【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册(精练)8.6《空间直线、平面的垂直》（1）（精炼）（解析版）.doc，共(24)页，1.410 MB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-39322.html

以下为本文档部分文字说明：

8.6空间直线、平面的垂直（1）（精炼）【题组一线面垂直】1．（2021·海原县第一中学高一期末）如图，已知PA⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AEPC于E．求证：AE⊥平面PBC．【答案】证明见解析.【解析】证明：由AB是⊙O的直

径，得BCAC.又PA⊙O所在平面BC⊙O所在平面内所以BCPA，又ACPAA，所以BC⊥面PAC，AE面PAC.所以BCAE，又AEPC，BCPCC，所以AE⊥平面PBC．2．（2021·全国高一课时练习）如图

，在正方体1111ABCDABCD中，E为11BD的中点，ACBDO.求证：（1）AC平面11BBDD；（2）//DE平面1ACB.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）在正方体中，1BB平面ABCD，AC平面ABCD

，1BBAC，ACBD^，1BDBBB，AC平面11BBDD；（2）连接1OB，在正方体中，11//BBDD且11BBDD，四边形11BBDD是平行四边形，11//BDBD且11BDBD，,OE分别为11,BDBD中点，1DOEB，四边形1DEB

O是平行四边形，1//DEOB，DE平面1ACB，1OB平面1ACB，//DE平面1ACB.3．（2020·全国高一课时练习）如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，点O为底面ABCD的中心，点F为1CC的中点，求证：1AO平面BDF．【答案】证明见解析.【解析】证明

：在正方形ABCD中，ACBD，1AA平面ABCD，BD平面ABCD，可得1AABD，而1ACAAA∩，可得BD平面11AACC，而1AO平面11AACC，则1BDAO，在直角三角形1AAO和直角三角形FCO中，12AAAOCOCF，1AAOOCF，1AAOCOF

，1190AAOAOA，190COFAOA，即190AOF，即1OFAO，又1BDAO，而OFBDO，则1AO平面BDF．4．（2020·全国高一课时练习）如图所示，在四面体ABCD中，棱2CD，其余各棱长都为1，E为CD的中

点．求证：（1）CD平面ABE；（2）AE⊥平面BCD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）由已知可得ADACCBBD，E为CD的中点．所以CDAE，CDBE，又AE

BEEI，所以CD平面ABE．（2）由2CD，其余各棱长都为1，可得90DAC，90DBC，由E为CD的中点．可得1222AEBECD，因为1AB，所以222AEBEAB，所以AEBE，又AECD，CDBEE，所以A

E⊥平面BCD．5．（2020·全国高一课时练习）如图，已知正方体1111ABCDABCD．（1）直线AB与平面11BCCB是否垂直？为什么？（2）直线AC与平面11BBDD是否垂直？为什么？（3）直线1AC与平面ABCD是否垂直？为什么？（4）直线1AB

与平面11ABCD是否垂直？为什么？【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）垂直，证明见解析；（3）不垂直，证明见解析；（4）垂直，证明见解析．【解析】（1）垂直，因为ABBC，1ABBB，且1BBB

CB，BC平面11BCCB，1BB平面11BCCB所以AB平面11BCCB；（2）垂直，因为ACBD，1ACBB，且1BDBBB，BD平面11BBDD，1BB平面11BBDD；所以AC平面11

BBDD；（3）不垂直，因为1AC与BC不垂直，所以1AC与平面ABCD不垂直；（4）垂直，因为11ABAB，1ABBC，且1ABBCB，1AB平面11ABCD，BC平面11ABCD．所以1AB平面11ABCD．6．（

2020·全国高一课时练习）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，90BAD，22CDABAD，侧面PAD是正三角形且垂直于面ABCD，E是PC中点.（1）求证：//BE面PAD；（2）求证：BE平面PCD.【答案】（1）证明见解析；（2）证

明见解析.【解析】证明：（1）取PD的中点F，连接AF、EF，E是PC中点，//EFCD，12EFCD，//ABCD，2CDAB，//EFAB，EFAB，四边形ABEF是平行四边形，//BEAF，又BE平面PAD，AF平面PAD，//BE面PAD.（2）面PAD

