【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册课时分层作业8《等比数列的性质》(含解析).doc，共(6)页，110.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时分层作业(八)等比数列的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．8A[法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝124.所以a5＝a1·24＝124·24＝1.

法二：由等比数列的性质，知a27＝a3a11＝16.又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4.又a7＝a5×q2，则a5＝44＝1.]2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a

5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84B[∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.]3．已知等比数列{an}中，a

n>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为()A．32B．64C．256D．±64B[由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝a250＝a1a99＝16，又∵a50

>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64.]4．在各项不为零的等差数列{}an中，2a2017－a22018＋2a2019＝0，数列{}bn是等比数列，且b2018＝a2018，则log2()b2017·

b2019的值为()A．1B．2C．4D．8C[因为等差数列{}an中a2017＋a2019＝2a2018，所以2a2017－a22018＋2a2019＝4a2018－a22018＝0，因为各项不为零，所以a2018＝4，因为数列{}bn是等比数列，所以b201

7·b2019＝a22018＝16.所以log2()b2017·b2019＝log216＝4，故选C.]5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn等于()A．32B．32或23C．23D．以上都不对

B[不妨设12是x2－mx＋2＝0的根，则m＝92，其另一根为4，对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1<x2)，则x1x2＝2，∴等比数列为12，x1，x2，4，∴q3＝412＝8，∴q＝2，∴x1＝1，x2＝2，∴n＝x1＋x2＝1＋2＝

3，∴mn＝92×3＝32.同理，若x＝12是方程x2－nx＋2＝0的根，解得mn＝23，故选B.]二、填空题6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3„a10＝265，则a7等于________．256[因为a1a2a3„a10＝(a3a8)5＝265

，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝a8q＝256.]7．已知数列{}an满足an>0，且lgan，lgan＋1，lga

n＋2成等差数列，若a3a4a6a7＝4，则a5＝________.2[∵lgan，lgan＋1，lgan＋2成等差数列，∴a2n＋1＝anan＋2，即{}an为等比数列，∴a3a7＝a4a6＝a25，从而a3a4a6a7＝a45＝4，则a5＝±2，又an>0，∴a5＝2.]8．若等比数列{an

}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋„＋lna20＝________.50[因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋ln

a2＋„＋lna20＝ln(a1a2„a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·„·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.]三、解答题9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36

，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．[解]∵a1a5＝a23，a3a7＝a25，∴由题意，得a23－2a3a5＋a25＝36，同理得a23＋2a3a5＋a25＝100，∴a3－a52＝36，a3＋a52＝100，∵an＞0，∴a3－a5＝±6，a

3＋a5＝10.解得a3＝2，a5＝8或a3＝8，a5＝2.分别解得a1＝12，q＝2或a1＝32，q＝12.∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.10．已知数

列{an}中，a1＝1，an＋1＝52－1an，bn＝1an－2，求数列{bn}的通项公式．[解]an＋1－2＝52－1an－2＝an－22an，1an＋1－2＝2anan－2＝4an－2＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋23＝4bn＋23

.又a1＝1，故b1＝1a1－2＝－1，所以bn＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，所以bn＋23＝－13×4n－1，bn＝－4n－13－23.11．(多选题)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项

均为正数的等比数列{an}是一个“2016积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的可能值为()A．1006B．1007C．1008D．1009BC[由题意可知a1a2a3„a2016＝a2016，故a1a2a3„a2015＝1，由于{an

}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，所以a1008＝1，公比0＜q＜1，所以a1007＞1且0＜a1009＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时，n的值为1007或1008.∴选BC.]12．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且

a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A．6B．7C．8D．9D[由题意可知a，b是方程x2－px＋q＝0的两根，∴a＋b＝p＞0，ab＝q＞0，故a，b均为正数．∵a，b，－2适当排

序后成等比数列，∴－2是a，b的等比中项，得ab＝4，∴q＝4.又a，b，－2适当排序后成等差数列，所以－2是第一项或第三项，不妨设a＜b，则－2，a，b成递增的等差数列，∴2a＝b－2，联立得2a＝b－2，ab＝4，消去b得a2＋a－2＝0，得a＝1或a＝－2，又a

＞0，∴a＝1，此时b＝4，∴p＝a＋b＝5，∴p＋q＝9，选D.]13．(一题两空)数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，数列{an－1}若是等比数列，则λ的值为________，若数列{an－1}的首项为2，那么{an}的通项公式an＝__

______.22n＋1[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λan－2λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以2λ＝1，解得λ＝2.∵首项为2，∴an－1＝2×2n－1＝2n.即an＝2n＋1.]14．(一题两空)已知等比数列{an}中，各项都是

正数，且a1，12a3，2a2成等差数列，则公比q的值为________，a9＋a10a7＋a8＝________.1＋23＋22[依题意可得2×12a3＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，整理得q2＝1＋2q，解得q＝1

±2，∵各项都是正数，∴q＞0，q＝1＋2.∴a9＋a10a7＋a8＝a7q2＋a8q2a7＋a8＝q2＝3＋22.]15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设c

n＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)在(1)的条件下求数列{bn}的通项公式．[解](1)∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1.∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝a

n－1，∴an＋1－1an－1＝12，∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝12，∴c1＝－12，又cn＝an－1，∴q＝12.∴{cn}是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)由(1)可知cn＝－12·

12n－1＝－12n，∴an＝cn＋1＝1－12n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝

12，代入上式也符合，∴bn＝12n.(2)由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，∴an＝cn＋1＝1－12n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－

12n－1＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝12，代入上式也符合，∴bn＝12n.