【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册提高练习3.2.1《双曲线及其标准方程》（解析版）.doc，共(7)页，419.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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3.2.1双曲线及其标准方程-B提高练一、选择题1.（2020·山东菏泽三中高二期末）与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.-y2=1B.-y2=1C.-y2=1D.x2-=1【答案】C【解析】由题意得,双曲线焦点在x轴上,且c=,设双曲线的标准方程为=1(

a>0,b>0),则有a2+b2=c2=3,=1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.2.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是()A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线【答案】A【解析】设动圆的圆心为

M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的

一支(靠近O1).3.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且=0,则||=()A.2B.C.2D.【答案】C【解析】由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-,0),F2(,0).设

点P(x,y),则=(--x,-y),=(-x,-y).∵=0,∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.∴||===2.4.（2020·武汉市蔡甸区实验高级中学月考）已知双曲线221(0,0)xymnmn和椭圆22152xy有相同的焦点，则41mn的最小值为（）A．2B．

3C．4D．5【答案】B【解析】由题意双曲线221(0,0)xymnmn和椭圆22152xy有相同的焦点，523mn，411411414()5523333nmnmmnmnmnmnmn

…，当且仅当4nmmn即2mn时等号成立，故41mn的最小值为3，故选：B.5．（多选题）（2020·江苏省镇江中学高二期末）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点1(1,0)F和2(1,0)F的斜率

之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则（）A．曲线E经过坐标原点B．曲线E关于x轴对称C．曲线E关于y轴对称D．若点(,)xy在曲线E上，则11x【答案】BC【解析】设,Pxy，则12228111PFPFyyykkxxx，则2218yx，（0y

）.故轨迹为焦点在x轴上的双曲线去除顶点.故曲线E不经过原点，A错误；曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，BC正确；若点(,)xy在曲线E上，则1x或1x，D错误；故选：BC.6.（多选题）（2020

·广东宝安高二开学考试）已知点P在双曲线22:1169xyC上，1F、2F是双曲线C的左、右焦点，若12PFF的面积为20，则下列说法正确的有（）A．点P到x轴的距离为203B．12503PFPFC．12PFF为钝角三角形D．123FPF【答案】BC【解析】因为双曲线22

:1169xyC，所以1695c.又因为12112102022PFFPPScyy，所以4Py，所以选项A错误；将4Py代入22:1169xyC得2241169x，即203Px.由对称性，

不妨取P的坐标为20,43，可知22220135433PF.由双曲线定义可知1213372833PFPFa，所以12133750333PFPF，所以选项B正确；由对称性，对于上面点P，在12PFF中，12371321033PFc

PF.且2222121212125cos0213PFFFPFPFFPFFF，则21PFF为钝角，所以12PFF为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理得222121212123191cos22481PFP

FFFFPFPFPF，123FPF，所以选项D错误.故选：BC.二、填空题7.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为.【答案】【解析】因为

F是双曲线C:x2-=1的右焦点,所以F(2,0).因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP).因为P是C上一点,所以4-=1,解得yP=±3,所以P(2,±3),|PF|=3.又因为A(1,3),所以点

A到直线PF的距离为1,所以S△APF=×|PF|×1=×3×1=.8.（2020·首都师范大学附属中学期中）若方程22141xytt所表示的曲线为C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则实数t的取值范围为(1,4)；②若C为双曲线，则实数

t的取值范围为(,1)(4,)；③曲线C不可能是圆；④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则实数t的取值范围为31,2.其中真命题的序号为________.（把所有正确命题的序号都填在横线上）【答案】②【解析】方程22141xytt

所表示的曲线为C①若C为椭圆，则104014tttt解得(1,4)t且52t，故①不正确.②若C为双曲线,则140tt，解得(,1)(4,)t，故②正确.③当52t时，曲线

C是圆，故③不正确.④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则410tt，则512t，故故④不正确.故答案为：②9.（2020·全国高二课时练习）已知圆22490xyx与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲

线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________.【答案】221972yx【解析】由圆的方程22490xyx知：与y轴的交点坐标为(0,3),(0,3)，∵圆与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上∴双曲线的焦点在y轴上，且3a，又∵A，B两点恰好将

此双曲线的焦距三等分∴9c，即有272b，∴此双曲线的标准方程221972yx10.平面上两点F1,F2满足|F1F2|=4,设d为实数,令D表示平面上满足||PF1|-|PF2||=d的所有P点组成

的图形,又令C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆.下列结论中,其中正确的有(写出所有正确结论的编号).①当d=0时,D为直线;②当d=1时,D为双曲线;③当d=2时,D与圆C交于两点;④当d=4时,D与圆C交于四点;⑤当d>4时,D不存在.【答案】①②⑤【解析】①当d=0时,D为线段

F1F2的垂直平分线,∴①正确;②当d=1时,∵||PF1|-|PF2||=d<|F1F2|=4,由双曲线的定义知D为双曲线,∴②正确;③当d=2时,D是双曲线,且c=2,a=1,∵C为平面上以F1为圆心、6

为半径的圆,∴D与圆C有4个交点,∴③错误;④当d=4时,D是两条射线,∴D与圆C有2个交点,∴④错误;⑤当d>4时,由双曲线的定义知,不表示任何图形,∴D不存在,∴⑤正确.三、解答题11.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN

=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程.【解析】因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.由3k+4k+5k=48,得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN所在直线为x轴

,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0).由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,所

以b2=c2-a2=100-4=96,故所求方程为=1.12.如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点、、ABC，且30OAOBOCkm，一名野生动物观察员在保护区遇险，发

出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早040V秒（注：信号每秒传播0V千米）.（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观

察员遇险地点坐标，以及与检测中心O的距离；（3）若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？【解析】（1）设观察员可能出现的位置的所在点

为,Pxy因为A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早040V秒故00404060PBPAVABV故点P的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)xyxab由题可知240,260ac，解得222500bca，故点

P的轨迹方程为221(0)400500xyx.（2）因为30,0,0,30AC，设AC的垂直平分线方程为ykx则3001030k，则AC的垂直平分线方程为yx联立221(0)400500xyx可得22000x，故205,205xy故观察

员遇险地点坐标为205,205与检测中心O的距离为222052052010km.（3）设轨迹上一点为,Pxy，则22223060900PCxyxyy又因为22140

0500xy，可得2244005xy代入可得：229950601300800800202553PCyyy当且仅当503y时，取得最小值202.故扫描半径r至少是202km.