面ABCD，面PAD面ABCDAD，CDAD，CD\^面PAD，AF平面PAD，CDAF，等边三角形PAD，F为PD的中点，AFPD，又CDPDD，CD、PD平面PCD，AF平面PCD，//AFBE，BE平面PCD.【题组二线线垂直】1．（2020·陕西西安市·西安一中

高一月考）如图1，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD垂直于底面ABCD，M是PC的中点，已知四棱锥的侧视图，如图2所示.（1）证明：DMPB^；（2）求棱锥PBDM的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）94.【解析】解：（1）由侧视图可知，3PDAD，因为PD平面

ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC，又因为ABCD是正方形，所以BCCD.而PDCDD，PD，CD平面PCD，所以BC⊥平面PCD.因为DM平面PCD，所以DMBC.又PCD是等腰三角形，M是PC的中点，所以DMPC，而PCBCC，PC，BC平面PBC，所以

DM平面PBC，而PB平面PBC，所以DMPB^.（2）111323293332224PBDMBPDMPDMVVSBC.2．（2020·陕西西安市·高一期末）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，,

,ABADACCDPAAC，E是PC的中点．证明：（Ⅰ）CDAE；（Ⅱ）PD平面ABE．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）因为PA底面ABCD，CD底面ABCD，所以PACD，又ACCD，PAACA，所以CD平面PAE，又A

E平面PAE所以CDAE；（Ⅱ）因为PAAC，E是PC的中点，所以PCAE，又CDAE，CDPCC，所以AE⊥平面PCD，又PD平面PCD，所以PDAE,又因为ABAD，ABPA且ADPAA，

所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD，又AEABAI，所以PD平面ABE．3．（2021·陕西商洛市·高一期末）如图，在三棱柱111ABCABC中，2212AAACBC，1AA平面ABC，ACBC，

D为棱1CC的中点.（1）证明：1ABAD.（2）求点1A到平面ABD的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）证明：如图，取1AB的中点E，连接AE，DE.因为1AA平面ABC，所以三棱柱111ABCABC为直三棱柱.因为ACBC，D为棱1CC的中点，所以21(2

)13BDADAD.所以1DEAB.因为ACBC，2ACBC，所以2AB，所以ABAA.因为E为1AB的中点，所以1AEAB.又AEDEE，所以1AB平面ADE.因为AD平面ADE，所以1ABAD.（2）解：在三棱锥1BAAD

中，112222AADS△.因为BC⊥平面1AAD，且2BC，所以三棱锥1BAAD的体积为122233.设点1A到平面ABD的距离为d，则1233ABDSd△.因为3ADBD，所以221112()222222ABDSADAB△.所以2d

，即点1A到平面ABD的距离为2.4．（2020·全国高一单元测试）已知直三棱柱111ABCABC中，90BAC，ABAC，D是BC中点，E是1AA的中点.（1）求证：1ADBC；（2）求证：//DE平面11ACB.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）ABAC，ABC∴为等腰三角形DQ为BC中点，ADBC，111ABCABC为直棱柱，平面ABC平面1BC，平面ABC平面1BCBC，AD平面ABC，AD平面1BC，1ADBC.（2）取1CC

中点F，连结DF，EF，DQ，E，F分别为BC，1CC，1AA的中点11//EFAC，1//DFBC，1111ACBCC，DFEFF平面//DEF平面11ACB，DE平面DEF//DE平面

11ACB.【题组三面面垂直】1．（2021·全国高一课时练习）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是半圆弧CD上异于C，D的点.（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得//MC平面PBD？说明理由.【答案】（1）证明见解析；（

2）存在，理由见解析.【解析】证明：（1）由题意可知，平面ABCD平面CDM，又∵平面ABCD平面CDMCD，CDAD，AD平面ABCD，∴AD平面CDM，又MC平面CDM，∴ADMC，又由圆的性质知MDMC，

∵ADMDDI，AD平面AMD，MD平面AMD，∴MC平面AMD，∵MC平面BMC，∴平面AMD平面BMC；（2）存在点P，当点P为线段AM的中点时，MC∥平面PBD.理由如下：连接DB与AC交于点O，则O为AC的中点，连接PO，则PO是三角形AMC的中位线，∴MCPO∥，∵PO

