【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》单元测试(提升卷)(解析版).doc,共(23)页,1.152 MB,由MTyang资料小铺上传
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第五章一元函数的导数及其应用单元过关检测能力提升B卷解析版题型:8(单选)+4(多选)+4(填空)+6(解答),满分150分,时间:120分钟一、单选题1.如图中的阴影部分由直径为2的半圆和底为1,高为2,3的两矩形构成,设函数0SSaaS是图中阴影部分介于平行
线0y和ya之间的那一部分的面积,那么函数SSa的图象大致为()A.B.C.D.【答案】C【分析】根据图象依次分析[0,1]、[1,2]和[2,3]上面积增长速度的变化情况,从而求得结果.【详解】根据图象可知在[0,1]上面积增长速度越来
越慢,在图形上反映出切线的斜率在变小;在[1,2]上面积增长速度恒定,在[2,3]上面积增长速度恒定,而在[1,2]上面积增长速度大于在[2,3]上面积增长速度,在图形上反映出[1,2]上的切线的斜率大
于在[2,3]上的切线的斜率,因此C项符合题意.【点睛】本题考查函数图象的应用和判断,解题的关键在于得出面积变化速度与函数图像的切线斜率的关系,属中档题.2.函数yfx在定义域3,32内可导,其图像如图所示.记y
fx的导函数为yfx,则不等式()0fx的解集为()A.1,12,33B.1481,,233C.31,1,222D.31144,,,323233
【答案】A【解析】【分析】就是由函数()fx的减区间得'()0fx的解区间.【详解】由图象知1[,1]3和[2,3]上()fx递减,因此'()0fx的解集为1[,1]3[2,3].故选A.【点睛】本题考查导数与单调性的关系.'()0fx的解区间是()fx的减区间
,'()0fx的解区间是()fx的增区间.3.曲线2lnyx上的点到直线230xy的最短距离为()A.5B.25C.35D.2【答案】A【分析】设与直线230xy平行且与曲线2lnyx相切的直线方程为20xym.设切点为00,Pxy,利用导数的
几何意义求得切点P,再利用点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】设与直线230xy平行且与曲线2lnyx相切的直线方程为20xym.设切点为00,Pxy,对函数2lnyx求导得2y
x,由022x,可得01x,则02ln10y,所以,切点为1,0P.则点P到直线230xy的距离22203521d.曲线2lnyx上的点到直线230xy的最短距离是5.故选:A.【点睛】本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间
的距离、点到直线的距离公式,属于中档题.4.已知函数()2lnfxkxx在区间(1),上单调递增,则k的取值范围是()A.(2),B.(1),C.[2),D.[1),【答案】C【分析】根据函数单调性,将问题转化为0fx在区间1,上
恒成立求参数范围的问题;再分离参数,则问题得解.【详解】因为fx在区间1,上单调递增,故20fxkx在区间1,上恒成立.即2kx在区间1,恒成立.故2k.故选:C.【点睛】本题考查利用导数由函数的单调性求参数的范围,属基础题.5.若函数2()1fx
x与函数()ln1gxax的图象存在公切线,则正实数a的取值范围是()A.(0,)eB.(0,]eC.(0,2)eD.(0,2]e【答案】D【分析】分别求出两个函数的导函数,设出切点,求得切线的斜率,进
而求得切线方程,通过对比系数得出等量关系式,也即原命题的等价命题,结合导数求得正实数a的取值范围.【详解】21yx的导函数'2yx,ln1yax的导函数为'ayx.设切线与21yx相切的切点为2,1nn,与ln1yax相切的切点为,ln1mam
,所以切线方程为212ynnxn、ln1ayamxmm,即221ynxn、ln1ayxaamm.所以2211lnanmnaam,所以22ln4aaamm,由于0a,所以21ln4amm,即21l
n4amm有解即可.令21ln0gxxxx,'12lngxxx,所以gx在0,e上递增,在,e上递减,最大值为2ege,而0xe时0gx,当xe时,0gx,所以042ae
,所以02ae.所以正实数a的取值范围是(0,2]e.故选:D【点睛】本小题主要考查两条曲线公切线的问题的求解,考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.6.已知
