA的中点N，连接MN，则//MNAD，则NMC就是所求的角（或其补角），根据题意得2,3PAPCAC

ABADPOOD所以112MNAD，3NC，6PD所以，22610442MCPCPM故22210cos220MNMCNCNMCMNMC10．（2021·六盘山高级中学高一期末）已知正方体1111ABCDABCD，E是棱1BB的中点，求异面直线AC与1E

C所成角的余弦值.【答案】105【解析】连接11AC，1AE，在正方体1111ABCDABCD中，易知11//ACAC，所以11ACE即为异面直线AC与1EC所成的角或所成角的补角，记正方体的棱长为2，因为E是棱1BB的中点，所以2211215AE

EC，又22112222AC，所以22211111111182252210cos5ECACAEACEECAC.即异面直线AC与1EC所成角的余弦值为105.【题组二线面角】1．（2021·全国高一课时练

习）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.（1）证明：BC面PAC；（2）若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）62.【解析】证明：(1)AB为圆O直径∠ACB=

90°即AC⊥BCPA⊥面ABC，PA⊥BCACPA=ABC⊥面PAC.(2)BC⊥面PAC，∠BPC为PB与平面PAC所成的角，在直角三角形ABC中，22213BC，在直角三角形PAC中

，22112PC,在直角三角形PBC中，tan∠BPC=3622.故直线PB与平面PAC所成角的正切值为62.2．（2020·浙江高一期末）如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为平行四边形，平面PCD平面ABCD，60DCPDAB，1,4ADPC．

（1）求证：ADPB；（2）求AB与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）155【解析】（1）过P作PE⊥CD，交CD于点E，连接BE∵4PC，60DCP所以CE=2，又因为60ECBDAB,且1AD所以90EBC

o∴BE⊥BC∴AD⊥BE又因为平面PCD平面ABCD且PE⊥BC∴AD⊥PE∴AD⊥面PEB∴ADPB（2）∵ABEC∥∴AB与平面PBC所成角即为EC与平面PBC所成角过E作EF⊥PB，交PB于F点，

连接CF，易知EF⊥平面PBC所以∠ECF为AB与平面PBC所成角，因为PE=23315EBPB，，，根据等面积法得到2155EF215155sin==25ECF∠所以AB与平面PBC所成角的正弦值为155.3．（2020·浙江高

一期末）如图，在四棱锥PABCD中，12,//,2PAPBADCDBCADBCADCD，E是PA的中点，平面PAB平面ABCD．（1）证明：PBCE；（2）求直线CE与平面PBC所成的角的余弦

值．【答案】（1）证明见解析；（2）69.【解析】（1）证明：由已知可得在直角梯形ABCD中，222222AC，2242222AB，4BC，∴222ABACBC，∴ACAB，∵平面PAB

平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，AC平面ABCD，∴AC平面PAB，∴ACPB，∵2PAPB，22AB，∴222PAPBAB，∴PBPA，∵ACPAA，∴PB平面PAC，∵CE平面PAC，∴PBCE.（

2）由（1）得PB平面PAC，∵PB平面PBC，∴平面PBC平面PAC，过点E在平面PAC内作EFPC，垂足为点F，平面PBC平面PAC，平面PAC平面PBCPC，EFPC，EF平面PAC，EF平面PBC，∴PCE即为直线CE与平面PB

C所成角，PCE中，2223PCBCPB，222PCACPA，90PAC，所以，223CEACAE，且1PE，∴22253cos29PCCEPEPCEPCCE，∴2536sin199PCE，∴直线CE与平面PBC所成

的角的正弦值为69.4．（2020·江苏高一期中）已知斜三棱柱111ABCABC的侧面11AACC与底面ABC垂直，1190,ABCAAACAC.且D为AB中点，1AC与1AC相交于点O．（1）求证：//OD平面11CCBB；（2）求直线1AB与底面ABC所成角的大小.【答案】（1）

证明见解析；（2）60【解析】（1）连1,ODBC，则1//ODBC又OD面11CCBB，1BC面11CCBB，//OD平面11CCBB；（2）连1AB，取AC中点E，连1AE，则1AEAC由面11AACC与底面ABC垂直，且1AE面11AA

CC，可得1AE面ABC则1ABE为直线1AB与底面ABC所成角设111AAACAC，则132AE；90ABC，则12BE；11tan3BEABEAE，即160ABE则直线1AB与底面ABC所成角

的大小为605．（2021·河南洛阳市·高一期末）如图.在三棱锥PABC中,PA平面ABC,90ACB,AEPB于E点,AFPC于F点,2PAAB,30BPC.(1)求PBAF；(2)求直线AE与平面PBC所成角的正弦值.【

答案】(1)证明见解析；(2)63.【解析】(1)证明：PA平面ABC,BC平面ABC.BCPA.又BCAC,PAACA,BC平面PAC.平面PBC平面PAC.又平面PBC平面PACPC,AF平面PAC,AFP