平面PBD，MC平面PBD，∴MC∥平面PBD.2．（2021·全国高一课时练习）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：//PB平面AEC；（2）设1AP

，3AD，四棱锥PABCD的体积为1，求证：平面PAC平面PBD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接BD交AC于点O，连结EO,因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点,又E为PD的中点，所以//EOPB,EO平面A

EC，PB平面AEC，所以//PB平面AEC.（2）因为113PABCDVABADAP,所以3AB，所以底面ABCD为正方形，所以BDAC，因为PAABCD，所以BDPA，且ACPAA，所以BD平面PAC，又BD平面PBD，所以平面PA

C平面PBD.3．（2021·陕西商洛市·高一期末）在如图所示的几何体中，四边形BCED为直角梯形，//DECB，BCEC，90AED.（1）证明：平面ABC平面ACE.（2）若P，Q分别是AE，CD的中点，证明：//PQ平面ABC.【

答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）在直角梯形BCED中，BCEC，//DECB，则DEEC.因为90AED，所以AEDE.因为AEECE，所以DE平面ACE，所以BC⊥平面ACE.因为BC平面ABC，所以平面ABC平面ACE.（2）取C

E的中点O，连接OP，OQ.因为O，P分别为CE，AE的中点，所以//OPAC,又OP平面ABC，AC平面ABC，//OP平面ABC，同理//OQ平面ABC，因为OPOQO，所以平面//OPQ平面ABC

，又PQ平面OPQ，所以//PQ平面ABC.4．（2020·全国高一单元测试）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）若P点

是线段AM的中点，求证：//MC平面PBD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）因为矩形ABCD所在平面与半圆弦CD所在平面垂直，面ABCD面CDMCD，ADDC，AD面ABCD，所以AD半圆弦CD所在平面，且CM半圆弦CD所在平面，所以CMAD；又M

是CD上异于C，D的点，所以CMDM；又DMADD，所以CM平面AMD；又CM平面CMB，所以平面AMD平面BMC；（2）由P是AM的中点，连接BD交AC于点O，连接OP，如图所示：由中位线定理得//MCOP；又MC平面BDP，

OP平面BDP，所以//MC平面PBD．5．（2020·西安市华山中学高一月考）如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC底面ABC，ACBC，M是1CC的中点，求证：平面1ABM平面11AABB.【答案】证明见解析【解析】连接1AB，交

1AB于点P，三棱柱111ABCABC中，四边形11AABB是矩形，P是1AB的中点，取AB的中点N，连接,,CNPNMP，则//,NPCMNPCM，四边形MCNP是平行四边形，//CNMP，又AC

BC，CNAB，1CC底面ABC，CN底面ABC，1CCCN，又11//AACC，1AACN，CN平面11AABB，MP平面11AABB，MP平面1ABM，平面1ABM平面11AABB.6

．（2021·全国高一）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.证明：平面AMD平面BMC.【答案】证明见解析【解析】由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC

平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BCCM=C，所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.7．（2020·新疆巴

音郭楞蒙古自治州·高一期末）如图，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC且ABBC，D、E分别为PC、AC的中点.（1）求证：//PA平面BDE；（2）求证：平面BDE平面PAC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1

）∵D、E分别为PC、AC的中点，∴//DEPA，∵DE平面BDE，PA平面BDE，∴//PA平面BDE．（2）∵在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，D、E分别为PC、AC的中点，∴PABE，ACBE，∵PAACA，∴BE

平面PAC．∵BE平面ABC，∴平面BDE⊥平面PAC．【题组四空间距离】1．（2021·全国高一课时练习）正方体1111ABCDABCD的棱长为1，则点C到平面1BDC的距离为（）A．2B．3C．23D．33【答案】D【解析】

设点C到平面1BDC的距离为是h,如图，易知1111111113326CBDCBDCVSCC△,因为1221133sin6022222BDCSBD△所以1111333326CBDCBDCVShhh，由11CBDCCBDCVV