函数3()2fxxaxa.过点(1,0)M引曲线:()Cyfx的两条切线,这两条切线与y轴分别交于A,B两点,若||||MAMB,则()fx的极大值点为()A.324B.324C.63D.63【答案】A【分析】设切点的横坐标为t,利
用切点与点M连线的斜率等于曲线C在切点处切线的斜率,利用导数建立有关t的方程,得出t的值,再由MAMB得出两切线的斜率之和为零,于此得出a的值,再利用导数求出函数yfx的极大值点.【详解】设切点坐标为3,2tta
ta,∵26yxa,∴32261tatatat,即32460tt,解得0t或32t.∵MAMB,∴3020xxyy,即232602a,则274a,22764fxx.当324x
或324x时,0fx;当323244x时,0fx.故fx的极大值点为324.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查利用导数求函数的极值点,在处理过点作函数的切线时,一般要设切点坐标,利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率,考查计算
能力,属于中等题.7.已知函数221sin1xxfxx,其中fx为函数fx的导数,则2020202020192019ffff()A.0B.2C.2019D.2020【答案】B【分析】将函数解析式变形为22si
n11xxfxx,求得fx,进而可求得所求代数式的值.【详解】222221sin12sin2sin1111xxxxxxxfxxxx,所以,2222020sin202022020sin20202020202022202012020
1ff,2222cos122sin1xxxxxfxx,函数fx的定义域为R,2222cos122sin1xxxxxfxx
2222cos122sin1xxxxxfxx,所以,函数fx为偶函数,因此,20202020201920192ffff.故选:B.【点睛】结论点睛:本题考查利用函数
奇偶性求值,关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性,有如下结论:(1)可导的奇函数的导函数为偶函数;(2)可导的偶函数的导函数为奇函数.在应用该结论时,首先应对此结论进行证明.8.已知函数222222fxxxxx.则下列结论中错误的是()A
.fx的极值点不止一个B.fx的最小值为22C.fx的图象关于y轴对称D.fx在,0上单调递减【答案】A【分析】判断函数的值域以及函数的单调性,求解函数的极值,函数的奇偶性、对称性,即可得到结果.【详解】因为222222
4242222424fxxxxxx,0fx,所以242424fxxx,则当0x时,fx单调递增,当0x时,fx单调递减,所以min022fxf,且
fx只有一个极值点.因为fxfx,所以fx是偶函数,其图象关于y轴对称.所以选项BCD正确,选项A错误,故选:A【点睛】本题主要考查了函数的图象和性质,函数的关系式,主要考查学生的运算能力和
转换能力及思维能力,属于中档题.二、多选题9.已知fx是定义在R上的函数,fx是fx的导函数,给出如下四个结论,其中正确的是()A.若12f,且2fx,则24fxx的解集为1
,B.若0fxfxx,且0fe,则函数xfx有极小值0C.若0fxfx,且01f,则不等式1xefx的解集为0,D.若0fxfx,则
20202019ffe【答案】ABD【分析】根据各选项的条件分别构造出函数gx,再利用导数得到函数gx的单调性,再根据单调性和已知条件依次判断即可得到答案.【详解】对选项A:设24gxfxx,因为(1)2f,且2fx,则
20gxfx,所以gx在R上增函数,又因为11240gf,所以当1x时,240gxfxx,即24fxx的解集为1,,故A正确
.对选项B,设gxxfx,gxfxxfx因为0fxxfxfxfxxx所以当,0x时,0gxfxxfx,gx为减函数,当0
,x时,0gxfxxfx,gx为增函数,故当0x,gxxfx取得极小值,极小值为00g,故B正确.对选项C,设xgxefx,xxxgxefxe
fxefxfx.因为0fxfx,0xe,所以0gx,gx在R上增函数.又因为01f,所以0001gef.所以当0,x时,1xgxefx,故C错误.对选项D,设xfxg
xe,xfxfxgxe因为0fxfx,所以0xfxfxgxe,gx在R上增函数.所以20202019gg,2020201920202019ffee,即20202019ffe.故D正确
