【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册课时分层作业14《基本初等函数的导数导数的四则运算法则》(含解析).doc，共(5)页，80.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时分层作业(十四)基本初等函数的导数导数的四则运算法则(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f(x)＝x2＋sinxx，则该函数的导函数f′(x)＝()A．2x＋cosxx2B．x2＋xcosx－sinxx2C

．2x＋xcosx－sinxx2D．2x－cosxB[由题意可得f′(x)＝2x＋cosxx－x2＋sinxx2＝x2＋xcosx－sinxx2，故选B.]2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为()A．193B．103C．133D．

163B[∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(x)＝3ax2＋6x，又f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝103.]3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx，则f′1e＝()A．1e－2B．e－2C．－1D．e

B[由题意得：f′(x)＝2f′(1)＋1x，令x＝1得：f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1∴f′(x)＝－2＋1x，∴f′1e＝e－2.故选B.]4．曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π

－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0C[当x＝π时，y＝2sinπ＋cosπ＝－1，即点(π，－1)在曲线y＝2sinx＋cosx上．∵y′＝2cosx－sinx，∴y′|x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，则y＝2sinx＋cosx

在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.]5．已知函数f(x)＝aex＋x＋b，若函数f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋3，则ab的值为()A．1B．2

C．3D．4B[∵f′(x)＝aex＋1，∴f′(0)＝a＋1＝2，解得a＝1，f(0)＝a＋b＝1＋b＝3，∴b＝2，∴ab＝2.故选B.]二、填空题6．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝____

____.1[因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝1x且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－1x＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－12(舍去)．故x＝1.]7．曲线C：y＝xlnx在点M(

e，e)处的切线方程为________．y＝2x－e[y′＝lnx＋1，y′|x＝e＝lne＋1＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，化简得2x－y－e＝0.]8．水波的半径以0.5m/s的速度向外扩张，当半径为25m时，圆面积的膨胀率是________．25

π[因为水波的半径扩张速度为0.5m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝14πt2故水波面积的膨胀率为S′＝12πt.当水波的半径为25时，由vt＝25，解得t＝50即可得S′＝12π×50＝25π.]三、解答题9．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横

坐标为xn，令an＝lg1xn，计算a1＋a2＋a3＋…＋a2019.[解]因为y＝xn＋1，所以y′＝(n＋1)xn，所以曲线在(1，1)处的切线斜率为k＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得x＝nn＋1，即xn＝nn＋1，所以an＝lg1xn＝lg

(n＋1)－lgn，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝lg2－lg1＋lg3－lg2＋lg4－lg3＋…＋lg2020－lg2019＝lg2020＝1＋lg202.10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋

1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．[解]因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋

b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－32.则f(x)＝x3－32x2－3x＋1，从而f(1)＝－52.又f′(1)＝2×－32＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方

程为y－－52＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.11．(多选题)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是()A．1x′＝1x2B．(cos2x)′＝－2sin2xC．3xl

n3′＝3xD．(lgx)′＝－1xln10BC[1x′＝－1x2，(cos2x)′＝－2sin2x，3xln3′＝3x，(lgx)′＝1xln10.故选BC.]12．(多选题)直线y＝12x＋b能作为下列函数图象的切线是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝x4C．

f(x)＝sinxD．f(x)＝exBCD[f(x)＝1x，故f′(x)＝－1x2＝12，无解，故A排除；f(x)＝x4，故f′(x)＝4x3＝12，故x＝12，即曲线在点12，116的切线为y＝12x－316，B正确；f(x)＝sinx，故f′

(x)＝cosx＝12，取x＝π3，故曲线在点π3，32的切线为y＝12x－π6＋32，C正确；f(x)＝ex，故f′(x)＝ex＝12，故x＝－ln2，曲线在点－ln2，12的切线为y＝12x＋12ln2＋12，D正确．

故选BCD.]13．(一题两空)已知f(x)＝xex，则f′(1)＝________；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是________．2e(－4，0)[f′(x)＝(x＋1)ex，∴f′(1)＝2e，设点B(x0，x0ex0)为曲线C

上任意一点．∵y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线C在点B处的切线方程为y－x0ex0＝(x0＋1)ex0(x－x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0－x0ex0＝(x0＋1)ex0(a－x0)，即x20－ax0－a＝0无实根．∴Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0.

∴a的取值范围是(－4，0)．]14．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________.eln3[设切点为(x0，y0)．因为y′＝3xln3，所以k＝3x0ln3，所以y＝3x0ln3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln3·x0＝3x0，所

以x0＝1ln3＝log3e.所以k＝eln3.]15．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，(1)分别求过P点，Q点的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[解](1)因为y′＝2x.P

(－1，1)，Q(2，4)都是曲线y＝x2上的点．过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)因为y′＝2x，直线P

Q的斜率k＝4－12＋1＝1，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝12，所以切点M12，14，与PQ平行的切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.