【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册课时分层作业15《简单复合函数的导数》(含解析).doc，共(6)页，92.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时分层作业(十五)简单复合函数的导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．若f(x)＝exln2x，则f′(x)＝()A．exln2x＋ex2xB．exln2x－exxC．exln2x＋exxD．2ex·1xC[f′(x)＝exln2x＋

ex×22x＝exln2x＋exx.]2．已知函数f(x)＝2ln(3x)＋8x，则limΔx→0f1－2Δx－f1Δx的值为()A．10B．－10C．－20D．20C[∵f(x)＝2ln(3x

)＋8x，∴f′(x)＝63x＋8＝8＋2x.根据导数定义知limΔx→0f1－2Δx－f1Δx＝－2limΔx→0f1－2Δx－f1－2Δx＝－2f′(1)＝－20.故应选C.]3．已知f(x)＝lnx2x，则f′

12＝()A．－2－ln2B．－2＋ln2C．2－ln2D．2＋ln2D[依题意有f′(x)＝1x·2x－2·12x·lnx2x，故f′12＝2＋ln21＝2＋ln2，所以选D.]4．已知函数f(x)是偶函数，当x

＞0时，f(x)＝xlnx＋1则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为()A．y＝－xB．y＝－x＋2C．y＝xD．y＝x－2A[因为x＜0，f(x)＝f(－x)＝－xln(－x)＋1，f(－1)＝1，

f′(x)＝－ln(－x)－1，f′(－1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x.故选A.]5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2B[设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有

1x0＋a＝1，x0＋1＝lnx0＋a，由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.]二、填空题6．若函数f(x)＝exx＋12，则f′(x)＝________.x－1exx＋13[∵f(x)＝exx＋12，∴f′(x)＝ex

x＋12－ex×2x＋1x＋14＝x－1exx＋13.]7．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．(e，e)[设P(x0，y0)．∵

y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·1x＝1＋lnx.∴k＝1＋lnx0.又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e.∴y0＝elne＝e.∴点P的坐标是(e，e)．]8．已知P为指数函数f(x)＝ex图象上一

点，Q为直线y＝x－1上一点，则线段PQ长度的最小值是________．2[设f(x)图象上斜率为1的切线的切点是P(x0，y0)，由f′(x)＝ex，f′(x0)＝ex0＝1，x0＝0，f(0)＝1，即P(0，1)．P到直线y＝x－1的

距离是d＝|0－1－1|2＝2.]三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝a2x－3；(2)y＝x2cos2x－π3；(3)y＝e－xlnx；(4)y＝11－2x.[解](1)因为y＝a2x－3，所以y′＝a2x－3lna

·(2x－3)′＝2a2x－3lna.(2)因为y＝x2cos2x－π3，所以y′＝2xcos2x－π3＋x2cos2x－π3′＝2xcos2x－π3－x2sin2x－π32x

－π3′＝2xcos2x－π3－2x2sin2x－π3.(3)因为y＝e－xlnx，所以y′＝(e－x)′lnx＋e－x·1x＝－e－xlnx＋e－xx＝1－xlnxxex.(4)因为y＝11－2x＝(1－

2x)－12，所以y′＝－12(1－2x)－32×(－2)＝11－2x1－2x.10．曲线y＝esinx在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程．[解]∵y＝esinx，∴y′＝esinxcosx，∴y′|x＝0＝1.∴曲线y＝esinx在(0

，1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设直线l为x－y＋m＝0.由|m－1|1＋－2＝2得m＝－1或3.∴直线l的方程为：x－y－1＝0或x－y＋3＝0.11．(多选题)下列结论中不正确的是()A．若y＝cos1x，则y′＝－1xs

in1xB．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5xD．若y＝12xsin2x，则y′＝xsin2xACD[对于A，y＝cos1x，则y′＝1x2sin1x，故错误；对于B，y＝sinx2，则y′＝2xcosx2，故正

确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故错误；对于D，y＝12xsin2x，则y′＝12sin2x＋xcos2x，故错误．故选ACD]12．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A．13B．12C．23D

．1A[依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x

＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是23，23，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1，0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.

]13．(一题两空)设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)，若f′33π＝32，则φ＝________；若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.π6或5π6π6[f′(x)＝－3sin(3x＋φ)．由条件知，f′33π＝－3sin(

π＋φ)＝3sinφ＝32，∴sinφ＝12，∵0＜φ＜π，∴φ＝π6或5π6.又f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)＝2sin3x＋φ＋5π6.若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin

φ＋5π6，∴φ＋5π6＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.]14．设P是曲线y＝x－12x2－lnx上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．π2，3π4[由y＝x－12x2－lnx，得y′＝1

－x－1x(x＞0)，∵1－x－1x＝1－x＋1x≤1－2x·1x＝－1，当且仅当x＝1时等号成立．∴y′≤－1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等于－1，∴tanθ≤－1，又θ∈[0，π)，∴θ

∈π2，3π4.]15．设函数f(x)＝aexlnx＋bex－1x.(1)求导函数f′(x)；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．[解](1)由f(x)＝aexlnx＋bex－1x，得f′(x)＝(aexlnx

)′＋bex－1x′＝aexlnx＋aexx＋bex－1x－bex－1x2.(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f

(x)得f(1)＝b，∴b＝2.将x＝1代入导函数f′(x)中，得f′(1)＝ae＝e，∴a＝1.