.故选:ABD【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,极值,同时考查了构造函数,属于中档题.10.若存在m,使得fxm对任意xD恒成立,则函数fx在D上有下界,其中m为函数fx的一个下界;若存在M,使得fxM对任意xD恒成立,则函
数fx在D上有上界,其中M为函数fx的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是()A.2是函数10fxxxx的一个下界B.函数lnfxxx有下界,无上界C.函数2xefxx有上界,无下界D.函数2si
n1xfxx有界【答案】ABD【分析】由基本不等式可判断A;利用导数可确定1fxe,即可判断B;由20xefxx恒成立即可判断C;利用放缩法即可判断D.【详解】对于A,当0x时,1122xxxx,当
且仅当1x时取等号,2fx恒成立,2是fx的一个下界,故A正确;对于B,因为ln10fxxx,当10,xe时,0fx;1,xe时,0fx,fx在10
,e上单调递减,在1,e上单调递增,11fxfee,fx有下界,又x时,fx,fx无上界,故B正确;对于C,20x,0xe,20xefxx恒成立,fx有下界,故C
错误;对于D,sin1,1x,2221sin1111xxxx,又2111x,2111x,2sin111xx,fx既有上界又有下界,即fx有界,故D正确.故选:ABD.【点睛】本题考查了函数新定义的应用,关键是明确新定
义运算实际考查了函数值域的求解问题,涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值,属于中档题.11.对于三次函数320axbxdafxcx,给出定义:设fx是函数yfx的导数,fx
是fx的导数,若方程0fx有实数解0x,则称点00,xfx为函数yfx的“拐点”.探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,设函数3211133212xxfx
,则以下说法正确的是()A.函数fx对称中心1,02B.129899100100100100ffff的值是99C.函数fx对称中心1,12D.129899100100100100ffff
的值是1【答案】BC【分析】根据题意求出函数fx对称中心,然后根据函数对称中心的性质进行求解即可.【详解】32'2''1113()()213212fxxxfxxxfxx,令''()210fxx,解得12x,
32111111312322212f,由题意可知:函数3211133212xxfx的对称中心为1,12;因为函数3211133212xxfx
的对称中心为1,12,所以有()(1)2fxfx,设129899(1)100100100100Sffff,所以有999821(2)100100100100Sffff
,(1)(2)得,2222229999SS,即129899100100100100ffff的值是99.故选:BC【点睛】本题考查了利
用导数求函数的对称中心,考查了利用函数的对称性求函数值之和问题,考查了数学阅读能力和数学运算能力.12.如图,在四面体ABCD中,点1B,1C,1D分别在棱AB,AC,AD上,且平面111//BCD平面BCD,1A为BCD内一点,记三棱锥1111ABCD的
体积为V,设1ADxAD,对于函数()Vfx,则下列结论正确的是()A.当23x时,函数()fx取到最大值B.函数()fx在2(,1)3上是减函数C.函数()fx的图象关于直线12x对称D.不存在0x,使得0
1()4ABCDfxV(其中ABCDV为四面体ABCD的体积).【答案】ABD【分析】由题意可知111BCDBCD∽,设0ABCDVV,则111120()(1)ABBDVfxxxV.利用导数性质求出当2
3x时,函数()fx取到最大值.【详解】在四面体ABCD中,点1B,1C,1D分别在棱AB,AC,AD上,且平面111//BCD平面BCD,由题意可知111BCDBCD∽,111CDADxCDAD,1112BCDBCDSxS.棱锥1111ABCD与棱锥ABC
D的高之比为1x.设0ABCDVV,111120()(1)ABCDVfxxxV.200()23fxxVxV,当()0fx时,203x,当()0fx时,23x,当23x时,函数()fx取到最大值.故A正确;函数在函数()
fx在2(,1)3上是减函数,故B正确;函数()fx的图像不关于直线12x对称,故C错误;22224()()(1)33327ABCDABCDfVV,不存在0x,使得01()4ABCDfxV(其中ABCDV为四面体ABCD的体积).故D正确.
