【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册课时分层作业11《数学归纳法》(含解析).doc，共(7)页，100.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时分层作业(十一)数学归纳法(建议用时：40分钟)一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋„＋12n－1<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式()A．1＋12<2B．1＋12＋13<2C．1＋12＋13<3D

．1＋12＋13＋14<3B[因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋12＋13<2.故选B.]2．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋„＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋„＋12n，则当n＝k＋1

时，左端应在n＝k的基础上加上()A．12k＋2B．－12k＋2C．12k＋1－12k＋2D．12k＋1＋12k＋2C[因为当n＝k时，左端＝1－12＋13－14＋„＋12k－1－12k，当n＝k＋1时，左端＝1－12＋13－14＋„＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2.

所以，左端应在n＝k的基础上加上12k＋1－12k＋2.]3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命

题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对B[由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．]4．利用数学归纳法证明1＋12＋13＋14＋„＋12n－1<n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到

n＝k＋1时，左边增加了()A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项D[用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋14＋„＋12n－1<n(n≥2，n∈N*)的过程中，假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋12＋13＋„＋12k－1，则当n＝k＋

1时，左边＝1＋12＋13＋„＋12k－1＋12k＋12k＋1＋„＋12k＋1－1，∴由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了：12k＋12k＋1＋„＋12k＋1－1，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项，故选D.]5．对

于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式k2＋k<k＋1成立，当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2<k2

＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确D[在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．故选D

.]二、填空题6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋„＋1n－1＝21n＋2＋1n＋4＋„＋12n时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证____

____．n＝k＋2时等式成立[由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2.故答案为：n＝k＋2时等式成立．]7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需

展开________．(k＋3)3[假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3.为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故答案为(k＋3)3.]8．已知f(n)＝1＋12＋

13＋„＋1n(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.12k＋1＋12k＋2＋„＋12k＋1[因为假设n＝k时，f(2k)＝1＋12＋13＋„＋12k，当n＝k＋1

时，f(2k＋1)＝1＋12＋13＋„＋12k＋12k＋1＋„＋12k＋1，所以f(2k＋1)－f(2k)＝1＋12＋13＋„＋12k＋12k＋1＋„＋12k＋1－(1＋12＋13＋„＋12k)＝12k＋1＋12k＋2＋„＋12k＋1.]三、解答题9．

(1)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋„＋(n＋3)＝n＋3n＋42(n∈N*)；(2)用数学归纳法证明：1＋12＋13＋„＋1n<2n(n∈N*)．[证明](1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝1＋3×1＋42＝10，左边＝右边．

②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋„＋(k＋3)＝k＋3k＋42，那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋„＋(k＋3)＋(k＋4)＝k＋3k＋42＋(k＋4)＝k＋4k＋52，即当n＝k＋1时

，等式成立．综上，1＋2＋3＋„＋(n＋3)＝n＋3n＋42(n∈N*)．(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，故当n＝1时不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋12＋13＋„＋1k<2k，那么当n＝k＋1时，左边＝1＋12＋13＋„＋1k＋

1k＋1<2k＋1k＋1，因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2k2＋k<2k＋1，所以2k＋1k＋1＝2k＋1k＋1k＋1＝2k2＋k＋1k＋1<2k＋2k＋1＝2k＋1.故当n＝k＋1时，不等式

也成立．综上，由①②可知1＋12＋13＋„＋1n<2n()n∈N*.10．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋an1＋an(n∈N*)．用数学归纳法证明：an<an＋1(n∈N*)．[证明]①当n＝1时，a2＝1＋a11＋a1＝32，a1<a2，所以，n＝1时，不等式成立；②假设

n＝k(k∈N*)时，ak<ak＋1成立，则当n＝k＋1时，ak＋2－ak＋1＝1＋ak＋11＋ak＋1－ak＋1＝1＋ak＋11＋ak＋1－1＋ak1＋ak＝11＋ak－11＋ak＋1＝ak＋1－ak1＋ak1＋ak＋1>0，所以，当n＝k＋1时，不等式成立．综上所

述，不等式an<an＋1(n∈N*)成立．11．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得()A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6

时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝4时，该命题成立C[若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．]12．(多选题)用数学归纳法证

明不等式1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋„＋1n＋n＞1324的过程中，下列说法正确的是()A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是12k＋12k＋2D．n＝k推导n

＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是12k＋22k＋3BC[n＝1时，11＋1＞1324不成立，n＝2时，12＋1＋12＋2＞1324成立，所以A错误B正确；当n＝k时，左边的代数式为1k＋1＋1k＋2＋„＋12k，当n＝k＋1时，左边的代数式为1k＋2＋1k＋3＋„＋12k＋2

，故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果，即12k＋1－12k＋2＝12k＋12k＋2为不等式的左边增加的项，故C正确D错误，故选BC.]13．(一题两空)已知n为正偶数，用数学归纳法证明“1－12＋13－14＋„＋1n

－1－1n＝21n＋2＋1n＋4＋„＋12n”时，第一步的验证为________；若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设证n＝________时等式成立．当n＝2时，

左边＝1－12＝12，右边＝2×14＝12，等式成立k＋2[对1－12＋13－14＋„＋1n－1－1n＝21n＋2＋1n＋4＋„＋12n在n为正偶数，用数学归纳法证明．归纳基础，因为n为正偶数，则基础n＝2，当n＝2时，左边＝1－12＝12，右边＝2×14

＝12，等式成立；归纳假设，当n＝k(k≥2且k为偶数)时，1－12＋13－14＋„＋1k－1－1k＝21k＋2＋1k＋4＋„＋12k成立，由于是所有正偶数，则归纳推广，应到下一个数为n＝k＋2时，等式成立．]14．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(

k＋1)＝f(k)＋________.π[由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.]15．是否存在a，b，c使等式1n2＋2n2＋3n2＋„＋nn2＝a

n2＋bn＋cn对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．[解]取n＝1，2，3可得a＋b＋c＝1，8a＋4b＋2c＝5，27a＋9b＋3c＝14，解得：a＝13，b＝12，c＝16.下面用数学归纳法证

明1n2＋2n2＋3n2＋„＋nn2＝2n2＋3n＋16n＝n＋12n＋16n.即证12＋22＋„＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；②假设n＝k时等式成立，即12＋2

2＋„＋k2＝16k(k＋1)(2k＋1)成立，则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋„＋k2＋(k＋1)2＝16k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝16[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝16(k＋1)(2k2＋7

k＋6)＝16(k＋1)(k＋2)·(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立．由数学归纳法，综合①②知当n∈N*时等式成立，故存在a＝13，b＝12，c＝16使已知等式成立.