【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册第5章《一元函数的导数及其应用》章节复习综合测试(1)(含答案).doc，共(24)页，796.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用综合检测1一、单选题1．函数21()yxxx的导数为（）A．21xxB．1xxC．212xxD．212xx2．函数3xfxxe的

单调递增区间是（）A．,2B．2,C．(1,4)D．(0,3)3．函数fx的定义域为开区间ab，，导函数fx在ab，内的图象如图所示，则函数fx在开区间ab，内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．

4个4．设fx是函数fx的导函数，fx的图象如图所示，则fx的图象最有可能的是（）A．B．C．D．5．已知函数fx是偶函数，当0x时，ln1fxxx，则曲线yfx在1x处的切线方程为（）A．yx

B．2yxC．yxD．2yx6．如图是函数yfx的导函数'yfx的图象,则下列说法正确的是（）A．xa是函数yfx的极小值点B．当xa或xb时，函数fx的值为0C．函数yfx在,a上是增函数D．函数yfx在,

b上是增函数7．已知函数()lnxfxaxx在(1,)上有极值，则实数a的取值范围为（）A．1,4B．1,4C．10,4D．10,48．已知函数sin22si

nfxxx，0,2πx，则下列判断正确的是（）A．fx是增函数B．fx的极大值点是2π3C．fx是减函数D．fx的极小值点是2π39．函数fx的导函数为fx，若已知f

x图象如图，则下列说法正确的是（）A．fx存在极大值点B．fx在0,单调递增C．fx一定有最小值D．不等式0fx一定有解10．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益

.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系3002tPtP，其中0P为时该放射性同位素的含量.已知15t时，该放射性同位素的瞬时变化率为32ln210，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为（）A．20天B．30天C．45天D．6

0天11．已知定义在0,上的函数fx满足0xfxfx，其中fx是函数fx的导函数，若201920191fmmf，则实数m的取值范围为（）A．0,2020B．2019,C．2020,D．2019,202012．已知函

数fx是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有2xfxefx，当0x时，0fxfx，若211aefafa，则实数a的取值范围是（）A．20,3B．2,03C．0,

D．,0第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．曲线lnyxx在点10，处的切线的方程为__________.14．定义在R上的函数fx的导函数为fx，00f，若对任意x

R，都有1fxfx，则使得()11xfxe+>成立的x的取值范围为______.15．已知a为正实数，若函数322()32fxxaxa的极小值为0，则a的值为_____16．已知函数xfxxe

，21ln2gxxxa，若12,1,2xx，使得12fxgx，则实数a的取值范围是______.三、解答题17．已知函数39fxxx.（1）求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；（2）求函数fx的单调区间与极值.18．已

知函数23xfxx.（1）试判断fx在1,2上的单调性；（2）求函数fx在1,2上的最值.19．已知函数()afxx=经过点(2,4)P，2()xbegxx.（1）求函数()fx的解析式；

（2）设函数()()()Fxfxgx，若()Fx的图象与直线:lyex相切，求b值.20．设函数32()fxaxbxc，其中0ab，a，b，c均为常数，曲线yfx在11f

，处的切线方程为10xy.（1）求a，b，c的值；（2）求函数fx的极值.21．已知aR，函数2()()xfxxaxexR.（1）当0a时，求函数fx的单调区间；（2）若函数fx在1,1上单调递减，

求a的取值范围.22．已知函数22lnfxxxax，gxax．（1）若a为负实数,求函数Fxfxgx的极值；（2）若不等式sin2cosgxxx对0x恒成立，求a的取值范围．参考答案1．C【分

析】直接利用导数的运算公式和法则求解.【详解】因为函数21()yxxx，所以23212112yxxxxxx，故选：C【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，属于基础题.2．B【分析】求出函数yfx的导数，在解出不等式

0fx可得出所求函数的单调递增区间.【详解】3xfxxeQ，2xfxxe，解不等式0fx，解得2x，因此，函数3xfxxe的单调递增区间是2,，故选B.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然

后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题.3．A【分析】直接利用函数极小值点的定义求解.【详解】由导函数fx在ab，内的图象知：函数fx在开区间ab，内有极小值点1个，故选：A【点睛】本题主要