故选:ABD.【点睛】本题考查相似三角形性质的应用,利用导数研究几何体体积最值问题,属于中档题三、填空题13.设fx为可导函数,且满足0113lim1xffxx,则曲线yfx在点1,1f处的切线的斜率是____
__.【答案】13【分析】首先根据极限的运算法则,对所给的极限进行整理,写成符合导数的定义的形式,写出导数的值,即可得到函数在这一个点处的切线的斜率【详解】解:因为0113lim1xffxx,所以01133lim13xff
xx,所以01131lim33xffxx,所以'1(1)3f,所以曲线yfx在点1,1f处的切线的斜率为13,故答案为:13【点睛】此题考查导数的定义,切线的斜率,以及极限的运算
,属于基础题14.在ABC中,,,abc分别为角,,ABC的对边,若函数32221()()13fxxbxacacx有极值点,则BÐ的范围是__________.【答案】,3【详解】由题意222'(
)2()fxxbxacac有两个不等实根,所以22244()0bacac,222acbac,所以2221cos22acbBac,所以3B.故答案为:,3.【点睛】对定义域内的可导函数来讲,导函数'()fx的
零点是函数极值点的必要条件,只有在0x的两侧'()fx的符号正好相反,0x都是极值点.本题中导函数'()fx是二次函数,因此要使得'()fx的零点为()fx的极值点,只要求相应二次方程有两个不等实根即可.15.为迎接202
0年奥运会,某商家计划设计一圆形图标,图标内部有一“杠铃形图案”(如图中阴影部分),圆的半径为1米,AC,BD是圆的直径,E,F在弦AB上,H,G在弦CD上,圆心O是矩形EFGH的中心.若23EF米,2AOB,π5π412,则“杠铃形图案”面积的最小值为_
_____平方米.【答案】π22123【分析】先求出面积关于的函数解析式,利用导数判断函数单调性,再计算函数最小值.【详解】设EF中点为M,连接OM,则cosOM,2sinAB,则2π2πOABS扇形,112sincossin222OABS
△,所以“杠铃形图案”的面积为1242sin22cos2sin2cos233S,则2222221cossinsin22sinsin33S
.因为π5π412,所以2212sinsin2sinsin033,0S,S单调递增.所以当π4时,S的最小值minπππ2ππ222sincoscos1444
3423S.则“杠铃形图案”面积的最小值为π221+23平方米.故答案为:π22123【点睛】关键点点睛:本题主要考察实际问题中函数的应用,根据题意写出面积关于的函数解析式,再利用导数求函数的最大值,难点在于利用导数求极值,考查了运算能力,属于
中档题.16.若函数()lnfxaxx,对于任意的1x,2(1,)x(其中12xx)不等式21120xxfxfx恒成立,则a的取值范围为________.【答案】[1,).【分
析】转化条件为1ax在(1,)上恒成立,求得11x即可得解.【详解】由题意,函数()fx在1,上是单调递增函数,所以1()0fxax即1ax在(1,)上恒成立,因为当(1,)x时,11x,所以1a,所以a的取值范围为[1,)
.故答案为:[1,).四、解答题17.已知二次函数22fxxx.(1)求fx在点11f,处的切线方程;(2)讨论函数ln1gxfxax的单调性【答案】(1)410xy;(2)答案见解析.【
分析】(1)对函数fx求导,根据导数的几何意义,先求出切线斜率,进而可得切线方程;(2)先对gx求导,分别讨论0a,0a两种情况,根据导数的方法研究函数单调性,即可得出结果.【详解】(1)由22fxxx得22fxx,则fx在点11f,处的切线斜率
为14kf,又13f,所以fx在点11f,处的切线方程为341yx,即410xy;(2)因为22ln11gxxxaxx所以2212211xaagxxxx
当0a时,gx在1,上恒正;所以gx在1,上单调递增当0a时,由0gx得12ax,所以当1,12ax时,0gx,gx单调递减;当1,2ax
时,0gx,gx单调递增;综上所述,当0a时,gx在1,上单调递增;当0a时,当1,12ax时,gx单调递减;当1,2ax时,gx单调递增.【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切
线方程,考查导数的方法求函数单调性,属于常考题型.18.已知函数2()ln(1)(0)fxaxxxa.(1)讨论函数()fx的单调性;(2)若对于任意的[1,2]a,当1[,3]xa时,不等式()lnfxam恒成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)fx在1(1,1