C,AF平面PBC.又PB平面PBC,AFPB.(2)由(1)知AF平面PBC,连结EF,则EF就是AE在平面PBC内的射影.AEF就是AE与平面PBC所成的角.22PB,2BC,2AC,222336AF.2AE.在RtAFE中,

6sin3AFAEFAE.AE与平面PBC所成角的正弦值为63.6．（2021·浙江高一期末）在三棱锥ABCD中，BCD△为等腰直角三角形，点E，G分别是线段BD，CD的中点，点F在线段AB上，且2BFFA.若1AD，3AB，2CBCD.（Ⅰ）求证：//AG平

面CEF；（Ⅱ）求直线AD与平面CEF所成的角.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6.【解析】（Ⅰ）连接BG交EC于H，连接FH.则点H为BCD△的重心，有2BHHG.因为2BFBHFAHG，所以//FHAG，且FH平面CEF，AG

平面CEF，所以//AG平面CEF.（Ⅱ）因为233BF，1BE，30ABD，所以22212cos3EFBFBEBEBFABD，故222EFBFBE，所以EFBD，且CEB

D，,CEEF平面CEF，CEEFE所以BD平面CEF.过F作AD的平行线FP，交BD于P.则PE平面CEF.所以直线FP与平面CEF所成角为PFE.且23FP，13EP，90FEP，所以1sin2PFE，得6PFE.所以直线FP与平面CEF所成的角为

6，即直线AD与平面CEF所成的角为6.7．（2021·全国高一课时练习）如图，三棱柱111ABCABC所有的棱长均为1，且四边形11CBBC为正方形，又1ABBC.（Ⅰ）求证：111ABAC；（Ⅱ）求直线AB和平面11AACC所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解

析（Ⅱ）63【解析】（Ⅰ）作AC的中点D,连接11,CDCB,因为三棱柱111ABCABC所有的棱长均为1BDAC,又四边形11CBBC为正方形11BCBC，1ABBC,1BC面1ABC1BC1AC又四边形11ACCA是菱形，所以11ACAC1AC面11ABC111

ABAC（Ⅱ）作1BHCD因为三棱柱111ABCABC11//ABAB,1ABAC由题知11,2ABBC,11AC所以△1ACC是等边三角形，1CADC△ACB是等边三角形，BDAC,1BDCDDAC面1BCD,BH面1BCD，所以BHAC，1AC

CDDBH面11ACCA,BH是面11ACCA的垂线，AB是平面的斜线,BAH即为所求角.在三角形1BDC中113,22BDCDBC由平面几何知识得63BH6sin3BHHABAB故直线AB和平面11AACC所成角的正弦值为63【题组三面面角】1（2021

·河南高一期末）如图，在长方体1111ABCDABCD中，底面ABCD是正方形，12AAAB，E为1CC的中点.（1）证明：1//AC平面BDE；（2）证明：平面BDE平面1ACC；（3）求二面角EBDC的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）证

明见解析；（3）4．【解析】（1）证明：设BDCO，连接OE，则O是AC中点，又E是1CC中点，∴1//ACOE，又OE平面BDE，1AC平面BDE，∴1//AC平面BDE．（2）1CC平面ABCD，BD平面ABCD，∴1CCBD，同理1CCAC，又正方形中BDCA，1AC

CCC，1,ACCC平面1ACC，∴BD平面1ACC，又∵BD平面BDE，∴平面BDE平面1ACC；（3）∵BD平面1ACC，OE平面1ACC，∴BDOE，∴EOC是二面角EBDC的平面角，由已知112C

CAAAB，而2ACAB，,EO分别是1,CCAC中点，∴OCCE，∴4EOC．即二面角EBDC的大小为4．2．（2021·浙江高一期末）如图，四棱锥PABCD中，2PCPDDCAD

，底面ABCD为矩形，平面PCD平面ABCD，O､E分别是棱CD､PA的中点.（1）求证：//OE平面PBC；（2）求二面角PABC--的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】（1）取PB中点F，连接,EFFC，因为E是PA中点，∴//EFAB，且12

EFAB，又ABCD是矩形，//,ABCDABCD，O是CD中点，∴//,EFOCEFOC，∴EFCO是平行四边形，∴//OECF，而OE平面PBC，CF平面PBC，∴//OE平面PBC．（2）取AB中点G，连接,,OGP

GOP，ABCD是矩形，O是CD中点，则OGAB，又PAPCCD，∴POCD，而平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，PO平面PCD，∴PO平面ABCD，∵,OGAB平面ABCD，∴POAB，POOG．POOGO，,POOG平面POG

，∴AB平面POG，而PG平面POG，∴ABPG，∴PGO（或其补角）是二面角PABC--的平面角．设1AD，则1OG，2CD，3PO，∴3tan31POPGOOG，[0,]PGO，∴3PGO．∴二面角

PABC--的大小为3．3．（2021·宁夏银川市·银川一中高一期末）如图，棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧棱1AA底面ABCD，过AB的截面与上底面交于PQ，且点P在棱11AD上，点Q在棱11C

B上，且1AB，3AC，2BC.（1）求证：11//PQAB；（2）若二面角1ACDC的平面角的余弦值为21919，求侧棱1BB的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（1）在棱柱1111ABCDA