考查函数极小值点的定义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.4．C【分析】根据fx的图象，由fx的符号，确定原函数fx的单调性，确定fx的图象.【详解】从fx的图象可以看出当,0x，0fx，

fx在,0上为增函数；当0,2x时，0fx，fx在0,2上为减函数；当2,x时，0fx，fx在2,上为增函数，符合的图象是C.故选：C.【点睛】本题考查了导函数图象与原函数图象间的关系，属于容易题.5．C【分析】利用导数的几何意义以及点斜

式方程即可求解.【详解】因为0x，()ln()1fxxx，()11f，又由fx是偶函数，(1)1f，令0x，则()ln1fxxx，根据fx是偶函数，()()fxfx，得到0x时，()ln1fxxx，所以，0x

时，()ln1fxx，(1)1f，利用直线的点斜式方程，曲线()yfx在1x处的切线方程为11yx，即yx.故选C6．D【分析】由导函数的图象得到原函数的增减区间及极值点，然后逐一分

析四个命题即可得到答案．【详解】解：由函数fx的导函数图象可知，当(),,(,)xaab时，0fx′，原函数为减函数；当(,)xb时，0fx′，原函数为增函数.故D正确，C错误；故xa不是函数fx的极值点，故A错误；当xa或xb时,导函数f

x的值为0，函数fx的值未知，故B错误；故选：D.7．B【分析】求导可得2ln1()(ln)xfxax，则()()fxgxa在(1,)上有变号零点，令1lntx，利用二次函数的性质可求得a的取值范围．【详解】2ln1()(ln)xfxax，设22ln

111()(ln)ln(ln)xgxxxx，函数()fx在区间(1,)上有极值，()()fxgxa在(1,)上有变号零点，即()gxa在(1,)上有解，令1lntx，由1x可得0l

nx，即0t，得到22111()244yttt„，解得：14a．故选：B．8．D【分析】求出22cos22cos4cos2cos2fxxxxx4cos2cos1xx求出函数fx的单

调区间，从而可得出答案.【详解】由22cos22cos4cos2cos2fxxxxx由24cos2cos24cos2cos10fxxxxx解得1cos2x

，又0,2πx，所以2433x由0fx，得203x或423x所以fx在203，上单调递减，在2433，上单调递增，在423，上单调递减.所以函数fx在0,2π上不是单调函数，故A,C不正确.

所以函数fx在23x处有极小值，在43x处有极大值.故选项B不正确，选项D正确.故选：D9．C【分析】根据图象可得fx的符号，从而可得fx的单调区间，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案.【详解】由所给fx的图象，可得当1x时，0fx，当10x

时，0fx，当01x时，0fx，当1x时，0fx，可得fx在,1递减，1,0递增；在0,1递减，在1,递增，B错误，且知110ff，所以

fx存在极小值1f和1f，无极大值，A错误，同时无论0f是否存在，可得出fx一定有最小值，但是最小值不一定为负数，故C正确，D错误.故选：C.10．D【分析】根据题中条件，先求出0P，再令4.5Pt，代入

解析式求解，即可得出结果.【详解】由3002tPtP得30012ln230tPtP，因为15t时，该放射性同位素的瞬时变化率为32ln210，即02ln232ln2156010PP

，解得018P，则30182tPt，当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即4.5Pt，所以301824.5t，即30124t，所以230t，解得60t.故选：D.11．D【分析】构造函数fxhx

x，根据导数可判断函数单调递减，由2019120191fmfm，结合函数定义域可解得.【详解】令fxhxx，0,x，则2xfxfxhxx，因为0xfxfx，所以0hx，所以函数hx在0,上单调递减

．因为201920191fmmf，20190m，所以2019120191fmfm，即20191hmh，所以20191m且20190m，解得20192020m，所以实数m的取值范围为2019,20

20．故选D．【点睛】易错点点睛，本题的容易忽略定义域20190m，切记解函数抽象不等式要优先考虑定义域.12．B【分析】构造函数xgxefx，根据题意，可得函数()gx的奇偶性，根据0x时0fxfx，对