)2a递增,在1(1,0)2a递减,在(0,)递增(2)3ln21[)5,【解析】【分析】(1)先求函数的定义域以及导数,然后根据导数的零点122aa与0的大小关系确定分类讨论的标准,再
结合fx的符号讨论函数fx的单调性.(2)结合函数fx的单调性,求出max()2ln293fxa,则问题转化为2ln2+93lnaam对于任意1,2a恒成立问题,再求出ln92ln23gaaa,1,2a
的最大值,即可求出m的范围.【详解】解:(1)fx的定义域是1,,2121xaxafxx,①当102a时,令0fx,解得:10x,或112xa,令
'0fx,解得:1012xa,故fx在1,0递增,在10,12a递减,在11,2a递增,②当12a时,'0fx,fx在1,递增,③当1
2a时,令'0fx,解得:1112xa,或0x,令'0fx,解得:1102ax;故fx在11,12a递增,在11,02a递减,在0,递增;(2)由(1)知12a时,fx在1,3a
递增,故lnfxa在1,3a递增,故32ln293fxfa最大值,要使不等式lnfxam在1,2a恒成立,只需2ln293lnaam,记ln92ln23gaaa,则190gaa,故g
a在1,2递增,ga的最大值是23ln215g,故3ln215m,故m的范围是3ln215,.【点睛】主要考查了含参函数单调性的讨论,以及恒成立问题,属于难题.对于恒成立问题,关键是等价转化为函数最值问题.而含参函数单调性的讨论的步骤:(1)
确定函数的定义域;(2)求出函数的导数;(3)根据定义域以及函数导数的零点确定分类标准;(4)根据导数的符号讨论函数的单调性.19.如图,某市地铁施工队在自点M向点N直线掘进的过程中,因发现一地下古城(如图中正方形A
BCD所示区域)而被迫改道.原定的改道计划为:以M点向南,N点向西的交汇点O为圆心,OM为半径做圆弧MN,将MN作为新的线路,但由于弧线施工难度大,于是又决定自P点起,改为直道PN.已知3ONOM
千米,点A到OM,ON的距离分别为12千米和1千米,//ABON,且1AB千米,记PON.(1)求sin的取值范围;(2)已知弧形线路MP的造价与弧长成正比,比例系数为3a,直道PN的造价与长度的平方成正比,比例系数为a,当θ为多少时,总造价最少?【答案】(1)240,25
;(2)当θ为π6时,总造价最少.【分析】(1)以O为原点,ON所在直线为x轴建立平面直角坐标系,根据题意,求出直线CN的方程,MN所在圆的方程,联立直线与圆的方程,求出交点C的坐标,当PN过点C时,求出sin,结合图形,即可得出结果;(2)先由题意,得到M
P的长为32,设(3cos,3sin)P,得出()33(1818cos)2faa,0(0,),024sin25,用导数的方法求出其最小值即可.【详解】(1)以O为原点,ON所在直线
为x轴建立平面直角坐标系,则(3,0)N,1,12A,3,22C,所以直线CN的方程为4(3)3yx,MN所在圆的方程为229xy,联立224(3),39,yxxy解得21,2572,25
xy,当PN过点C时,21,252725P,24sin25,所以sin的取值范围是240,25.(2)由题意,MP的长为32,设(3cos,3sin)P,则222(3cos3)
(3sin)1818cosPN,所以总造价()33(1818cos)2faa918918cos2a,0(0,),024sin25,所以()(18sin9
)fa,令()0f得,124sin0,225,所以π6,列表如下:π0,6π60,6π()f0()f↘极小值↗所以当π6时,()f有极小值,也是最小值.答:当为π6时,总造价最少.【点睛】本题主要考查导
数的应用,熟记导数的方法求函数的最值即可,属于常考题型.20.对于三次函数320axbxdafxcx,给出定义:设fx是函数yfx的导数,fx是fx的导数,若方程0fx有实数解0x,则称点
00,xfx为函数yfx的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数321133212mxfxx.(1)当1m时,求1298991001001
00100ffff的值;(2)若不等式2ln30xxfx恒成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)99;(2),4【分析】(1)将1m
代入,结合定义可求得对称中心,进而可知12fxfx.结合所求式子特征即可求解.(2)将2fxxmx代入不等式,结合定义域可分离参数m,构造函数22ln3xxtxxx,求得tx并令0t
