【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册课时分层作业9《等比数列的前n项和公式》(含解析).doc，共(7)页，116.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时分层作业(九)等比数列的前n项和公式(建议用时：40分钟)一、选择题1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31B．32C．63D．64C[在等比数列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列，

故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.]2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝18，则a1a2＋a2a3＋„＋anan＋1等于()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C．32

3(1－4－n)D．323(1－2－n)C[∵a3＝1，a6＝18，∴q＝12，∴a1＝4，∴a1a2＝8，∵anan+1an-1an＝q2＝14∴数列{anan+1}是以8为首项，14为公比的等比数列．∴a1a2＋a2a3＋„＋anan＋1＝323(1－4－n)．]3．设公比为q(q>

0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝()A．－2B．－1C．12D．23B[由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝32，将q＝32代入S2

＝3a2＋2中得a1＋32a1＝3×32a1＋2，解得a1＝－1.故选B.]4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列1an的前5项和等于()A．158或5B．3116或5C．3116D．158C[设数列

{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得91－q31－q＝1－q61－q，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列1an是以1为首项，12为公比的等比数列，前5项和为1×1－

1251－12＝3116.]5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的

2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏B[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝a11－q71－q＝a11－271－

2＝381，解得a1＝3.故选B.]二、填空题6．在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋„＋|an|＝________.2n－1－12[由a4＝a1q3得q＝－2，∴an＝12(－2)n－1，∴

|an|＝2n－2.∴|a1|＋|a2|＋„＋|an|＝121－2n1－2＝2n－1－12.]7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.6[∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，

又∵Sn＝126，∴21－2n1－2＝126，∴n＝6.]8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．6[由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋„＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2

n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，又26＝64，27＝128，且{2n＋1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6.]三、解答题9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.[解](1)依

题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－12.(2)由已知可得a1－a1－122＝3，故a1＝4.从而Sn＝41－－1

2n1－－12＝831－－12n.10．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记bn＝

an3n的前n项和为Tn，求Tn.[解](1)设正项等差数列{an}的公差为d，则d＞0.∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4.又2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a22＝2a1·(a3＋1)，即42＝

2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2.(2)bn＝an3n＝3n－23n＝(3n－2)×13n，∴Tn＝1×13＋4×132＋7×133＋„＋(3n－2)×13n.①①×13得13Tn＝1×132＋4

×133＋7×134＋„＋(3n－5)×13n＋(3n－2)×13n＋1.②①－②得，23Tn＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋„＋3×13n－(3n－2)×13n＋1＝13＋3×1321－13n－11－

13－(3n－2)×13n＋1＝56－12×13n－1－(3n－2)×13n＋1，∴Tn＝54－14×13n－2－3n－22×13n＝54－6n＋54×13n.11．(多选题)设等比数列{}an的公比为q

，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，a7－1a8－1<0.则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a7a9<1C．Tn的最大值为T7D．Sn的最大值为S7ABC[∵a1>1，a7a8>1，a7－1a8

－1<0，∴a7>1，0<a8<1，∴0<q<1，故A正确；又a7a9＝a28<1，故B正确；C中T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确．D中因为a7>1，0<a8<1，Sn的最大值不是S7，故D不正确．故选ABC.]12．(多选题)如图所示，作边长为3的正△ABC的内切圆，

在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去．则下列说法正确的是()A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为9316B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为9364C．n个内切圆的面积和为1－

14nπD．n个内切圆的面积和为31－14nπBC[S△ABC＝34×32＝934，因为下一个三角形面积依次为上一个正三角形面积的14倍，所以第三个正三角形的面积为934×142＝9364.故A错误，B正确．又根据条件，第一个内切圆的半径为

36×3＝32，面积为34π，第二个内切圆的半径为34，面积为316π，„，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为34π，公比为14，故面积之和为34π1－14n1－14＝1－14nπ，则C正确，D错误．故选BC.]13．(一题两空)设数列{an}

的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.1121[由于a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，解得a1＝1，a2＝3.由an＋1＝Sn＋1

－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋12＝3Sn＋12，所以Sn＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋12＝32×3n－1，即Sn＝3n－12，所以S5＝121.]14．(一题

两空)在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第

一天也进一尺，以后每天减半．问________天后两鼠相遇？如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打的洞长度之和，则Sn＝________尺．22172n－12n－1＋1[由题意先估计：两天不够，三天又多，设需要x天，则可得1＋2＋4(x－2)＋1＋12＋14(x－2)＝5.解得x＝2

217，即2217天两只老鼠相遇．由题意可知，大老鼠前n天打洞长度为1－2n1－2＝2n－1，小老鼠前n天打洞长度为1－12n1－12＝2－12n－1，所以Sn＝2n－1＋2－12n－1＝2n－12n－1＋1.]15．已知{xn}是各项均

为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.(1)求数列{xn}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，„，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2„Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝

x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.[解](1)设数列{xn}的公比为q，由已知可得q＞0.由题意得x1＋x1q＝3，x1q2－x1q＝2，消去x1得3q2－5q－2＝0.因为q＞0，所以q＝2，x1＝1，因此数列{xn}的通项公式为xn

＝2n－1.(2)过P1，P2，„，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，„，Qn＋1(图略)．由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，由题意得bn＝n＋n＋12×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，所以Tn＝b1＋b

2＋„＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋„＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.①又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋„＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②①－②得，－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋„＋2n－1)－(2n＋1)

×2n－1＝32＋21－2n－11－2－(2n＋1)×2n－1.所以Tn＝2n－1×2n＋12.