，所以3166h，解得：33h故选：D2．（2020·全国高一课时练习）在长方体1111ABCDABCD中，M，N分别为11CD，AB的中点，4AB，则MN与平面11BCCB的距离为（）A．4B．22C．2D．2【答案】C【解析】如图，1MNBC,又1BC平面11BCC

B，MN∥平面11BCCB.∴MN与平面11BCCB的距离为N到面11BCCB的距离.又N到平面11BCCB的距离为122NBAB.∴MN与平面11BCCB的距离为2.故选：C3．（2020·天津师范大学附属实验中学高二月考）长方体1111ABCDABCD中，15AA

，12AB，那么直线11BC和平面11ABCD的距离是________．【答案】6013【解析】∵直线11BC//平面11ABCD，∴直线11BC和平面11ABCD的距离即为点1B和平面11ABCD的距离.∵面11ABBA面11ABCD，在面11ABBA内过1B作1AB的垂线

，即为面11ABCD的垂线，也就是直角三角形11ABB斜边上的高d，由面积法得：512601313d.故答案为：6013.4．（2020·上海高三专题练习）平面//，点,AC，点,BD，如果28ABCD，且AB，CD在内射影长分别为5和9，则平

面与间的距离为________．【答案】12【解析】如图，,AECF，由题意可知，5BE，9DF，设ABx，28CDx，则22252881xx，解得：13x，平面与平面间的距离2213512AE故答案为：

125．（2020·全国高一课时练习）在长方体1111ABCDABCD中，E，F，G，H分别为1AA，1BB，1CC，1DD的中点，14AA，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________.【

答案】2【解析】如图平面ABCD平面EFGH又1AA平面ABCD.平面ABCD与平面EFGH的距离为1114222AA.故答案为：26．（2020·全国高二课时练习）如图，在长方体1111ABCDABCD中，设3AB，2BC，11AA，则点B到面11ADDA的距离

为________，直线AC与面1111DCBA的距离为________，面11ABBA与面11DCCD的距离为________.【答案】312【解析】在长方体1111ABCDABCD中，AB面1111DCBA,所以

点B到面11ADDA的距离为3AB即点B到面11ADDA的距离为3.AC面1111DCBA,则直线AC上任意一点到面11ADDA的距离相等。由1AA面11ADDA,所以点A到面11ADDA的距离为1=1AA所以直线AC与面1111DCBA的距离为1.面11ABBA与面11D

CCD平行，且BC与面11ABBA、面11DCCD都垂直所以线段BC为面11ABBA与面11DCCD的距离故面11ABBA与面11DCCD的距离2.7．（2019·上海大学附属中学）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，则平面11BBCC和平面11A

ADD的距离为________.【答案】1【解析】因为正方体的对面互相平行，AB均于平面11BBCC和平面11AADD垂直，故AB为平面11BBCC和平面11AADD的距离，即为1故答案为：1．8．（2020·山东济宁市·高一期末）如图，在棱长为

2的正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为11AD，11BC的中点.（1）求证：平面1//ABE平面1BDF；（2）求平面1ABE与平面1BDF之间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）63.【

解析】（1）证明：∵正方体1111ABCDABCD中E，F分别为11AD，11BC的中点，∴1DE∥1BF，1DE=1BF∴四边形11BFDE是平行四边形.∴11//BEDF.又1BE平面1BDF，1DF平1BDF，∴1//BE平面1BDF.∵EF∥AB，E

F=AB∴四边形ABFE是平行四边形.∴//AEBF.又AE平向1BDF，BF平面1BDF，∴AE∥平面1BDF.又∵1AEBEE，∴平面1//ABE平面1BDF.（2）平面1ABE与平面1BDF之间的距离也就是点B到面1ABE的距离，设为h，∵正方体1111A

BCDABCD的棱长为2，∴15AEBE，122AB，∴1ABE△的面积1221225262ABES△∴三棱锥1BABE的体积111633BABEABEVShh△，.又三棱锥1EABB的体积1111112221

3323EABBABBVSAE△.由11BABEAEBBVV可得，6233h解得63h.∴平面1ABE与平面1BDF之间的距离为63.