x,求得极值点,即可由导函数符号判断函数的单调性,进而求得mintx,即可确定m的取值范围.【详解】(1)函数321133212mxfxx,当1m时,3211133212xxfx因
为2fxxx,∴21fxx,令210fxx,解得12x,则对称中心的纵坐标为112f,故对称中心为1,12,所以12fxfx,所以1992100100ff,2982100100ff
,„则129899249199100100100100ffff.(2)∵2ln30xxfx,2fxxmx,即22ln3mxxxx,又0x,∴22ln
3xxxmx在0,x上恒成立.令22ln332lnxxxxxxtxx.∴minmtx.∵22223123231xxxxtxxxxx,令0tx,得1x或3x(舍去).当0,1x时,0tx,函数
tx在0,1上单调递减;当1,x时,0tx,函数tx在1,上单调递增.∴min14txt.∴min4mtx,即m的取值范围为,4.【点睛】本题考查了函数新定义的应用,导函数的运算及中心对称性质的应用,分离参数并构造函数法
求参数的取值范围,由导数研究函数的单调性与最值,属于中档题.21.已知函数211ln,.2fxxaxaxaR(1)若fx存在极值点1,求a的值;(2)若fx存在两个不同的零点12,xx,求证:122.xx【答案】(1)1
a;(2)见解析.【详解】试题分析:(1)由fx存在极值点为1,得10f,可解得a.(2)是典型的极值点偏移问题,先证明20hxfaxfx,再利用fx在0,a上
的单调性,即可得证.试题解析:(1)1afxxax,因为fx存在极值点为1,所以10f,即220,1aa,经检验符合题意,所以1a.(2)111(0)aafxxaxxx
x①当0a时,0fx恒成立,所以fx在0,上为增函数,不符合题意;②当0a时,由0fx得xa,当xa时,0fx,所以fx为增函数,当0xa时,0fx,所fx为减函数,所以当xa时,fx取得极小值
fa又因为fx存在两个不同零点12,xx,所以0fa,即211ln02aaaaa整理得1ln12aa,作yfx关于直线xa的对称曲线2gxfax,令2222lnaxhxgxf
xfaxfxaxax2222222202aahxaxxxaa所以hx在0,2a上单调递增,不妨设122xaxa,则20hxha,即22212gxfaxfxfx,又因为
2120,,0,,axaxa且fx在0,a上为减函数,故212axx,即122xxa,又1ln12aa,易知1a成立,故122xx.点晴:本题主要考查导数在函数中的应用,具体涉及到函数的
极值,函数的极值点偏移问题.第一问中fx存在极值点1,所以10f,解得1a;第二问处理极值点问题有两个关键步骤:一是在,2aa构造函数2hxfaxfx证明其大于于0恒成立,二是利用fx在
0,a上为减函数,两者结合即可证明结论成立.22.已知mR,函数1()lnmfxmxxx,1()lngxxx(1)求()gx的最小值;(2)若()()yfxgx在[1,)上为单调增函数,求实数m的取值范围;(3)证明:2ln2ln3ln4ln2342(1)
nnnn(*nN)【答案】(1)1.(2)[1,).(3)证明见解析.【解析】分析:(1)先求gx的极值,有唯一的极小值,极小值为最小值.(2)220mymxx在1,上恒成立,分离变量,221xmx
在1,x上恒成立,求解函数221xx在1,x上的最大值.(3)利用(2)问的结论进行放缩.详解:(1)函数gx的定义域为0,,22111xgxxxx.当0,1x,0gx,当
1,x,0gx,∴1x为极小值点,极小值11g.(2)∵112ln2lnmmymxxmxxxxx.∴220mymxx在1,上恒成立,即221xmx在1,x上恒成立.又222111xxx
x,所以1m,所以,所求实数m的取值范围为1,.(3)由(2),取1m,设12ln10hxfxgxxxhx,则12lnxxx,即2ln1112xxx,于是2ln111
2nnn*nN.2232ln1ln2ln3ln111111232123nnnn1111121?22?33?41nnn21111111111222312121
nnnnnnn.所以2ln2ln3ln4ln23421nnnn*xN.点睛:(1)函数极值与最值的性质:有唯一的极小
值,极小值为最小值.(2)对于任意性和存在性问题的处理,遵循以下规则:1、xa,b,fxm恒成立,等价于xa,b,[fx]mmin2、0xa,b使得fxm成立,等价于0xa,b,[fx]mmax(3)利用导数证明不等式,再利用不等式对数列进
行放缩,解决证明数列不等式很有效,本题还可以采用数学归纳法证明.