【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》单元测试（基础卷）（解析版）.doc，共(18)页，857.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四章数列单元过关检测基础A卷解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟一、单选题1．已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公

式可能为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式【详解】正负相间用表示，∴．故选D．【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．2．记nS为等差数列na的前n项和，若33a，

621S，则数列na的公差为（）A．1B．-1C．2D．-2【答案】A【分析】利用等差数列{an}的前n项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的公差．【详解】∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝3，S6＝21，∴316123656212aadSa

d，解得a1＝1，d＝1．∴数列{an}的公差为1．故选A．【点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知数列na，

满足111nnaa，若112a，则2019a（）A．2B．12C．1D．12【答案】C【分析】利用递推公式计算出数列na的前几项，找出数列na的周期，然后利用周期性求出2019a的值.【详解】

111nnaa，且112a，211121112aa，32111112aa，431111112aa，所以，3nnaanN，则数列na是以3为周期的周期数列，20193672331aaa

.故选C.【点睛】本题考查利用数列递推公式求数列中的项，推导出数列的周期是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．在等比数列na中，6124146,5aaaa，则255aa=()A．94或49B．32C．32或23D

．32或94【答案】A【分析】根据等比数列的性质得6124146aaaa，又由4145aa，联立方程组，解得414,aa的值，分类讨论求解，即可得到答案.【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得6124146aaaa，又由4145aa，联立方程组，解得41423aa

或41432aa，当41423aa时，则1014432aqa，此时201022559()4aqqa；当41432aa时，则1014423aqa，此时201022554()9aq

qa，故选A.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答中根据等比数列的性质，联立方程组，求得10q的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5．等比数列na中（）A．若12aa，则45aaB．若12aa，则34aaC．若3

2SS，则12aaD．若32SS，则12aa【答案】B【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案.【详解】等比数列na中，20q，当12aa时，可得2212aqaq，及34aa，故B正确；但341aaq和352aaq不能判断大小

（3q正负不确定），故A错误；当32SS时，则12312+++aaaaa，可得30a，即210aq，可得10a，由于q不确定，不能确定12,aa的大小，故CD错误.故选：B.【点睛】本题考查等比数列通项公

式和求和公式的应用，属于基础题.6．两等差数列na和nb，前n项和分别为nS，nT，且723nnSnTn，则220715aabb的值为（）A．14924B．7914C．165D．5110【答案】A【分析】在{}na为等差数列中，当(mnpq

m，n，p，)qN时，mnpqaaaa．所以结合此性质可得：2202171521aaSbbT，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}na为等差数列中，当(mnpqm，n，p，)qN时，m

npqaaaa．所以1212202171521121121()2121()2aaaaSbbTbb，又因为723nnSnTn，所以22071514924aabb．故选：A．【点睛】本题主要考查等差数列的下标和

性质，属于中档题．7．函数()3sin2cos23fxxx的正数零点从小到大构成数列na，则3a（）A．1312B．54C．1712D．76【答案】B【分析】先将函数化简为()2sin236fxx，再解函数零点得4xk或512xk，k

Z，再求3a即可.【详解】解：∵()3sin2cos232sin236fxxxx∴令0fx得：2263xk或22263xk，kZ，∴4xk或512xk

，kZ，∴正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124aaa故选：B.【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.8．已知函数3()13xxfx（xR），正项等比数列

na满足501a，则1299(ln)(ln)(ln)fafafaA．99B．101C．992D．1012【答案】C【详解】因为函数31()()()11331xxxfxfxfx（xR），正项等比数列na满

足2501995011aaaa，9921lnlnlnln...0aaaa则1299(ln)(ln)(ln)fafafa992，选C二、多选题9．无穷数列na的前n项和2nSanbnc，其中a，b，c为实数，则（）A．na可能为等差数列B

