【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册(精讲)8.6《空间直线、平面的垂直》（2）（解析版）.doc，共(15)页，931.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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8.6空间直线、平面的垂直（2）（精讲）思维导图考法一线线角【例1】（2021·广西河池市·高一期末）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD常见考法为正方形，PAAB，E为AP的中点，则异面直线PC

与DE所成的角的正弦值为（）．A．25B．55C．155D．105【答案】D【解析】连AC，BD相交于点O，连OE、BE，因为E为AP的中点，O为AC的中点，有PC//OE，可得OED为异面直线PC与DE所成的角，不妨设正方形中，2AB，则2PA，由PA平面ABCD，可得,PAABPA

AD，则145BEDE，1122222ODBD，因为BEDE，O为BD的中点，所以90EOD，210sin55ODOEDDE．故选：D.【一隅三反】1．（2021·浙江高一期末）在正方体1111ABCD

ABCD中，M是正方形ABCD的中心，则直线1AD与直线1BM所成角大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解析】设正方体的棱长为2a，连接1BC，MC，MB，因为11//BCAD，故1CBM或其补角为直线1AD与直线1BM所成角.而122

BCa，2MCa，222211426BMBBBMaaa，故22211BCBMCM，所以1MBCM，所以163cos222aCBMa，因为1CBM为锐角，故130CBM，故选：A.2．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将

四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A．12B．-12C．2D．32【答案】A【解析】如图所示，分别取AB，AD，

BC，BD的中点E，F，G，O，则//EFBD，//EGAC，FOOG，FEG或其补角为异面直线AC与BD所成角．设2ABa，则2EGEFa，222FGaaa，60FEG，异面直线AC与BD所成角的余弦值为12，故选：A．3．（2021·陕西西安市·西安中学高一期

末）如图，四面体ABCD中，4CD，2AB，E，F分别是,ACBD的中点，若EFAB，则EF与CD所成的角的大小是（）A．6B．4C．3D．2【答案】A【解析】如图所示：取BC的中点G，连接EG，FG，因为

E，F，G都为中点，所以//,//EGABFGCD,所以FEG，EFGÐ分别为异面直线EF与AB，EF与CD所成的角，因为EFAB，所以90FEG又因为4CD，2AB，所以1,2EGFG所以1sin2EFG,因为(0,]2EFG，所以6EFG故选：A考

法二线面角【例2】（2021·河南高一期末）在三棱柱111ABCABC中，90BAC，1BCAC^，且12ACBC，则直线11BC与平面1ABC所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60

°D．90°【答案】A【解析】∵90BAC，12ACBC，∴30CBA，∵1BCAC^，ABAC，1BCABB=，1,BCAB平面1ABC，∴AC平面1ABC，∴CBA就是BC与平面1ABC所成的角，即BC与平面1ABC所成的角是30°，

∵棱柱中11//BCBC，∴11BC与平面1ABC所成的角的大小为30°，故选：A．【一隅三反】1．（2021·全国高一课时练习）直三棱柱111ABCABC中，1ABACAA，60BAC，则1AC与面11BCCB成角的正弦值为（）A．6

4B．34C．63D．33【答案】A【解析】如图，过A作AMBC，连接1CM，在直三棱柱111ABCABC中，因为11,BBAMBCBBB所以AM平面11BBCC，故1AC在平面11BBCC上的射影为1MC,所以1ACM为直线1AC与平面11BBCC所成的角，设1ABACA

Aa，又60BAC所以13,22AMaACa故1362sin42aACMa故选：A2．（2021·浙江高一期末）如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD△为等边三角形，2ADDEAB，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：//AF平

面BCE；（Ⅱ）求直线BD和平面CDE所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）155【解析】（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，如图所示：因为F、G分别为CD、CE的中点，所以//FGDE且1FGDE2，又因为AB平面ACD，DE平面ACD，所以//ABDE，12ABDE,所

以//FGAB，FGAB，所以四边形ABGF为平行四边形，所以//AFBG，又因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以//AF平面BCE；（Ⅱ）因为AB平面ACD，AF平面ACD，所以ABAF