函数()gx求导，可得函数()gx的单调性，将211aefafa，左右同乘1ae，可得211211aaefaefa，即211gaga，利用()gx的性质，即可求得答案.【详解】∵2xfxefx，∴xxxfx

efxefxe，令xgxefx，则gxgx，即()gx为偶函数，当0x时0fxfx，∴'0xxefxfxg，即函数gx在,0上单调递增

.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知gx在0,上单调递减，∵211aefafa，∴211211aaefaefa，∴211gaga，即211

aa，解得，203a，故选：B.【点睛】解题的关键是将题干条件转化为xxxfxefxefxe，根据左右相同的形式，构造函数xgxefx，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于211ae

fafa，不符合函数()gx的形式，需左右同乘1ae，方可利用函数()gx的性质求解，属中档题.13．1yx【分析】求出导函数，得切线斜率后可得切线方程．【详解】ln1yx¢=+，∴切线斜率为1|ln111xky，切线方程为1yx．故答

案为：1yx．14．(0,)【分析】构造函数()1()xfxgxe，对其求导，根据题中条件，由导数的方法判定函数单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数()1()xfxgxe，(0)1g，因为对任意xR，都有

01fxfx，所以2110xxxxfxefxefxfxgxee恒成立，所以函数gx在R上单调递增，由()1()1(0)xfxgxge，解得0x，所以x的取值范围为(0,).故答案为：(0,).【点睛】关键点点睛：求解本题的

关键在于，构造函数()1()xfxgxe，结合题中条件，由导数的方法判定函数单调性，即可求解出结果.15．12．【分析】求导数，确定极小值，由极小值为0求得a．【详解】由题意2()363(2)fxxaxxxa，∵0a，∴

0x或2xa时，()0fx，02xa时，()0fx，∴()fx在(,0)和(2,)a上递增，在(0,2)a上递减，()fx的极小值是332(2)81220faaaa，解得12a（0a舍去）．故答案为：1216．2211ln22,2ee

【分析】“若12,1,2xx，使得12fxgx”转换为集合交集非空，分别根据导数求fx，gx的值域，进一步求出答案.【详解】因为xfxxe所以1xxxfxexexe

当1,2x，0fx，所以fx单调递减，221fxee，因为21ln2gxxxa，所以gx211xxxx，当1,2x，()0gx¢³，所以gx单调递增，1,2ln22gxaa

因为12,1,2xx，使得12fxgx，所以222ln2112aeae所以2211ln22,2aee.故答案为：2211ln22,2ee

.【点睛】本题考查的是导数综合的问题，涉及到函数单调性以及恒成立的问题，属中档题.本题主要是转换的思想，“若12,1,2xx，使得12fxgx”可以转换为集合交集非空.17．（1）620xy；（2）函数fx的单调增区

间为,3，3,；减区间为3,3；极大值63，极小值63.【分析】（1）求出0f和0f的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）求出函数yfx的极值点，列表分析函数yfx的单调性以及导数符号的

变化，即可得出函数yfx的单调区间和极值.【详解】解：（1）因为39fxxx，所以239fxx当1x时，18f，16f，所以曲线yfx在点1,1f处的切线过点1,8，斜

率为6k所以切线方程为861yx，即620xy.（2）函数fx的定义域为R令2390fxx得，3xx,333,333,fx00

fx增极大值减极小值增所以函数fx的单调增区间为,3，3,；减区间为3,3当3x时，函数fx有极大值，363f当3x时，函数fx有极小值，363f.【点睛】本题考查利用导数求函数的

切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查计算能力，属于基础题.18．（1）fx在1,2上为减函数；（2）min4fx，max12fx.【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可.（2）根据函数的单调性即可得到函数的最值.【详解】（1）2