．na可能为等比数列C．na中一定存在连续三项构成等差数列D．na中一定存在连续三项构成等比数列【答案】AC【分析】由2nSanbnc可求得na的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n时，11aSabc．当2n时，221112nnnaSSanb

ncanbncanab．当1n时，上式＝ab．所以若na是等差数列，则0.ababcc所以当0c=时，na是等差数列，不可能是等比数列；当0c时，na从第二项开始是等差数列．故选：AC【点睛】本题只要考查等差数列前n项和nS与通项公式na的

关系，利用nS求通项公式，属于基础题．10．已知数列na的首项为4，且满足*12(1)0nnnananN，则（）A．nan为等差数列B．na为递增数列C．na的前n项和1(1)24nnSnD．12

nna的前n项和22nnnT【答案】BD【分析】由12(1)0nnnana得121nnaann，所以可知数列nan是等比数列，从而可求出12nnan，可得数列na为递增数列，利用错位相减法可求得na的前n项和

，由于111222nnnnann，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12nna的前n项和.【详解】由12(1)0nnnana得121nnaann，所以nan是以1141aa为首项，2为公比的等比数列

，故A错误；因为11422nnnan，所以12nnan，显然递增，故B正确；因为23112222nnSn，342212222nnSn，所以231212222nnnSn2221

2212nnn，故2(1)24nnSn，故C错误；因为111222nnnnann，所以12nna的前n项和2(1)22nnnnnT，故D正确.故选：BD【点晴】

本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.11．已知无穷等差数列na的前n项和为nS，67SS，且78SS，则（）A．在数列na中，1a最大B．在数列na中

，3a或4a最大C．310SSD．当8n时，0na【答案】AD【分析】由已知得到780,0aa,进而得到0d,从而对ABD作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160ad

，可知不一定成立，从而判定C错误.【详解】由已知得：780,0aa,结合等差数列的性质可知，0d,该等差数列是单调递减的数列，∴A正确，B错误，D正确，310SS,等价于1030SS,即45100aaa,等价于4100aa，

即160ad,这在已知条件中是没有的，故C错误.故选:AD.【点睛】本题考查等差数列的性质和前n项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.12．将2n个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数

列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中0m）.已知112a，13611aa，记这2n个数的和为S.下列结论正确的有（）1112131.naaaa2122232.naaaa31

32333.naaaa……123.nnnnnaaaaA．3mB．767173aC．1313jijaiD．131314nSnn【答案】ACD【分析】根据等差数列和等比数列通项公式，结合13611aa可求得m，同时确定67a、ija的值

、得到,,ABC的正误；首先利用等比数列求和公式求得第i行n个数的和，再结合等差求和公式得到D的正误.【详解】对于A，2213112aamm，6111525aamm，2235mm，又0m，3m，A正确；对于

B，612517am，666761173aam，B错误；对于C，111131iaaimi，111313jjijiaami，C正确；对于D，第i行n个数的和

1131133131122nnniamiiSm，3111131258313131312224nnnnnSnnn，D

正确.故选：ACD.【点睛】本题考查数列中的新定义问题，解题关键是能够灵活应用等差和等比数列的通项公式和求和公式，将新定义的数阵转化为等差和等比数列的问题来进行求解.三、填空题13．已知na为等差数列,135246105,99aaaaaa,na前n项和nS

取得最大值时n的值为___________.【答案】20【分析】先由条件求出1,ad，算出nS，然后利用二次函数的知识求出即可【详解】设na的公差为d，由题意得13511121054daaaadaa

即1235ad，①2461113599aaaadadad即1333ad，②由①②联立得139,2ad所以22139(2)40204002nSnnnnnn

故当20n时，nS取得最大值400故答案为：20【点睛】等差数列的nS是关于n的二次函数，但要注意n只能取正整数.14．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍

，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚五尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的12.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞

几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=_____尺.【答案】2n+1﹣21﹣n【分析】写出两只老鼠打洞的通项公式，利用分组求和即可得解.【详解】根据题意大老鼠第n天打洞12nna-=尺，小老鼠第n天打洞112nnb尺，所以11111242122nnnS