，所以GFAF，又ACD△为等边三角形，F为CD的中点，所以AFCD，又,CDGF平面CDE，所以AF平面CDE，即BG平面CDE，又DG平面CDE，则BGDG，连接DG，BD，如图所示，则BDG即为直线BD和平面CDE所成角，设22ADDEAB

，在RtCDE△中，2DG，在直角梯形ABED中，225BDADAB，在RtBGD中，223BGBDGD，所以315sin55BGBDGBD，所以直线BD和平面CDE所成角的正弦值为155.3．（2021·河南焦作

市·高一期末）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PA底面ABCD，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点.（1）求证：DE平面PAH；（2）若2PAAD，求直线PD与平面PAH所成线面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1

05.【解析】（1）因为PA底面ABCD，DE底面ABCD，所以PADE，因为E，H分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，,,ABDABHAEHBAEAD==??，所以RtABHRtDAE≌△△，所以BAHADE，由90AEDADE所以90BAHAED

，所以DEAH，因为PA平面PAH，AH平面PAH，PAAHA，所以DE平面PAH.（2）由（1）可知DE平面PAH，设AHDEG，如图，连接PG，则DPG即为直线PD与平面PAH所成线面角，因为2PAAD，所以22PD，5DE，在RtDAEV中，由

于AGDE，所以2ADDGDE，所以45DG，所以45DG，所以在RtPDG△中，4105sin522DGDPGPD，即直线PD与平面PAH所成线面角的正弦值为105.考法三面面角【例3】（2021·全国高一课

时练习）如图，三棱台111ABCABC的下底面是正三角形1ABBB，111BCBB，则二面角1ABBC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】三棱台111ABCABC中，11//BCBC，且111BCBB，则1BCBB，

又1ABBB，且ABBCB,所以1BB平面ABC，所以ABC为1ABBC的二面角，因为ABC为等边三角形，所以60ABC.故选：C【一隅三反】1．（2021·浙江高一期末）长方体111iABCDABCD中，2ABBC，11AA，则二面角11ABDC的余

弦值的大小为（）A．63B．13C．13D．63【答案】B【解析】取BD中点O，连接1AO、1CO，因为11ABAD，11CBCD，所以1AOBD，1COBD，所以11AOC即为二面角11AB

DC的平面角，连接11AC，2AOCO，111AACC，所以113AOCO，又因为1122AC，在11AOC△中，222111111113381cos23233AOCOACAOCAOCO，所以二面角11ABDC的余弦值为13，故选：B

2．（2021·浙江高一期末）如图，已知AB平面,BCDBCCD．（Ⅰ）求证：平面ABC平面ACD；（Ⅱ）若3ABBC，求二面角ACDB的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD，BCCD，ABBCB

，CD\^平面ABC，CD平面ACD，平面ABC平面ACD；（Ⅱ）由（1）得CD平面ABC，AC平面ABC，CDAC，BCCD，ACB即为二面角ACDB的平面角，在直角三角形ABC

中，3ABBC，则tan3ABACBBC，3πACB，即二面角ACDB的大小为3.3．（2021·陕西西安市·西安中学高一期末）如图所示，在长方体1111ABCDABCD中，11,2ADAAAB，点E是AB的中点.（1）证明：1//BD平面1A

DE；（2）证明：11DEAD；（3）求二面角1DECD的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）22.【解析】（1）如图所示：连接1AD交1AD于点O，连接EO，则O为1AD的

中点.∵E是AB的中点，∴1//OEBD又OE平面1ADE，1BD平面1ADE，∴1//BD平面1ADE.（2）由题意可知，四边形11ADDA是正方形，∴11ADAD.∵AB平面11ADDA，1AD平面11ADDA，∴1ABAD.∵ABÌ平面1ADE，1A

D平面1ADE，1ABADA，∴1AD平面1ADE.又1DE平面1ADE，∴11ADDE，即11DEAD.（3）在CED中，2CD，222DEADAE，222CECBBE，∴CEDE∵1DD平面,ABCDCE平面ABCD，∴1CEDD

.∵1DD平面1DDE，DE平面1DDE，1DDDED，∴CE平面1DDE.又∵1DE平面1DDE，∴1CEDE.∴1DED是二面角1DECD的平面角.在A1DED中，∵190DDE，11DD，2DE，∴1112tan22DDDEDDE

，∴二面角1DECD的正切值为22.