3xfxx，22223633xxxxxfxxx，12x，0fx，fx在1,2上为减函数.（2）由（1）知fx在1,2上为减函数，min42423fxf，

max111132fxf.19．（1）2()fxx；（2）1.【分析】（1）代入已知点的坐标可得()fx的解析式；（2）设切点为为00(,)xy，然后利用导数的几何意义求解．【详解】（1）由题意(2)24af，2a，∴2()fxx；（2）由（1）()xgx

be，设切点为00(,)Qxy，()xgxbe，∴00()xgxbee，又000()xgxbeex，两者结合可解得01x，1b．【点睛】方法点睛：本题导数的几何意义．求函数()yfx的切线方程的方法：（1）若求函数()fx的图象在00(,)Pxy处的切

线，则只要求得()fx，由0()fx是切线斜率可得切线方程；（2）若求过00(,)Pxy的切线方程，则一般设切点为11(,)Qxy，由（1）求出在Q点的切线方程111()()yyfxxx，由切线过点00(,)Pxy求出切点坐标，得切线方程．已知切线方程也是同样求解．20．

（1）1a，1b，0c=；（2）极小值为0，极大值为427.【分析】（1）由导数的几何意义可得(1)321fab，再由点11f，在切线上即可得解；（2）利用导数确定函数的单调性，结合极值的概念即可得解.【详解】（1）因

为2()32fxaxbx，切线10xy的斜率为1，所以(1)321fab，又0ab，所以1,1ab，所以1fabcc，由点1,c在直线10xy上，可得110c，即0c=，所以1,1,0abc；（2）由（1）得

32()fxxx=-+，则2()3232fxxxxx，当2,0,3x时，()0fx；当20,3x时，()0fx；所以()fx的单调增区间为20,3，减区间

为2,0,,3，所以函数fx的极小值为00f，极大值为2844327927f.21．（1）fx在(,2)和(0,)上递增，在(2,0)

上递减；（2）3,2【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可【详解】解：（1）当0a时，2()xfxxe，则'()(2)xfxxex，令'

()0fx，得0x或2x，令'()0fx，得20x，所以fx在(,2)和(0,)上递增，在(2,0)上递减；（2）'2()[(2)]xfxxaxae，令2()(2)gxxaxa，若函数fx在1,1上单调递减，则()0gx在

1,1上恒成立，则(1)1(2)0(1)1(2)0gaagaa，解得32a，所以a的取值范围为3,2，【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查由函数的单调性求参数范围，考查二次函数的性质，属于基础题22．（1）

当2a时，Fx没有极值；当20a时，2ln22aaFxaa极大值，1Fax极小值；当2a时，1Fax极大值，2ln42aaFxaa极小值．（2）1,3．【分析】（1）首

先求出Fx的解析式，再求出导函数21=xaxFxx，再对参数a分类讨论，求出函数的单调区间与极值；（2）设sin2cosxhxaxx（0x）求出函数的导函数，依题意0hx在0x时恒成立即可，从而求出参数的取值范围；【详解】解：（1）22

lnFxxxaxax，Fx的定义域为0,22221xaxaxaxFxxx，①012a，即20a时，Fx在0,2a和1,上递增，在,12a上递减，2ln242aaaF

xFaa极大值，11FFxa极小值；②12a，即2a时，Fx在0,上递增，Fx没有极值；③12a，即2a时，Fx在0,1和,2a上递增，Fx在1,2a

上递减，∴11FFxa极大值，2ln242aaaFxFaa极小值．综上可知：当2a时，Fx没有极值；当20a时，2ln222aaaFxFaa

极大值，11FFxa极小值；当2a时，11FFxa极大值，2ln242aaaFxFaa极小值．（2）设sin2cosx

hxaxx（0x），212cos2cosxhxax，设costx，则1,1t，2122ttt，4322121022tttttt，∴t在1,1上递增，∴t

的值域为11,3，①当13a时，0hx，hx为0,上的增函数，∴00hxh，适合条件；②当0a时，∵ππ10222ha，∴不适合条件；③当103a时，对于π02x，sin3x

hxax，令sin3xTxax，cos3xTxa，存在π0,2x，使得00,xx时，0Tx．∴Tx在00,x上单调递减，∴000TxT，即在00,xx时，

0hx，∴不适合条件．综上，a的取值范围为1,3．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化

为函数的单调性、极(最)值问题处理．