111221112nn112122nn1212nn故答案为：1212nn【点睛】此题考查等比数列的辨析，写出通项公式，根据求和公式求和，关键在于熟练掌握相关公式，涉及分组求和

.15．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是___

_______．【答案】405【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，9989994052S16．如图，互不相同的点12,,,nAAA和12,,,,nBBB分别在角O的两条边上，所有nnA

B相互平行，且所有梯形11nnnnABBA的面积均相等.设nnOAa.若11a，22a，则数列na的通项公式是________.【答案】32nan【分析】根据三角形相似和所有梯形11nnnnA

BBA的面积均相等，找到与na相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式.【详解】由于11//,nnnnABAB所以11,nnnnOABOAB梯形11nnnnABBA的面积为11nnOAB的面积減去nnOAB△的面积，2222iijjO

ABiiOABjjSOAaSOAa则可得222211,nnnnaaaa即递推公式为222112,nnnaaa故2{}na为等差数列，且公差d2221aa3，故21(1)332nann，得32nan故答案

为:32nan【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.四、解答题17．设等差数列na的前n项的和为nS，且462S，675S，求：（1）求na的通项公式na；（2）求数列na的前14项和.【答案】（1）323n

an；（2）147.【分析】（1）由已知条件列出关于1,ad的方程组，求出1,ad可得到na；（2）由通项公式na先判断数列na中项的正负，然后再化简数列na中的项，即可求出结果.【详解】解：（1）设等

差数列na的公差为d，依题意得11434622656752adad，解得120,3ad，∴2013323nann；（2）∵323nan，∴由0na得8n，22(20323)3433

432222nnnnnSnn∴123141278141472aaaaaaaaaSS223433431414772222742437214

3147.【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题.18．数列{}na满足11a，22a，2122nnnaaa（1）设1nnnbaa，证明数列nb是等差数列（2）求数列11nnbb的前n项和nS.【答案】（1）证明过程见

详解；（2）21nnSn.【分析】（1）先化简得到2112nnnnaaaa即12nnbb+-=，再求得1211baa，最后判断数列nb是以1为首项，以2为公差的等差数列.（2）先求出数列nb的通项

公式21nbn，再运用“裂项相消法”求数列11nnbb的前n项和nS即可.【详解】解：（1）因为2122nnnaaa，所以2112nnnnaaaa因为1nnnbaa，所以12nnbb+-=，且1211baa所以数列nb是

以1为首项，以2为公差的等差数列.（2）由（1）的11221nbnn，所以111111212122121nnbbnnnn所以12233411111nnnS

bbbbbbbb11111111111121323525722121nn111.22121nnn【点睛】本题考查利用定义求等差数列的通项公式、根据递推关

系判断数列是等差数列、根据“裂项相消法”求和，还考查了转化的数学思维方式，是基础题.19．在①112nnaa，②116nnaa，③18nnaan这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中

，若问题中的nS存在最大值，则求出最大值；若问题中的nS不存在最大值，请说明理由.问题：设nS是数列na的前n项和，且14a，__________，求na的通项公式，并判断nS是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见

解析【分析】若选①，求出数列na是首项为4，公比为12的等比数列，求出通项公式和前n项和，通过讨论n的奇偶性，求出其最大值即可；若选②，求出数列na是首项为4，公差为16的等差数列，求出通项公式和前n项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242nnna，当16n时，0

na，故nS不存在最大值.【详解】解：选①因为112nnaa，14a，所以{}na是首项为4.公比为12的等比数列，所1211422nnna.当n为奇数时，141281113212nnnS

，因为81132n随着n的增加而减少，所以此时nS的最大值为14S.当n为偶数时，81132nnS，且81814323nnS综上，nS存在最大值，且最大值为4.选②因为1