BCD中，//AB面1111DCBA，ABÌ面ABPQ，面1111ABCD面ABPQPQ，由线面平行的性质定理有//ABPQ，又11//ABAB，故11//PQAB；（2）证明：在底面ABCD中，1AB，3AC，2BC.222ABACBC，ABAC，ACCD又因为侧棱1

AA底面ABCD，则1CC底面ABCDAC面11ABBA，1CCAC又1CCCDC，AC面11CDDC过点C作1CSCD于S，连接AS，则CSA是二面角1ACDC的平面角．2os199c1CSA，22cossi

n1CSACSA，则1in159sCSA，故1an52tCSA，1532tanACCSCSCSA，25CS．设1CCx，则1111122CCDSCDCSCDCC．21xCSx，225

1xCSx故12CC，故12BB．4．（2020·浙江高一期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（1）求直线

PA与平面ABCD所成角的大小；（2）求证：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C-PB-D的大小.【答案】（1）45；（2）证明见解析；（3）60o.【解析】（1）因为侧棱PD平面ABCD，所以AD为直线PA在平面ABCD上的射影，PDAD，故PAD即为直线P

A与平面ABCD所成的角，又PDDCAD，所以45PAD，所以直线PA与平面ABCD所成的角为45；（2）证明：因为侧棱PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC，又BCDC，PDDCD，所以BC⊥平面PDC，BCDE

，由PDDC可得DEPC，又BCPCC，所以DE平面PBC，EDPB，因为PBEF，DEEFE，所以PB平面EFD；（3）由（2）知,EFPBDFPB，所以EFD为二面角CPBD的平面角，不妨设PDDCa，则22DEa，66EFa，63DFa，在DEF中，

由余弦定理得2221cos22EFDFDEEFDEFDF，所以二面角CPBD的大小为60o.5．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，三棱柱111ABCABC的棱长均相等，113CCB，平面ABC

平面11BCCB，,EF分别为棱11AB、BC的中点.（1）求证：//BE平面11AFC；（2）求二面角111FACB的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】证明：（1）取11AC的中点G，连接,

EGFG，于是111//2EGBC，又111//2BFBC，所以//BFEG，所以四边形BFGE是平行四边形，所以//BEFG，而BE面11AFC，FG面11AFC，所以直线//BE平面11AFC；（2）连接11,FBBG，∵

四边形11BCCB为菱形，01160CCB，F为BC的中点，∴111FBBC，∵平面ABC平面11BCCB，且平面//ABC平面111ABC，平面111ABC平面11BCCB，且平面111ABCÇ平面1111BCCBB

C，∴1FB平面111ABC，又111BGAC，∴11FGAC，∴1FGB就是二面角11FACB的平面角，设棱长为2，则113FBBG，∴14FGB，∴二面角11FACB的大小为4.6

．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图所示，在三棱锥DABC中，AD平面DBC，120BDC，且1AD，2DBDC，E是DC的中点.（1）求异面直线AE与BD所成角的余弦值；（2）求二面角ABEC的正切值.【答案】（1）24；（2）213

.【解析】（1）取线段BC中点F，连接EF、AF、DF，则//EFBD，且112EFBD，从而AEF或其补角就是直线AE与BD所成的角.AD平面BCD，CD平面BCD，ADCD，同理可得ADDF，E为CD的中点，则112DECD，222

AEADDE，2BDCD，F为BC的中点，则DFBC，120BDCoQ，30CBD，sin301DFBD，则222AFADDF，由余弦定理可得2222cos24AEEFAFAEFAEEF，因此，异面直线AE与BD所成角的余弦值为24；（2）可知二面角A

BEC的平面角与二面角ABED的平面角互补.在平面BCD内作直线DGBE于G，连接AG，AD平面BCD，BE平面BCD，BEAD，同理可得ADDG，BEDG，ADDGD，BE平面AD

G，AG平面ADG，AGBE，所以，二面角ABED的平面角为AGD，在DBE中，由余弦定理得222cos1207BEBDDEBDDE，由等面积法可得11sin12022BDESBDDEBEDG△，sin120217BDD

EDGBE，在RtADG中，21tan3ADAGDDG，二面角ABEC的正切值为213.7．（2021·河南洛阳市·高一期末）在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，O是底面ABCD的中心.（1）求证:1BO//平面11DAC;（2）求点O

到平面11DAC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）233.【解析】（1）证明：连接11BD，设11111BDACO，连接1DO.11//OBDO且11OBDO，11BODO是平行四边形.11//BODO.又1

DO平面11DAC，1BO平面11DAC，1//BO平面11DAC.（2）1111ACBD，111ACBB，且1111BBBDB，11AC平面11BDDB.平面11DAC平面11BDDB，且交线为1DO.在平面

11BDDB内，过点O作1OHDO于H，则OH平面11DAC，即OH的长就是点O到平面11DAC的距离.在矩形11BDDB中，连接1OO，1OODOHD∽△△，则11ODODOOOH，222336OH.即点O到平面11DAC的距离为233.