16nnaa，14a.所以na是首项为4，公差为16的等差数列，所以11254(1)666nann.由125066n得25n，所以nS存在最大值.且最大值为25S

（或24S），因为25252412545026S，所以nS的最大值为50.选③因为18nnaan，所以18nnaan，所以217aa，326aa，„19nnaan

，则2121321(79)(1)171622nnnnnnnaaaaaaaa，又14a，所以217242nnna.当16n时，0na，故nS不存在最大值.【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题20．已知

数列na的前n项和为nS，满足22nnSa．（1）求数列na的通项公式；（2）设21nnbna，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）2nna；（2）12326nnTn【分析】（1）利用1(2)nnnaSSn，11aS，

可得na为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得通项公式na；（2）利用错位相减法求和即可求nT．【详解】（1）当1n时，11122aSa，解得12a，当1n时，由22nnSa可得1

122nnSa，1n两式相减可得122nnnaaa，即12nnaa，所以na是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以1222nnna（2）由（1）(21)2nnbn，23123252(21)2n

nTn，则23412123252(23)2(21)2nnnTnnL，两式相减得2312222222(21)2nnnTn112118(12)2(21)226(

21)2232612nnnnnnnn，所以12326nnTn．【点睛】方法点睛：由数列前n项和求通项公式时，一般根据11,2,1nnnSSnaSn求解，考查学生的计算能力.21．已知数列n

a的前n项和为23122nSnn.（1）求数列na的通项公式；（2）数列lgnnba，x表示不超过x的最大整数，求nb的前1000项和1000T.【答案】（1）32nan；（2）10002631T.【分析】（1）利用1nnnaSS可求出；（2

）根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】（1）当1n时，111aS，当2n时，221313111322222nnnaSSnnnnn，将1n代入上式验证显然适合，所以32nan.（2）因为410a，3410

0a，3341000a，333410000a，所以0,131,4332,343333,3341000nnnbnn，所以100003130230036672631T.【点睛】本题考查na和nS的关系，考

查分组求和法，属于基础题.22．在①535S，②13310aa，③113nana这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知na是各项均为正数的等差数列，其前n项和为nS，________

，且1a，412a，9a成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）设1nnnba，求1niib.【答案】（1）32nan；（2）13,213,2niinnbnn是偶数是奇数

【分析】（1）利用1a，412a，9a成等比数列，可得221132690aadd，若选①：由535S得：127ad，即可解出1a和d的值，即可求出na的通项公式；若选②：由13310aa可得152da

，即可解出1a和d的值，即可求出na的通项公式；若选③：由113nana，可表示出419aa，9124aa，结合1a，412a，9a成等比数列，即可解出1a和d的值，即可求出na的通项公式；（2）由（1）可得132nnbn

，分n为奇数和偶数，利用并项求和即可求解.【详解】na是各项均为正数的等差数列，1a，412a，9a成等比数列.所以241914aaa，即2111348adaad，整理可得221132690aadd，若选①：535S，则1545352ad，

即127ad，由127ad可得172ad代入221132690aadd可得：2230dd，解得3d或1d（舍）所以11a，所以11332nann，若选②：13310aa，即152da，代入221132690aadd得：211176245

0aa，即11117450aa解得：113ad或145175017ad不符合题意；若选③：113nana，则419aa，9124aa，代入241914aaa可得21126270aa解得：113ad

或1273ad不符合题意；综上所述：113ad，32nan，（2）132nnbn，12311231111111nnninnibaaaaaL1147

10135132nnnnL当n为偶数时，13322niinnb，当n为奇数时，11131322niinnb，所以13,213,2niinnbnn

是偶数是奇数.【点睛】关键点点睛：本题得关键点是分别由条件①②③结合1a，412a，9a成等比数列计算出1a和d的值，由na是各项均为正数的等差数列，所以10a，0d，第二问中1nnnba正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分n为奇数和偶

数讨论.